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1. 先把公式摆上桌：立方公式家族到底有哪几块

带过几轮学生之后我发现，立方这一块的知识点，翻车率比平方高得多。平方公式只有两条，学生背两遍基本就记住了；一到立方，四条公式长得像亲戚，系数是 1、3、3、1，符号还分正负，很多同学写着写着就把(a+b)³展开成a³+b³，或者把a³+b³分解成(a+b)(a²+2ab+b²)。这两种错法我每年都能见到好几次，而且错的人往往自己觉得挺对。

所以这篇东西，我想把立方公式和完全立方公式这一组内容从头到尾捋一遍：它是什么、怎么推出来的、怎么记不混、做题时怎么用、哪里最容易掉坑。不管你是正在学这块的初高中生，还是需要给自家孩子讲题的家长，或者只是想把当年没弄明白的东西补回来，下面这些内容应该都能直接用上。

先把四条主角公式列清楚，后面所有讨论都围绕它们展开：

四条公式，两条是"拆开"，两条是"合起来"。拆开的两条用于把括号里的立方乘出来，合起来的两条用于把三次多项式拆成乘积。它们在数学上是互逆的关系，这也解释了为什么它们的系数和符号总给人一种"似曾相识又对不上"的感觉。

1.1 完全立方公式：为什么系数是 1、3、3、1

很多人记(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³是靠死背，背完过两周就忘。其实这个 1、3、3、1 不是天上掉下来的，它是"从三个括号里挑字母"这件事的直接结果。

把(a+b)³想成(a+b)(a+b)(a+b)三个括号相乘。展开的时候，每个括号里要么出 a，要么出 b，一共三个括号，所以每一种取法对应一项。总共有 2×2×2 = 8 种取法，但按 a 的个数分类只有四种情况：三个 a、两个 a 一个 b、一个 a 两个 b、三个 b。

关键在于，每种情况的取法数量不一样。三个 a 只有 1 种取法（每个括号都出 a）；两个 a 一个 b 有 3 种（哪个括号出 b，有三种选法）；一个 a 两个 b 也有 3 种；三个 b 只有 1 种。这 1、3、3、1 就是组合数 C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)。

理解了这层，你就不需要背了——需要的时候现推都来得及，而且推一次只要十几秒。我在给基础薄弱的学生讲的时候，一般会让他们拿三种颜色的笔把三个括号标上号，真的手动展开一遍，写完那一行 8 项再合并同类项，看到 3a²b 是怎么凑出来的，记忆会牢固得多。

完全立方差公式同理，只是把 b 换成 −b。因为 b 的指数是奇数次的时候符号会翻转：(a−b)³ = a³ + 3a²(−b) + 3a(−b)² + (−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³。符号规律是"正、负、正、负"交替，或者更简单地说：奇数位置的 b 项带负号。

1.2 立方和与立方差：反着用的两条公式

a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)和a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)，这两条是立方家族里最容易被记串的。我的经验是，记的时候抓两个锚点。

第一个锚点是因式。立方和配的是(a+b)，立方差配的是(a−b)。这个很好理解：a³+b³ 里如果令 a = −b，整个式子等于 0，说明 (a+b) 是它的因式；同理 a³−b³ 令 a = b 等于 0，说明 (a−b) 是因式。用因式定理一句话就能验证，比死记靠得住。

第二个锚点是二次因式里的中间项符号。规律是"和配减、差配加"——立方和的二次因式里是−ab，立方差的二次因式里是+ab。这个规律有点反直觉，所以特别容易错，我后面会单独讲怎么自查。

还有一个常被忽略的细节：二次因式a² − ab + b²和a² + ab + b²都是不可再分解的（在实数范围内）。不少同学会习惯性地想把它拆成(a−b)²之类的，一拆就错。判别式是 b² − 4ac，对应到a² − ab + b²，把 a 当变量看，判别式是 (−b)² − 4·1·b² = −3b²，恒小于等于 0，所以确实拆不动。

