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在对有源滤波器的研究中，我们假设运算放大器是理想的，这样我们就可以不用考虑运算放大器的特性，而是只研究滤波器的响应。

理想情况（简化模型）：​ 在最基础的分析中，通常假设运算放大器是“理想”的。这意味着它的开环增益是无穷大，带宽也是无限的。在这种模型下，设计者只需关注外部的无源元件（电阻、电容），就能确定滤波器的响应，完全不需要考虑放大器自身的特性。

现实情况（进阶研究）：​ 文本指出，为了研究增益随频率增加而下降（即“滚降”）对滤波器性能的影响，必须打破“理想”的假设。现实中，运算放大器的增益是有限的，并且会随着信号频率的升高而降低。这引入了一个额外的变量，使得分析变得更加复杂。

现在我们希望能同时研究运算放大器增益随着频率增大会滚降对滤波器性能造成的影响。不像纯阻性电路，滤波器反馈系数 β(jf) 与频率有关，因而环路增益 T(jf)=a(jf)×β(jf)=a(jf)/[1/β(jf)]。

a(jf) —— 开环增益：

这是运算放大器自身固有的属性。它是一个复数函数，其幅值（大小）会随着频率 f 的增加而逐渐减小。在波特图上，它表现为一条随着频率升高而不断向下倾斜的曲线。

β(jf) —— 反馈系数：

这是由电路外部反馈网络（如电阻分压器）决定的参数。关键点在于：​ 在某些复杂的滤波器电路中（特别是包含电容的主动滤波器），这个反馈系数不仅仅是一个常数，它也会随着频率的变化而改变。

T(jf) —— 环路增益：

这是开环增益和反馈系数的乘积。它决定了闭环系统的稳定性、精度和瞬态响应。只有当环路增益足够大时，电路才能正常工作而不产生振荡。

该式表明环路增益中既有 a(jf) 的零极点，也有 β(jf) 的零极点（即 1/β(jf) 的极零点）。

极点（Pole）：​ 通常由电路中的储能元件（如电容、电感）引起，会导致增益随频率增加而下降（每经过一个极点，增益斜率下降20dB/十倍频）。

零点（Zero）：​ 会引起相位的变化，有时能抵消一部分极点的负面影响。

下面我们将会看到，根数量的增加会使偏离函数 D(jf)=1/[1+1/T(jf)] 的计算变得复杂，H(jf) 也变复杂。幸运的是，我们可以借用电脑进行 SPICE 仿真，省去了手工计算的麻烦。

一阶滤波器

用1MHz 运算放大器在 PSpice 软件仿真中画出，即图 4.28a 所示电路。

设计参数为和。

只有在 a∣(jf)∣ 和 ∣1/β(jf)∣ 的交点（即 ft​ 附近）前，实际的响应才会接近理想值，如图 4.28b 所示。用光标测得 H0​=−9.999V/V 和 f0​=16.584kHz。

高于交点后，∣H∣ 的斜率从 −20dB/10 倍频变为 −40dB/10 倍频。当频率更高时，C 的作用相当于一根导线，故有 ∣H∣→at​≈ro​/ri​=0.01V/V(=−40dB)。

根据式(4.12)，可得

第一项为理想一阶低通（截止频率20kHz），第二项是T(jf)对响应的修正（T≫1时近1，T较小时偏离），第三项是运放高频增益ah​=0.01的贡献。

T(jf)的极零点（导致偏离的核心）：

开环增益a(jf)在10Hz有极点（增益随频率升高开始滚降，斜率-20dB/十倍频）

反馈系数β(jf)有20kHz零点和200kHz极点（因电容C随频率变化的容抗）

故T(jf)=a(jf)β(jf)在10Hz、200kHz有极点，在20kHz有零点

偏离机制：

T≫1（交点前）：极零点影响小，响应接近理想；

交点后：在超过交叉频率点后，H(jf) 与理想值明显偏离，开始是由于在交叉处的极点导致了偏离，后来是由于用于产生高频渐近线 ∣H(jf)∣→−40dB 的零点对（在 10MHz 左右）所导致的（果然高频部分的响应与图 4.20b 所示的非常接近，因为高频时 ro​ 相对于 R2​ 占主导，使电路变得像积分器）。

