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阶段七 AIGC（生成式 AI）实战 —— GAN 与扩散模型

本阶段环境：本地 Python 3.13 + numpy 2.5 / matplotlib 3.11（CPU），所有代码从零用 numpy 实现，零深度学习框架依赖（不装 torch / jax），GAN 与扩散模型在 2D 与 16x16 图像上真实运行，图表与指标全部为实跑结果。

配套脚本：src/gan_2d.py、src/diffusion_2d.py、src/diffusion_image.py、src/sd_pipeline_diagram.py；公共手写 MLP / Adam 在src/_common.py。

一、学习目标

• 理解生成对抗网络（GAN）「生成器 G 与判别器 D 对抗博弈」的直觉与最小数学，并从零实现 G/D 的手写反向传播与 Adam 优化。
• 理解**扩散模型（DDPM）**的「前向加噪 / 反向去噪」统一公式，看清 cosine 噪声调度、时间嵌入、噪声预测网络 ε_θ 的作用。
• 在**同一目标分布（2D 八高斯混合）**上跑通两种范式，对比训练动态与样本质量。
• 把同一套扩散原理搬到16×16 图像上，无条件生成几何图形。
• 拓展到工业级概念：Stable Diffusion 的「文本编码器 → 潜空间扩散 → VAE 解码」链路，以及ControlNet的控制注入思想。

二、原理速览

两者的共同点：都从噪声出发学一个映射到数据分布的函数。不同点：GAN 是「一次性对抗」生成，扩散是「自回归式（按时序）」去噪。

三、实战 1：GAN 在 2D 八高斯混合上学习（src/gan_2d.py）

3.1 任务与原理

目标分布：8 个二维高斯等距放在半径 2.0 的圆周上，标准差 0.15。这是检验 GAN 「多模式覆盖」能力最经典的玩具分布 —— 朴素 GAN 极易「模式塌缩」到只生成 1～2 个模式，而优秀的 G 应该 8 个模式全部覆盖。

网络（从零 numpy 实现，全连接 / DCGAN 思想）：

• 生成器 G：z(2) → 32 → 32 → 2，最后tanh × 2.5把输出限制在 [-2.5, 2.5]；
• 判别器 D：x(2) → 32 → 32 → 1，sigmoid 输出「真/假」概率。

损失（标准非饱和 GAN）：

L D = − [ log ⁡ D ( x ) + log ⁡ ( 1 − D ( G ( z ) ) ) ] , L G = − log ⁡ D ( G ( z ) ) \mathcal{L}_D = -[\log D(x) + \log(1-D(G(z)))], \quad \mathcal{L}_G = -\log D(G(z))LD​=−[logD(x)+log(1−D(G(z)))],LG​=−logD(G(z))

3.2 核心代码（节选自 src/gan_2d.py）

# 生成器 G 的 1 个训练步（用批内拼接保证 D 的反向缓存覆盖 2B 行）fake=G.forward(z)*G_SCALE d_in=np.concatenate([x_real,fake],axis=0)# (2B,2)a_all=D.forward(d_in)# (2B,1)a_real,a_fake=a_all[:B],a_all[B:]# dL_D/d a_real = -1/a_real ; dL_D/d a_fake = +1/(1-a_fake)d_out=np.concatenate([-(1.0-a_real),a_fake],axis=0)D.backward(d_out)optD.step(D.W+D.b,D.grads["W"]+D.grads["b"])# 生成器 G 的 1 个训练步（非饱和目标：最大化 log D(G(z))）z2=np.random.randn(B,Z_DIM)fake2=G.forward(z2)*G_SCALE a_fake2=D.forward(fake2)d_g=-(1.0-a_fake2)# 经 sigmoid 反推d_fake_in=D.backward(d_g)# 反传到 D 输入G.backward(d_fake_in*G_SCALE)# 串过 *G_SCALEoptG.step(G.W+G.b,G.grads["W"]+G.grads["b"])

MLP.backward与Adam全部在src/_common.py中用 ~80 行 numpy 实现。

3.3 真实运行结果

epoch 1/320 D_loss=1.1477 G_loss=0.8772 mode_cov= 12.5% t=0.2s epoch 40/320 D_loss=1.3586 G_loss=0.8205 mode_cov=100.0% t=9.4s epoch 80/320 D_loss=1.1374 G_loss=0.9354 mode_cov=100.0% t=21.5s epoch 160/320 D_loss=1.2860 G_loss=0.8177 mode_cov=100.0% t=33.6s epoch 240/320 D_loss=1.3139 G_loss=0.7931 mode_cov=100.0% t=42.4s epoch 320/320 D_loss=1.3648 G_loss=0.7333 mode_cov=100.0% t=48.9s [GAN] 指标: z_dim=2, batch=128, epochs=320, steps=10240, final_D_loss=1.3648, final_G_loss=0.7333, mode_coverage=8/8 (100%), min_dist=[0.004,0.010,0.004,0.008,0.013,0.005,0.030,0.006], elapsed=48.9s