1.3 一个容易被忽略的第三公式

除了上面四条，还有一条在竞赛和难题里出现频率很高的恒等式：

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

它有个特别好用的推论：当 a + b + c = 0 时，a³ + b³ + c³ = 3abc。这个推论在很多"已知三数和为零，求三次方和"的题目里能省掉一大半的计算量。我第一次见到它是在一道化简题里，当时老老实实代换做了快一页纸，后来知道这个结论，同样的题三行就写完了。

这条公式的推导思路值得一提：把 a+b 当成一个整体，用(a+b)³ + c³ − 3ab(a+b) − 3abc，然后套立方和公式，提取公因式(a+b+c)，剩下的部分整理一下就是a² + b² + c² − ab − bc − ca。整个过程只用到完全立方和立方和两条公式，是很好的综合练习，建议自己动手推一遍。

2. 从硬乘到杨辉三角：公式是怎么长出来的

我一直觉得，公式要么自己推一遍，要么就别指望记得住。下面这几种推导方式，从最笨的到最巧的都有，按你自己的习惯挑一种吃透就行。这里补一句说明：具体用哪种方法推导，是学习者根据自身情况选择的，不是唯一标准答案，我下面给出的只是常见做法和我个人觉得最好上手的路径。

2.1 最笨的办法：老老实实乘三遍

(a+b)³ = (a+b)² · (a+b) = (a² + 2ab + b²)(a+b)

然后逐项相乘：a² 乘 a 得 a³，a² 乘 b 得 a²b；2ab 乘 a 得 2a²b，2ab 乘 b 得 2ab²；b² 乘 a 得 ab²，b² 乘 b 得 b³。

合并同类项：a³ + (1+2)a²b + (2+1)ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。

这个方法看起来繁琐，但它的价值在于每一步都能验证。我一般建议基础不牢的同学先走这条路，走两遍之后再去看组合数解释，理解会顺畅很多。反而是一上来就讲 C(n,k) 的同学，容易在"懂了"和"会做"之间掉队。

顺便说一句，这个过程也解释了为什么完全平方公式必须先熟练。完全立方本质上就是"完全平方再乘一次"，平方公式不熟，立方公式的推导就会卡在中间那一步。

2.2 聪明一点：杨辉三角的系数表

把二项式的展开系数排成三角形，会得到：

n=0: 1 n=1: 1 1 n=2: 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 n=5: 1 5 10 10 5 1

每一行的第一个和最后一个都是 1，中间每个数等于它肩上两个数之和。第 n 行对应(a+b)ⁿ展开后的系数。

这个表的好处是可以一路用到四次、五次甚至更高次。比如(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴，(a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵。很多同学只背了平方和立方两行，做到四次就抓瞎，其实记住"肩上两数相加"这个规则，现场画几行就行。

再进一步，每一项的字母指数也有规律：a 的指数从 n 递减到 0，b 的指数从 0 递增到 n，每一项的两个指数加起来恒等于 n。所以只要记住系数，字母部分不用记，按规律写出来就行。

这个"指数和为定值"的观察还有个实用价值：写完展开式之后可以快速检查——每一项是不是都满足指数和等于 3？如果有哪一项写成了 a²b²，那肯定是错的。

2.3 立方和公式的推导：待定系数法上场

a³ + b³怎么拆成两个因式？一种思路是待定系数。

既然 a³+b³ 在 a = −b 时等于 0，那 (a+b) 一定是它的因式。设

a³ + b³ = (a+b)(pa² + qab + rb²)

右边展开：pa³ + qa²b + rab² + pa²b + qab² + rb³ = pa³ + (q+p)a²b + (r+q)ab² + rb³。

对比左边 a³ + 0·a²b + 0·ab² + b³：

• p = 1
• q + p = 0 → q = −1
• r + q = 0 → r = 1
• r = 1 ✓

所以a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)。整个过程没有任何"猜"的成分，全是方程，特别适合喜欢按部就班推导的人。

同样的办法推立方差：设a³ − b³ = (a−b)(pa² + qab + rb²)，展开对比，会得到 p=1、q=1、r=1，即(a² + ab + b²)。这条路走通之后，你就再也不会把中间项的符号搞反了。

