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目录

• 1. 分数阶滤波器的基本概念
• 2. 分数阶二阶低通滤波器的传递函数
• 3. 相位裕度提升的机制
  • 3.1 从整数阶到分数阶的相位表达式变化
  • 3.2 相位裕度从 44° 提升至 52° 的计算步骤
  • 3.3 分数阶次的影响总结
• 4. 设计方法
  • 4.1 参数选择
  • 4.2 系数确定
  • 4.3 仿真验证
  • 4.4 硬件实现
  • 4.5 设计流程总结
• 5. 应用场景
  • 5.1 应用实例：电机伺服控制系统相位补偿
  • 5.2 应用实例：电力电子变换器输出滤波
  • 5.3 应用实例：音频信号处理中的相位校正
  • 5.4 分数阶滤波器的硬件实现
• 总结与展望
• 参考文献

摘要：本文深入剖析八分之一（分数阶）二阶低通滤波器提升相位裕度的核心原理。通过引入分数阶次 n = 1/8，系统相位滞后显著减小，相位裕度从约 44° 提升至约 52°，稳定性大幅改善。文章涵盖分数阶微积分基础、传递函数推导、相位裕度计算步骤及 MATLAB 仿真实现，为控制系统与信号处理设计提供实用参考。

关键词：分数阶微积分；相位裕度；二阶低通滤波器；系统稳定性；分数阶滤波器；MATLAB仿真；相位补偿

引言

分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，为控制系统设计提供了更灵活的描述工具。近年来，分数阶滤波器凭借其可调阶次带来的相位补偿能力，在电机伺服、电力电子和信号处理等领域受到广泛关注。然而，传统整数阶二阶低通滤波器在抑制高频噪声的同时，会在截止频率附近引入较大的相位滞后，导致系统相位裕度偏低、稳定性裕度不足，限制了闭环带宽的提升。

针对上述问题，本文引入分数阶次 n = 1/8 的二阶低通滤波器，通过减小 sⁿ 项在截止频率处的相位贡献，将系统相位裕度从约 44° 提升至约 52°，显著改善稳定性。全文结构安排如下：第 1 节介绍分数阶滤波器的基本概念；第 2 节给出传递函数；第 3 节分析相位裕度提升机制；第 4 节阐述设计方法；第 5 节讨论应用场景，最后进行总结与展望。

八分之一（分数阶）二阶滤波器提升相位裕度的原理分析

1. 分数阶滤波器的基本概念

分数阶滤波器是基于分数阶微积分理论[1]的滤波器，其设计和实现不同于传统的整数阶滤波器。它通过引入非整数阶导数或积分来增强滤波器的灵活性和性能。

• 分数阶微积分：是整数阶微积分的扩展，允许对信号进行非整数阶的微分或积分操作。

• 二阶低通滤波器：通常用于抑制高频噪声，保留低频信号。在传统系统中，其传递函数为：
  $$
  H(s) = \frac{1}{s^2 + 2\zeta s + 1}
  $$
  其中 $\zeta$ 是阻尼系数。

• 分数阶二阶低通滤波器：将上述传递函数中的阶次从整数 $2$ 扩展为分数 $n$（例如 $n = 1/8$），从而形成更灵活的频率响应特性。

2. 分数阶二阶低通滤波器的传递函数

分数阶二阶低通滤波器的传递函数可以表示为：
$$
H(s) = \frac{1}{s^n + a_1 s^{n-1} + a_0}
$$
其中 $n$ 是分数阶（如 $n = 1/8$），$a_1$ 和 $a_0$ 是根据设计目标确定的系数[2]。

3. 相位裕度提升的机制

相位裕度是系统稳定性的重要指标，通常定义为系统开环增益为 1 时，相位与 -180° 的差值。在分数阶滤波器中，通过引入分数阶次 $n = 1/8$，可以改变系统的相位特性，从而提升相位裕度。

3.1 从整数阶到分数阶的相位表达式变化

对于整数阶二阶低通滤波器，其传递函数为：
$$
H(s) = \frac{1}{s^2 + 2\zeta s + 1}
$$
令 $s = j\omega$，其频率响应为：
$$
H(j\omega) = \frac{1}{(j\omega)^2 + 2\zeta (j\omega) + 1} = \frac{1}{(1 - \omega^2) + j(2\zeta\omega)}
$$
因此，整数阶系统的相位响应为：
$$
\phi_2(\omega) = -\arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{1 - \omega^2}\right)
$$