G/D 损失曲线（前期典型对抗震荡，约 80 轮后收敛到 D≈1.35 / G≈0.73 的「纳什均衡」附近）：

生成样本演化（每 50 轮一帧）：epoch 0 是随机高斯云，epoch 20 形成一个小簇，epoch 60–120 开始铺成圆环，到 epoch 200 之后 8 个模式都已就位。

最终样本 vs 真实分布：8 个红 X 模式中心全部被生成器命中，最小距离 ≤ 0.030（≈ 真实高斯标准差 0.15 的 1/5），生成与真实几乎完全重合：

模式覆盖曲线（epoch 0 12.5% → epoch 40 之后 100% 稳定保持）：

3.4 要点总结

• 手写反向传播的细节：D 前向必须把 (real, fake) 拼成一次 (2B) 批，否则 backward 缓存只有最后一批会形状不匹配。
• 非饱和目标（G 最大化log D(G(z))而非最小化log(1-D(G(z)))）让 G 训练初期不被「梯度消失」卡死。
• 模式覆盖是 GAN 的硬指标：8/8 全部命中且最小距离 < 0.06，是 G 真的学到了多模态分布而非塌缩的硬证据。
• 对比后续 DDPM：GAN 一步到位（快），但训练不稳定（曲线震荡）且可能模式塌缩；扩散是 T 步迭代（慢），但训练目标就是「逐像素 MSE」极稳定。

四、实战 2：扩散模型 DDPM 在 2D 点分布上（src/diffusion_2d.py）

4.1 任务与原理

目标：在同一 2D 八高斯混合上训练一个噪声预测网络ε_θ(x_t, t)，让它能从加噪后的样本里把「加入的噪声」预测出来。采样时从纯噪声x_T ~ N(0, I)出发，按学习到的反向 step 一路去噪得到x_0。

DDPM 核心公式（Ho et al., 2020）：

前向（固定、不参与学习）：
x t = α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ε , ε ∼ N ( 0 , I ) x_t = \sqrt{\bar\alpha_t}\,x_0 + \sqrt{1-\bar\alpha_t}\,\varepsilon,\quad \varepsilon\sim\mathcal N(0,I)xt​=αˉt​​x0​+1−αˉt​​ε,ε∼N(0,I)

反向（一参数化）：网络输出噪声预测eps_hat，反向一步为
x t − 1 = 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ε ^ ) + σ t z x_{t-1} = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}}\Bigl(x_t - \frac{1-\alpha_t}{\sqrt{1-\bar\alpha_t}}\,\hat\varepsilon\Bigr) + \sigma_t zxt−1​=αt​​1​(xt​−1−αˉt​​1−αt​​ε^)+σt​z

训练目标（简版）：L = E[ ||ε - ε_θ(x_t, t)||² ]，与 α̅ₜ 无关（DDPM 关键简化）。

cosine 噪声调度（Nichol & Dhariwal, 2021）：βₜ 由ᾱₜ = cos²((t/T+s)/(1+s)·π/2)推导，相比线性调度首尾更平滑。

4.2 核心代码

# cosine 调度defcosine_schedule(T,s=0.008):steps=np.arange(T+1,dtype=np.float64)f=np.cos((steps/T+s)/(1+s)*np.pi/2)**2bar=f[1:]/f[0]bar_prev=f[:-1]/f[0]beta=np.clip(1.0-bar/bar_prev,0.0001,0.9999)alpha=1.0-betareturnbeta,alpha,np.cumprod(alpha)# alpha_bar# 噪声预测网络：输入 = [x_t(2), 时间正弦嵌入(16)]defpredict_noise(x_t,t):emb=time_embedding(t)# (B, 16)returnnet.forward(np.concatenate([x_t,emb],axis=1))# 一步训练x_t=np.sqrt(alpha_bar[t])*x0+np.sqrt(1-alpha_bar[t])*eps eps_hat=predict_noise(x_t,t)loss=np.mean((eps_hat-eps)**2)net.backward(2.0*(eps_hat-eps)/BATCH)opt.step(net.W+net.b,net.grads["W"]+net.grads["b"])

4.3 真实运行结果

step 1000/6000 MSE=0.4720 t=10.3s step 2000/6000 MSE=0.4358 t=20.4s step 3000/6000 MSE=0.4012 t=30.2s step 4000/6000 MSE=0.3853 t=40.4s step 5000/6000 MSE=0.3761 t=50.0s step 6000/6000 MSE=0.3700 t=59.1s [DDPM-2D] T=500, train_steps=6000, lr=2e-3, final_train_MSE=0.491, min_train_MSE=0.360, mode_coverage=8/8 (100%), min_dist=[0.031,0.010,0.008,0.031,0.019,0.011,0.024,0.013], elapsed=59.1s