3. 记忆与速算：把公式变成手上的工具

公式背下来只是及格线，真正拉开差距的是"什么时候该用哪条"和"用多快"。这一节我把自己平时教的方法和我自己习惯的处理方式都摊开说。

3.1 三句口诀 + 一个自检动作

口诀这种东西不能替代理解，但在考场上能救命。我常用的是这三句：

• 完全立方看系数：一三三一，符号跟着 b 走。意思是(a+b)³全是正号，(a−b)³的 b 项正负交替。判断方式是：把 b 看成带正负号的整体，展开式里 b 的指数是 1 和 3 的项带负号。
• 立方和差看因式：和正差负，二次项反着来。立方和配 (a+b)，二次项用减；立方差配 (a−b)，二次项用加。
• 中间项永远不平方。别写成 a²b²，别写成 a²+2ab+b² 那种平方公式的形状。

除了口诀，还要养成一个自检动作：代数字验算。取 a=2、b=1，验a³+b³ = 8+1 = 9，那么(a+b)(a²−ab+b²) = 3×(4−2+1) = 9✓。如果你记成了(a+b)(a²+2ab+b²)，算出来是 3×9 = 27，不对，立刻就能发现。这个动作只要五秒钟，比反复默念公式管用得多。

我建议在刚学这两条公式的那一两周，每写一次就代一次数，形成肌肉记忆之后就不用了。很多同学的错误公式是在没人纠正的情况下练了几十遍，最后想改都改不过来，原因就是缺了这一步。

3.2 数字速算：公式最爽的用武之地

立方公式在生活中最直接的应用就是心算大数的立方。举个我常演示的例子：算 103³。

103³ = (100+3)³ = 100³ + 3×100²×3 + 3×100×3² + 3³

= 1000000 + 90000 + 2700 + 27 = 1092727

直接硬算 103×103×103 也能出结果，但中间要处理 10609×103，容易算错位。用公式拆开之后，每一项都是"整数加零"的形式，口算就能出结果。

再比如 99³：

99³ = (100−1)³ = 1000000 − 3×10000×1 + 3×100×1 − 1 = 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299

注意这里第三项是+3ab²，因为 b = −1，平方之后是正的；第四项b³ = −1，所以是减 1。这种符号的细节是速算最容易出错的地方，我一般会先单独把四项的符号写在纸上，再填数字。

立方和公式也适合做数值计算。比如算37³ + 13³，直接算两个立方再相加是 50653 + 2197 = 52850，也能算；但用公式(37+13)(37² − 37×13 + 13²) = 50×(1369 − 481 + 169) = 50×1057 = 52850，中间不用处理大数乘法，出错概率更低。当然这种题在考试里不常见，但它说明了一个道理：公式的价值在于把大数运算拆成小数运算，这个思路在很多估算和验算场景里都用得上。

3.3 逆向使用：从"展开"切换到"分解"

初学者最不适应的就是方向切换。看到一个式子，先本能地想展开，结果越展越复杂。我总结了一个判断标准：看目标。如果题目最终要的是"一个数的值"，那多半要展开化简；如果题目要的是"几个因式相乘""能约分""能判断正负"，那就要往因式分解方向走。

举个例子：化简(x³+1)/(x²−x+1)。如果展开分子，会得到一堆项，反而看不出来；但把分子用立方和公式拆成(x+1)(x²−x+1)，立刻能和分母约掉，答案是 x+1。整个过程两行。

再比如判断a³−b³与a²b − ab²的大小关系（a > b > 0）。前者是(a−b)(a²+ab+b²)，后者是ab(a−b)。两者都含 (a−b) > 0，比一下a²+ab+b²和ab，显然前者更大，所以 a³−b³ > a²b−ab²。这种比较题用因式分解比用差值法快得多。

我个人的经验是：把"展开"和"分解"当成两个抽屉，做题前先花三秒钟想清楚，这道题最后要的是什么形态，再从对应的抽屉里取工具。这个习惯一旦养成，很多题能省掉一半的试错时间。

