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量子计算基础：量子态变换与量子门

1. 量子变换的基本概念

量子变换是从量子系统的状态空间到其自身状态空间的单向映射。由于真正合理的可能性数量有限，对特定场景进行的每次测量只能得出概率性结论。这里主要关注封闭量子系统内部发生的变化。

自然不会随机改变量子系统的特性，这些变化必须遵循量子测量和量子叠加的原则。对于已为其他状态组合的状态要成为其图像的叠加，变换在与状态空间相关的特征空间中必须是线性的。具体而言，对于每个 U 型量子跃迁，在方程 $|\psi\rangle = \alpha_1|\psi_1\rangle + \cdots + \alpha_k|\psi_k\rangle$ 描述的每个叠加态上都成立，因为正交子空间的存在意味着单位长度向量会导向其他单位长度向量。

1.1 幺正变换的性质

• 若线性变换的伴随 $U^\dagger$ 等于其逆 $U^{-1}$，即 $U^\dagger U = I$，则该变换是幺正的，这适用于任何可能的量子过程。
• 量子系统状态空间相关的复向量空间上的幺正算子集合与系统允许的变化集合相同。
• 幺正算子可用于将标准正交基相互映射以生成新的标准正交基，因为它们保留内积。从一个标准正交基到另一个的转换是单向变换矩阵的一个例子。

1.2 幺正变换的矩阵表示

幺正变换的矩阵表示若其列集合与所讨论的变换正交，则可视为标准正交的。换句话说，$U$ 是幺正的当且仅当其行是标准正交的。两个幺正变换 $U_1$ 和 $U_2$ 可以组合产生第三个幺正变换 $U$。例如，若 $U_1$ 和 $U_2$ 分别是 $X_1$ 和