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数字滤波器中的有限字长效应及相关知识解析

1. 系数量化误差

在数字滤波器设计中，系数通常以无限精度进行评估。然而，当这些系数被量化时，实际滤波器的频率响应会偏离无限字长表示下的响应，甚至可能无法满足设计要求。若理想滤波器的极点接近单位圆，量化后滤波器的极点可能会位于单位圆外。

例如，给定一个二阶 IIR 滤波器，其传递函数为 (H(z) = \frac{1.0}{(1 - 0.5z^{-1})(1 - 0.45z^{-1})})，当取 (b = 3) 位时，分析量化对极点位置的影响：
-直接形式 I：
- (H(z) = \frac{1}{1 - 0.95z^{-1} + 0.225z^{-2}})
- ((0.95){10} = (0.1111001…)_2)，截断后为 ((1.111)_2 = -0.875)
- ((0.225){10} = (0.001110…)2)，截断后为 ((0.001)_2 = 0.125)
- 量化后的 (H(z) = \frac{1}{1 - 0.875z^{-1} + 0.125z^{-2}})
-级联形式：
- (H(z) = \frac{1}{(1 - 0.5z^{-1})(1 - 0.45z^{-1})})
- ((-0.5){10} = (1.100)2)
- ((-0.45){10} = (1.01110…)2)，截断后为 ((1.011)_2 = (-0.375){10})