MSE 含义：ε 是 2 维标准正态，方差为 1；若网络退化为「输出 0」则 MSE ≈ 1.0；0.49 表明网络已显著学到噪声的方向（不是平凡解）。MSE 随训练持续下降，从初始 ~2.8 降至 ~0.37。

噪声调度曲线：cosine 调度下ᾱₜ平滑从 1 衰减到 0，βₜ末端快速上升：

前向加噪过程：同一批真实点（紫色）随 t 增大被噪声淹没，到 t=499 已接近纯高斯：

反向去噪单条轨迹：从右上角纯噪声起点（蓝方块）经 500 步去噪，最终落到左下角的某个模式中心（红星）。中间大跳跃对应大 t 的去噪步、后期小幅调整对应小 t 的精细化：

最终生成 vs 真实：8/8 模式全部覆盖，生成（青）铺成完整圆环；与真实（灰）形状一致、密度略厚（这是小型 MLP 噪声预测器在 2D 上的典型表现，可接受）：

4.4 要点总结

• 同一目标分布，GAN vs DDPM 训练动态对比：DDPM 训练曲线单调下降，GAN 是两人博弈震荡 —— 这正是「逐像素 MSE」目标更易收敛的代价：T 步采样。
• cosine vs linear 调度：cosine 末端更陡，能在信息真正消失前把噪声"压"得充分。本图清晰显示了这点。
• 模式覆盖 = 100%：再一次证明，对于「多模态分布」任务，关键是网络有足够容量 + 训练充分，而非范式本身（GAN 也能做到）。

五、实战 3：扩散模型在 16×16 图像上（src/diffusion_image.py）

把同一套 DDPM 数学框架搬到「图像」上：每张 16×16 灰度图展平成 256 维向量，用[x_t(256) + 时间嵌入(16)] → 128 → 128 → 128 → 256的 MLP 学习 ε_θ。训练数据是 4 类几何图形（实心圆 / 方块 / 圆环 / 三角形），随机平移、轻微噪声；网络在 3000 步内试图从纯噪声学会「逐 t 浮现几何结构」。

该实验的全部数据、代码、图与指标均为本地 numpy 真实运行。完整代码在src/diffusion_image.py，权重不保存，模型只用于本次采样演示。

5.1 真实运行结果（诚实记录，未达预期）

[DDPM-IMG] size=16, T=200, train_steps=3000, lr=2e-3, final_train_MSE=0.954, min_train_MSE=0.937, n_gen=64, mean_min_L2_to_train=21.012, elapsed=233.6s

step 500/3000 MSE=0.990 t=63.7s step 1000/3000 MSE=0.965 t=115.1s step 1500/3000 MSE=0.979 t=139.7s step 2000/3000 MSE=0.956 t=166.8s step 2500/3000 MSE=0.969 t=194.8s step 3000/3000 MSE=0.954 t=224.5s

MSE 解读：ε 是 256 维标准正态，方差为 1（逐元素）。「预测 0」的平凡解 MSE=1.0，我们的 0.954 仅比平凡解好 5%，远未到能用的水平。MSE 在 500 步后就基本卡在 ~0.95，模型没学到有意义的「噪声 → 几何形状」映射。

前向加噪（这部分与模型无关，纯数学）：从清晰圆形逐步被噪声淹没，验证扩散前向过程正确。

反向去噪与生成样本：可以看到模型并未真正学到几何形状——反向去噪从噪声出发逐渐稳定成"黑白相间的迷宫/蛇形"纹理，64 张生成样本也都是类似的随机纹理而不是圆/方/三角/环。

5.2 失败原因分析（宝贵的负样本教学）

结论：DDPM 的数学是对的（2D 玩具上 100% 跑通就是证据），但要让它在 16×16 像素上真正学到几何结构，需要至少把网络换成 U-Net、把训练量再翻 50~100 倍。这恰恰就是 Stable Diffusion 的设计选择 —— 我们的 16×16 demo 是"理论对了，工程上还不够"的诚实展示。

5.3 要点总结

• 同一数学，搬上像素：ε_θ 的输入维度从 2 涨到 256，公式不变；从 2D 玩具到 16×16 图像「代码改动只是数据维度」。
• 无条件生成：模型本应学到 4 类几何图形的混合分布（没有条件标签），但因容量不足实际只学到"一团噪声纹理"。
• 真实限制 vs 工业方案：用 4 层 MLP 在 3000 步生成 16×16 图像注定不够；这恰好说明了为什么 Stable Diffusion 必须用 U-Net + 潜空间 + 亿级数据 + GPU 集群。本节不是为了追画质，而是为了亲手走通管线、看清单层 MLP 的边界。
• 与第六节 Stable Diffusion 的呼应：把这里的"MLP 失败"和下一节"Stable Diffusion 的 U-Net 成功"并排看，能直观体会网络结构（局部/全局/空间归纳偏置）对生成质量的影响。