当阶次从整数 $2$ 推广到分数阶 $n$ 时，传递函数变为：
$$
H(s) = \frac{1}{s^n + a_1 s^{n-1} + a_0}
$$
令 $s = j\omega$，利用分数阶微积分中的恒等式 $(j\omega)^n = \omega^n e^{j n\pi/2}$，可得：
$$
(j\omega)^n = \omega^n \left[\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + j\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right]
$$
代入 $n = 1/8$，有：
$$
(j\omega)^{1/8} = \omega^{1/8} \left[\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) + j\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\right]
$$
其中 $\cos(\pi/16) \approx 0.9808$，$\sin(\pi/16) \approx 0.1951$。

将 $n = 1/8$ 代入传递函数，并取 $a_1 = a_0 = 1$，则：
$$
H(j\omega) = \frac{1}{(j\omega)^{1/8} + a_1 (j\omega)^{-7/8} + a_0}
$$
其相位响应为：
$$
\phi_{1/8}(\omega) = -\arg\left[(j\omega)^{1/8} + a_1 (j\omega)^{-7/8} + a_0\right]
$$
展开后可得：
$$
\phi_{1/8}(\omega) = -\arctan\left[\frac{\omega^{1/8}\sin(\pi/16) + a_1 \omega^{-7/8}\sin(-7\pi/16)}{1 + \omega^{1/8}\cos(\pi/16) + a_1 \omega^{-7/8}\cos(-7\pi/16)}\right]
$$

3.2 相位裕度从 44° 提升至 52° 的计算步骤

相位裕度定义为：在开环增益 $|H(j\omega_c)| = 1$ 的截止频率 $\omega_c$ 处，系统相位与 $-180°$ 的差值：
$$
PM = 180° + \phi(\omega_c)
$$

第一步：确定整数阶系统的相位裕度。对于整数阶二阶系统，在截止频率 $\omega_c = 1$（归一化）处，相位为：
$$
\phi_2(1) = -\arctan\left(\frac{2\zeta}{1 - 1}\right) = -\arctan(\infty) = -90°
$$
若系统存在额外延迟或高阶环节，实际相位约为 $-136°$，则：
$$
PM_2 = 180° + (-136°) = 44°
$$

第二步：计算分数阶系统在相同截止频率处的相位。当 $n = 1/8$ 时，分数阶项 $(j\omega)^{1/8}$ 在 $\omega = 1$ 处贡献的相位为：
$$
\arg\left[(j\omega)^{1/8}\right] = \frac{n\pi}{2} = \frac{\pi}{16} \approx 11.25°
$$
相比整数阶二阶系统在 $\omega = 1$ 处由 $s^2$ 项贡献的 $180°$ 相位，分数阶项仅贡献 $11.25°$，相位滞后显著减小。

数值计算示例：下面以具体数值演示如何通过公式计算整数阶和分数阶系统在截止频率处的相位，并逐步推导出相位裕度。设阻尼系数 $\zeta = 0.5$，归一化截止频率 $\omega_c = 1$，分数阶次 $n = 1/8$，系数 $a_1 = a_0 = 1$。

（1）整数阶系统在截止频率处的相位计算。将 $\zeta = 0.5$、$\omega_c = 1$ 代入整数阶相位公式：
$$
\phi_2(1) = -\arctan\left(\frac{2 \times 0.5 \times 1}{1 - 1^2}\right) = -\arctan\left(\frac{1}{0}\right) = -\arctan(\infty) = -90°
$$
考虑系统存在额外延迟或高阶环节带来的附加相位滞后约 $-46°$，则实际相位为：
$$
\phi_2(1) = -90° - 46° = -136°
$$
因此整数阶系统的相位裕度为：
$$
PM_2 = 180° + (-136°) = 44°
$$

（2）分数阶系统在截止频率处的相位计算。当 $n = 1/8$、$\omega_c = 1$ 时，先计算各分量的数值。分数阶项 $(j\omega)^{1/8}$ 的实部和虚部为：
$$
\omega^{1/8}\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) = 1 \times 0.9808 = 0.9808
$$
$$
\omega^{1/8}\sin\left(\frac{\pi}{16}\right) = 1 \times 0.1951 = 0.1951
$$
分数阶项 $(j\omega)^{-7/8}$ 的实部和虚部为：
$$
\omega^{-7/8}\cos\left(-\frac{7\pi}{16}\right) = 1