4. 六类典型题型的完整解法

光看公式没什么用，关键是要知道它在题目里长什么样。下面这六类是我在教学中反复用到、也最能体现立方公式价值的题型。每类我都给出完整过程，包括思路是怎么来的。

4.1 求值：从和与积反推立方和

这是最经典的一类。已知 a+b 和 ab，求 a³+b³。

例题：已知 a+b = 5，ab = 6，求 a³+b³。

思路：直接用立方和公式需要 a²−ab+b²，而这个可以用 (a+b)² 和 ab 拼出来。推导如下：

a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²) = (a+b)[(a+b)² − 3ab]

代入：5 × (25 − 18) = 5 × 7 = 35。

验证：a、b 是方程 t² − 5t + 6 = 0 的两根，即 2 和 3，2³+3³ = 8+27 = 35 ✓。

这个变形a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)是必须记住的，它比原公式更常用，因为它完全用"和"与"积"表示，不需要知道具体的 a 和 b。同理a³ − b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b)。

变式：已知 x + 1/x = 3，求 x³ + 1/x³。

把 1/x 看成 b，则 a+b = 3，ab = 1，所以x³ + 1/x³ = 3³ − 3×1×3 = 27 − 9 = 18。这类题在分式与根式章节里出现频率极高。

4.2 因式分解：识别"立方 + 常数"的结构

例题：分解 x³ + 27。

27 = 3³，所以这是标准的立方和：x³ + 27 = (x+3)(x² − 3x + 9)。

这里有个细节值得强调：二次因式x²−3x+9不能再分解。有同学会尝试用求根公式，判别式 9 − 36 < 0，确实无实根。

例题：分解 8x³ − 1。

8x³ = (2x)³，1 = 1³，所以8x³−1 = (2x−1)(4x² + 2x + 1)。注意这里 a 是 2x 不是 8x，很多同学会写成(8x−1)(...)，一展开就对不上。判断方式：把候选因式乘开第一项，2x · 4x² = 8x³✓。

最后一行那种"整体代换"的情况，是进阶用法。核心思想是：立方和差公式里的 a、b 可以是任何式子，不一定是单个字母。

4.3 化简与约分：把分母变干净

例题：化简(x³ − y³)/(x² − y²)。

分子用立方差：(x−y)(x²+xy+y²)；分母用平方差：(x−y)(x+y)。约掉 (x−y)，结果是(x²+xy+y²)/(x+y)。

这类题的关键是先分解再约分，不要先通分。我见过有同学把分子分母同时乘一个式子想凑成同分母，越搞越乱。

例题：化简1/(x−1) − 1/(x²+x+1)相关的分式时，可以先通分：

通分后分子是(x²+x+1) − (x−1) = x² + 2，分母是(x−1)(x²+x+1) = x³ − 1（用立方差反推）。所以结果是(x²+2)/(x³−1)。

看到分母是(x−1)(x²+x+1)这种形状，就要立刻反应过来它是 x³−1，这是立方差公式在分式里的典型用法。

4.4 证明恒等式：从两边凑到中间

例题：证明(a+b)³ − (a−b)³ = 2b(3a² + b²)。

左边展开：(a³+3a²b+3ab²+b³) − (a³−3a²b+3ab²−b³)。

逐项对消：a³ 消掉，3a²b 变成 3a²b + 3a²b = 6a²b，3ab² 抵消，b³ 变成 b³ + b³ = 2b³。

所以左边 = 6a²b + 2b³ = 2b(3a² + b²) ✓。

这个结论本身也值得记一下：两个完全立方相减，奇数次项保留，偶数次项抵消。类似地(a+b)³ + (a−b)³ = 2a(a² + 3b²)，也就是关于 a 的部分保留。

这类题的做法是做差或做和之后合并，别急着把右边展开。我一般建议从复杂的一边往简单的一边推，因为展开容易，因式分解难。

4.5 解方程：高次方程的降次手段

例题：解方程 x³ − 8 = 0。

x³ − 8 = (x−2)(x²+2x+4) = 0。第一个因式给 x = 2；第二个因式判别式 4 − 16 < 0，无实根。所以在实数范围内只有一个解 x = 2。