用图 4.3b 所示的 1MHz 运算放大器将图 3.10a 所示的高通滤波器重新在 PSpice 软件仿真中画出，即如图 4.29a 所示。

理想设计参数：

直流增益：H0(ideal)​=−R2​/R1​=−10V/V（同低通）

截止频率：f0(ideal)​=1/(2πR1​C1​)=1kHz（单极点高通特征频率，注意图3明确为1/(2πR1​C)，与低通分母R2​不同）

交点前（接近理想）：在a(jf)与1/β(jf)交点（约100kHz附近）前，实际响应接近理想。

实测直流增益：H0​=−9.987V/V（接近理想-10 V/V）

实测截止频率：f0​=990Hz（接近理想1 kHz）

交点后（偏离理想）：表现出低通特性（与低通趋势相反，因高通反馈网络在高频的相移和增益变化），且因“直通效应”（输入直接耦合到输出，频率远低于低通）可忽略。

第一项为理想一阶高通（截止频率1kHz，分子f/10^3保证直流增益为0，高频增益-10 V/V），第二项同低通为T(jf)修正。

T(jf)的极零点：

反馈系数β(jf)在100Hz和1kHz附近各有极点和零点（因电容C1​在低频容抗大，反馈弱；高频容抗小，反馈强）;

故T(jf)在10Hz、100Hz有极点，在1kHz有零点。

偏离机制：T≫1时影响小，交点后（100kHz附近）因“交叉点处极点”偏离，总体响应相当于宽频带通滤波器（低频被高通截止，高频被运放增益滚降限制，中间频段通带）

二阶滤波器

所示的为一个常见的有代表性的多通道反馈结构二阶滤波器。

电路拓扑：图4.30展示了一个经典的二阶带通滤波器。它由跨接在输入和反馈路径上的两个储能元件（电容 C）以及电阻网络（R1​,R2​,R3​）构成。这种结构利用多路反馈机制来产生双极点响应。

理想假设：在分析的一开始，假设运放是理想的，即直流开环增益 a(s)=∞，输入阻抗 rd​=∞，输出阻抗 ro​=∞。

该电路的传输函数可以表示为：

前级项

这是在 a(s)→∞ 时的理想带通响应。它具有标准的二阶带通形式，其中 ω0​ 是中心角频率，Q 值决定了带宽和峰值的尖锐程度。

修正项

这一项是引入有限增益后的偏离函数。括号内的二阶多项式 (s^2+…) 实际上代表了由电阻和电容构成的反馈系数 β(s)​ 的分母。因此，整个修正项本质上反映了环路增益 T(s)=a(s)β(s) 对理想响应的影响。

非理想特性的影响机制

文本重点分析了当运放开环增益 a(s) 随着频率升高而滚降（下降）时发生的物理现象：

低频段：此时 a(s) 非常大，a(s)1​≈0。修正项趋近于 1，电路表现出理想的带通特性。

高频段（转折频率 ft​ 附近）：

随着 a(s) 减小，修正项中的分母开始起作用。

新极点的产生：修正项的分母引入了新的极点。这意味着原本在高频处应该无限衰减的响应，现在会受到这个新极点的影响，导致高频滚降特性发生改变。

斜率变化：理想二阶低通（或带通的高频截止部分）的滚降斜率是-40 dB/decade。但由于这个新极点的影响，总的响应斜率会向-20 dB/decade​ 靠拢（即文本所说的“从 -40dB/10倍频变为 -40dB/10倍频”，意指受极点牵制，高频衰减变慢）。

性能偏离的定量分析

工程设计中最关心的是中心频率 f0​ 和品质因数 Q 的误差。公式给出了在 Qf0​≪ft​（即滤波器中心频率远小于运放增益带宽积）的条件下的重要近似关系：

物理意义：这个负值公式表明，由于运放有限带宽的限制，实际实现的 f0​ 和 Q 总是低于设计值（产生负偏差）。

GBP（增益带宽积）的限制：

公式右侧的 Q×f0​ 代表了滤波器对运放带宽的“苛刻程度”。

Q 值越高（滤波器越尖锐），或者f0​ 越高（工作频率越高），所需的运放增益带宽积 ft​ 就必须越大。如果 ft​ 不够大，滤波器的性能就会严重劣化。

综上所述，这段文字揭示了有源滤波器设计中的核心权衡：电路的理论设计是一回事，但受制于运算放大器物理特性的非理想滚降，实际电路的性能会有偏差，且高Q值电路对运放的带宽要求极为苛刻。

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在图 4.30 的电路中，采用 10nF 电容和其他合适的元器件，使电路的 H0BP​=0dB，f0​=10kHz，Q=10，并且在有限 GBP 影响下带宽偏离设计值的程度不大于 1%。求满足条件的各个元件的值。