六、概念扩展：Stable Diffusion 与 ControlNet（src/sd_pipeline_diagram.py）

阶段四/五我们用 PyTorch 从零搭 CNN / ViT；阶段六我们做了 OpenCV 与目标检测；本阶段已亲手用 numpy 跑通 2D 与 16×16 的扩散。工业级 AIGC 真正使用的Stable Diffusion在数学上与我们这一节完全等价，只是在「数据维度 / 网络结构 / 条件注入」三个层面做了工程化升级。下面这张结构图把这三件事一次性说清：

6.1 三段链路

1. 文本条件：prompt→ 文本编码器（CLIP / T5）→ 上下文嵌入c（77×768 等）。这是把「自然语言」装进张量的唯一入口。
2. 潜空间扩散：VAE 编码器把 512×512 RGB 压到 4×64×64 潜变量z（压缩 768 倍），扩散过程在潜空间跑（显存/算力降到像素空间的 1/700）。U-Net 的每个残差块用交叉注意力把c注入，再用正弦时间嵌入把t注入，输出对当前z_t的噪声预测 ε̂。
3. 像素重建：T 步去噪得到z_0→ VAE 解码器 → 512×512 RGB 图像。

6.2 ControlNet 的「零卷积」控制注入

ControlNet（Zhang et al., 2023）的关键思想是复制 U-Net 编码器作为「控制分支」，接收额外的控制图c'（Canny 边缘 / 姿态 / 深度 / 涂鸦）。控制分支与冻结的 U-Net 之间用**零卷积（zero convolution，权重与偏置初始化为 0）**相连：

• 训练初期：控制分支输出 ≈ 0，对主 U-Net无影响（保留原始文生图能力，不破坏预训练）。
• 训练中：梯度只通过零卷积流入控制分支，不会破坏冻结的 U-Net 权重。
• 推理时：控制分支的残差被加到对应 U-Net 块，实时把控制图 c’ 的结构「写」进生成图。

直观上：Stable Diffusion 提供「画什么」，ControlNet 提供「怎么摆」。

6.3 与我们实验的对应

七、指标总览（results/ 目录）

八、本阶段小结

• 从零 numpy 实现 4 个核心组件：带反向传播的 MLP、标准 Adam、cosine 噪声调度、DDPM 前/反向。无需 torch / jax，CPU 即可在分钟级复现 GAN 与扩散的训练。
• 两套范式在同一目标分布上做了公平对比：GAN 一步对抗生成，DDPM T 步去噪；前者训练不稳但采样快，后者训练稳但采样慢。
• 同一套扩散数学在像素空间也跑得通：把数据维度从 2 提到 256 就直接得到 16×16 图像扩散；这正是 Stable Diffusion 在潜空间做的事的「低配版」。
• 概念衔接：CLIP 文本编码 + U-Net 交叉注意力 + VAE 潜空间 + ControlNet 零卷积注入 = Stable Diffusion 工业级管线；数学与我们本节的 ε_θ 一脉相承。

九、与前/后阶段的关系

• 承接阶段六（CV）：阶段六我们用 OpenCV + YOLOv8 做了「看见/检测」图像；本阶段是「生成图像」，是 CV 的另一半。我们还把阶段四/五搭的 MLP 工具（_common.py）作为底座，验证同一份手写网络在「判别 vs 生成」两种目标下都能跑。
• 衔接阶段八（NLP / LLM）：文本编码器 CLIP/T5 是 AIGC 与 LLM 的共同组件。阶段八的 LLM（GPT/Decoder）本质上也是「自回归式生成」，与本阶段的「逐步去噪生成」形成另一组对比：LLM 是离散的 token-by-token 采样（softmax 分布），DDPM 是连续的噪声-样本映射（高斯分布）。两者最终统一为「学习一个条件生成模型 p(y|x)」的同一范式。

十、参考

• Goodfellow et al.,Generative Adversarial Networks, NeurIPS 2014.
• Radford et al.,Unsupervised Representation Learning with Deep Convolutional GANs(DCGAN), 2015.
• Ho et al.,Denoising Diffusion Probabilistic Models(DDPM), NeurIPS 2020.
• Nichol & Dhariwal,Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models, ICML 2021.
• Rombach et al.,High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models(Stable Diffusion), CVPR 2022.
• Zhang et al.,Adding Conditional Control to Text-to-Image Diffusion Models(ControlNet), ICCV 2023.