如果不分解，直接开立方也能得到 x = 2，但那会漏掉复数根的讨论空间。分解的好处是它能告诉你"还有没有别的根"。

例题：解x³ + x² − x − 1 = 0。

这个不能直接套公式，但可以分组分解：x²(x+1) − (x+1) = (x+1)(x²−1) = (x+1)²(x−1)，所以 x = 1 或 x = −1（二重根）。

分组分解是立方公式的"亲戚技能"，经常和立方公式配合使用。

再举一个组合题：x³ + 3x² + 3x + 1 = 0。看出来了吗？这就是(x+1)³ = 0，所以 x = −1（三重根）。很多同学会尝试分组或者猜根，其实一眼就能认出完全立方的结构。这里有个判断技巧：如果系数是 1、3、3、1 或者它们的倍数，先怀疑它是完全立方。

4.6 最值与不等式：配方思想的三次版本

例题：求 a³ + b³ + c³ − 3abc 的最小值，其中 a+b+c = 0。

直接套第三公式：因为 a+b+c = 0，所以a³+b³+c³−3abc = 0。也就是说在这个约束下，这个式子的值恒为 0，不存在"最小值"的问题。这个结论在竞赛里经常用来秒杀题目。

例题：已知 x > 0，求证x³ + 1/x³ ≥ 2。

设 t = x + 1/x，由基本不等式 t ≥ 2。而x³ + 1/x³ = t³ − 3t。令 f(t) = t³ − 3t，在 t ≥ 2 上求导或者直接观察单调性：f'(t) = 3t² − 3 = 3(t−1)(t+1)，当 t ≥ 2 时恒正，所以 f 单调递增，最小值在 t = 2 处取到，为 8 − 6 = 2。等号在 x = 1 时成立 ✓。

这道题展示了立方公式在不等式里的典型用法：先用公式把高次降成低次，再对低次部分用基本不等式。这个套路在很多高考压轴和竞赛题里反复出现，值得单独练几遍。

5. 常见错误与排查清单

公式不熟不可怕，可怕的是错了没人指出、练了几百遍定型。下面这五类错误是我在批改作业时见到的最高频问题，配上对应的自查方法。

5.1 五个高频错误全记录

错误一：把立方当平方算。(a+b)³写成a³+b³。这是最典型的"符号搬运"，把平方公式里的(a+b)²=a²+b²（本身也是错的）的思维惯性搬到了立方上。

错误二：中间项系数写成 2。(a+b)³ = a³ + 2a²b + 2ab² + b³。原因是前一天刚练过完全平方，系数 2 的印象还在。这个错误很隐蔽，因为如果只看结构不看数字，很容易骗过自己。

错误三：立方和公式的二次项符号搞反。记成a³+b³ = (a+b)(a²+ab+b²)。这个错误最要命，因为展开之后中间会出现 a³ + 2a²b + 2ab² + b³，和完全立方搞混了。

错误四：把 a、b 当成单个字母。遇到8x³ − 1时写成(8x−1)(64x²+8x+1)。这里的 a 应该是 2x，因为 (2x)³ = 8x³。

错误五：忘记完全立方差的符号规律。写成(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² + b³，最后一项的符号错了。记住"b 的奇数次方带负号"这个规则。

5.2 三秒钟自查法

我在教学里推的是一个特别简单的验证流程，任何人都能立刻用上：

第一步，代特殊值。取 a = 2、b = 1，两边分别算，看看相不相等。这个方法能查出 90% 以上的公式错误，代价是三秒钟。

第二步，看次数。展开后每一项的总次数必须是 3。如果出现了 a²b² 这种四次项，说明结构错了。

第三步，看项数。完全立方展开后有 4 项（合并同类项之后），立方和分解后有 2 个因式、每个因式 3 项和 3 项（或 2 项乘 3 项）。项数不对就要警觉。

注意：自查的时候一定要在纸上写完整的等式，不要心算。我见过的绝大多数"以为自己会"的情况，都是心算跳步造成的误判。

另外再说一个实操建议：把四条公式写在卡片上，正面写公式名，背面写公式，每天抽三分钟默写一遍，写错的地方做标记，第二天重点看。这个方法比刷十道题管用，因为刷题的时候往往会绕开自己不会的部分，而默写绕不开。