由于 BW=f0​/Q，根据式(4.52)可得 ΔBW/BW≈−2Qf0​/ft​。因此，GBP≥2×10×104/0.01=20MHz。

另一种使用高 GBP 运算放大器的方法是预失真滤波器参数，使实际值和说明书所给的值正好一致。在这方面，PSpice 仿真是一种非常有价值的工具，它能根据需要的 ft​ 确定预失真值的大小。

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设计一个滤波器，使它满足上述的要求，要求采用的是 1MHz 运算放大器。

由 ft​=1MHz 可得 Qf0​/ft​=10×10kHz/1MHz=0.1

故由式，希望降低 f0​ 和升高 Q 的幅度约为 10%。

为了得到更加精确的估值，使用 PSpice 对图 4.31a 所示电路进行仿真，仿真结果显示在图 4.31b 中。

可以看到，整体的频率响应都有一定的偏移，且在高频部分下降斜率为 −40dB/10 倍频而不是 −20dB/10 倍频。

光标测试结果显示在底部，从测试结果可知 H0BP​=0.981V/V=−0.166dB，fL​=8.73kHz，fH​=9.55kHz 和 f0​=9.13kHz，故有

为了实现要求的参数值，对电路进行重新设计，使 f0​=(10×(10/9.13))kHz=10.95kHz，Q=10(10/11.3)=8.85 和 H0BP​=(1/0.981)V/V=1.02V/V。

得到图 4.31a 所示括号内的电阻值。在图 4.31b 所示的底部是预失真设计后的响应，通过光标测试，可得 f0​=10.0kHz 和 Q=10。

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采用 a0​=80dB 和 GBP=1MHz 的运算放大器来实现 DABP 滤波器，然后借助 PSpice 深入研究其性能。讨论你的发现。

借助PSpice 仿真图 4.32a 所示电路得到的响应表示在图4.32b 所示的上方，结果表明 非理性运算放大器会造成f0、Q和 的减小。

为了更好地理解这个问题，我们可以移除R 和C, 为这个总的阻抗为感性的电路添加测试电流源 It，通过ZL=V/It 就可以方便地测试出感性阻抗的大小。

显然，运算放大器增益的滚降会使L的有效值增大，甚至在10^5Hz 和10^6Hz 之间出现峰值，并在高频处表现出ZL→R1。幸运的是，超过10^5Hz后，C占据主导，使|H|的下降斜率为一20dB/10 倍频。

我们可以通过使用更快的运算放大器来显 著改善响应。例如，将运算放大器GBP从1MHz提高到 10MHz 后，重新运行 PSpice 仿 真，可以看到，得到的响应更加接近理想值。

核心问题：运放“开环增益滚降”的后果

现象：运算放大器的开环增益（a0​）不是恒定的，而是随着频率升高逐渐下降（滚降）。

对滤波器的影响：

频率偏移：这种滚降会导致滤波器的实际中心频率 f0​ 和截止频率发生偏移，偏离设计值。

斜率变陡：在高频段，由于运放增益的快速下降，滤波器整体的幅频响应曲线下降斜率会比理想情况更陡峭（例如从 -20dB/dec 变成 -40dB/dec），导致滤波特性失真。

解决方案：预失真（Pre-distortion）

方法：由于运放的非理想特性是已知的（可通过厂商提供的宏模型在仿真软件如 PSpice 中模拟），设计者可以在电路设计阶段故意反向调整参数（例如故意把电阻值调偏一点）。

目的：利用电路参数的“失真”来抵消运放带来的“失真”，使得最终整体电路的性能指标（如 f0​ 和 Q 值）达到理想要求。

关键经验法则（重点）

公式层面：

GBP运放​≥10×Q×f0

​工程意义：

留足裕量：如果运放的带宽仅仅比 Qf0​ 高一点点，那么运放自身增益的微小波动或温度变化就可能导致滤波器性能严重劣化。

抑制环境干扰：电路工作环境（温度、电压）和制造工艺的变化都会影响运放的实际 GBP。要求“高一个数量级”（即大 10 倍以上），是为了确保即使运放参数发生漂移，滤波器依然能稳定工作在设计指标内。

在设计高精度有源滤波器时，不能只看运放够不够用，而是要留足 10 倍以上的带宽余量，并利用仿真软件进行预失真补偿，才能保证电路的鲁棒性。