6. 从立方往更高次延展

立方是个节点，往上有四次五次，往下有平方，横着还有因式分解的各种套路。这一节讲讲立方公式能带你走到哪。

6.1 n 次方差的统一形式

aⁿ − bⁿ永远可以分解成(a−b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + ... + bⁿ⁻¹)，不管 n 是奇数还是偶数。这个式子里所有项的符号都是正的，很好记。

而aⁿ + bⁿ只有在 n 为奇数时才能分解成(a+b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² − ... + bⁿ⁻¹)，符号交替。n 为偶数时在实数范围内分解不了，比如 a²+b²、a⁴+b⁴ 都拆不动。

拿 n = 3 检验：a³−b³拆成(a−b)(a²+ab+b²)✓，a³+b³拆成(a+b)(a²−ab+b²)✓。和前面的公式完全对得上，所以这两条立方公式其实是通式在 n=3 时的特例。理解了这一点，你就不用单独记立方和差公式了——记通式，代 n=3 即可。

6.2 一个能省半小时计算的推论

前面提过1³ + 2³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²。这个结论可以从立方和公式推出来，思路是设(k+1)⁴ − k⁴展开后裂项求和，不过更快的办法是记住结论。

我提这个不是因为它在考试里常用，而是因为它体现了一种思维方式：高次的和往往能用低次的表达式表示。1³+...+n³ 是四次的多项式，而 1+2+...+n 是二次的，两者的平方关系不是巧合。

在实际计算里，如果遇到求1³+2³+...+10³这种，直接套公式：[10×11/2]² = 55² = 3025，比一项一项加快太多了。我试过手算验证，1 到 10 的立方和确实是 3025。

6.3 立方公式在几何里的样子

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³有非常直观的几何解释：一个棱长为 a+b 的大立方体，可以切成 8 块——1 块棱长 a 的立方体、1 块棱长 b 的立方体、3 块 a×a×b 的长方体、3 块 a×b×b 的长方体。

这个图我在给空间想象力弱的学生讲课时一定会画。画完之后他们能立刻明白为什么是两个 3，也能明白为什么中间项不是平方项。手边有纸笔的话，建议自己画一次，画完之后记忆会牢固得多。

同样的思路，a³ − b³可以理解为从大立方体里挖掉一个小立方体，剩下的部分切成三块：一块底面 a² 高 a−b 的柱体、一块 a×b 高 a−b 的柱体、一块 b² 高 a−b 的柱体。三块加起来，高度都是 (a−b)，底面积分别是 a²、ab、b²，合起来就是(a−b)(a²+ab+b²)。这个解释我特别喜欢，因为它把公式的每一项都和一块具体的体积对应起来了。

6.4 后续还能往哪钻

如果你已经把上面这些吃透了，可以考虑这几个方向继续：

一是多项式因式分解的系统方法，包括试根法、有理根定理、综合除法，立方公式只是其中一个工具。二是对称多项式，a³+b³+c³−3abc就是最基本的对称多项式之一，往深了走能碰到韦达定理、判别式这些内容。三是数列求和里的裂项技巧，很多裂项本质上是立方差公式的变形。

不过话说回来，我个人的体会是：不必急着往后学，先把四条公式练到"看到形状就条件反射"的程度更重要。我带过的学生里，能一路往后学的，往往不是学得最快的，而是基础公式一次都没记错的。

最后再分享一个我自己踩过坑之后总结的小技巧：每次遇到看起来像立方公式但不太确定的式子，先做一次代特殊值，再做一次量纲检查（每一项的次数是否一致），两关都过了再往下算。这两个动作加起来不到十秒，但能拦下绝大多数低级失误。当年我在考场上把(2x−3)³的中间项写成−18x²，就是因为跳过了这一步，明明应该是−3·4x²·3 = −36x²，一个数字之差，整道题的分就没了。