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电路的反馈系数也是与频率有关的。反相积分器电路则不仅可以用于滤波电路中，还可以在信号发生器和数据转换器中应用，相关内容在后续章节将会提及。已知理想的反相积分器的传输函数为：

其中，理想单位增益频率f0(ideal)​由RC时间常数决定：

它表示积分器的“特征频率”——频率每增加10倍，增益下降20dB（积分器的标志性斜率）。

由于运算放大器的增益会随着频率增大而出现滚降，因此估计传输函数 H(jf) 与理想值也会有所偏离。借助图 4.20a 所示的 PSpice 仿真电路将这个偏差可视化，即采用具有 1MHz 增益带宽积(GBP)和 a0​=105V/V 的运算放大器来设计这样一个单位增益频率：

图 4.20b 表明只有在一段频率范围，即从 10^3 到 10^4Hz 内，H(jf) 和 Hideal​(jf) 才会比较接近。利用 PSpice 光标测试可知单位增益频率为 fo​=89.74kHz 。

为了更深入地研究，我们计算出反馈系数，显然这是一个高通类型的函数：

式子中： β∞​ 为 β 的渐近线，这可以通过将 C 视为一根导线得到； f1​ 为转折频率，它由 C 和 C 的等效电阻得到。有：

环路增益 ∣T∣ 在图中表现为 ∣α∣ 和 ∣1/β∣ 两曲线之差，它可以衡量实际的传输函数 H(jf) 与理想值的偏差。通过观察，可以得到以下信息：

(1) 从 f1​ 到 fo​ 范围内，环路增益 ∣T∣ 最大且与频率无关。

在此区间内，运放开环增益A(jf)≈GBP/f（单极点近似），反馈系数β(jf)≈β∞​/(1+jf/f1​)（f<f1​时，β变化小）。两者乘积T=Aβ达到最大值且近似恒定，此时H(jf)最接近理想积分器。

(2) 低于 f1​ 时， ∣T∣ 随着频率减小而减小，直到 ∣α∣ 和 ∣1/β∣ 两曲线交叉点， ∣T∣ 变为单位增益。低于 f1​ 时，C 相当于开路，故运算放大器工作在全开环增益状态，有 Ho​=[ro​/(R+ro​)]ao​≈90.9×103=909V/V=59.2dB 。

当f<f1​：电容C的容抗增大（XC​=1/(2πfC)），C等效于开路，反馈网络断开，运放进入开环状态。

此时环路增益T=Aβ随f减小而减小（因β→0），直到∣α∣与∣1/β∣交叉（T=1，负反馈失效）。

开环增益：此时运放输出电阻ro​与输入电阻R分压，得H0​=R+ro​ro​​a0​≈909V/V=59.2dB（远大于理想值）。

(3) 高于 fo​ 时， ∣T∣ 随着频率增大而减小，直到 ft​ 附近 ∣α∣ 和 ∣1/β∣ 两曲线再次交叉。超过该交叉点后， ∣H∣ 的斜率变为 −40dB/10 倍频，其中 −20dB/10 倍频是积分器电路自身产生的，另外 −20dB/10 倍频是由偏离函数 D=1/(1+jf/ft​) 产生的。

当f>f0​：运放开环增益A(jf)≈GBP/f随f增大而衰减，反馈系数β(jf)也因f增大而减小（β∝1/f）。

两者共同作用下，T快速下降，直到f1​附近∣α∣与∣1/β∣再次交叉（T=1）。

后果：超过交叉点后，H(jf)的斜率从-20dB/十倍频（理想积分器）变为-40dB/十倍频——额外-20dB来自T减小的“偏离函数”D=1/(1+1/T)。

(4) 在很高频率处，C 相当于导线，导致直通增益为 at​≈ro​/R=10−3V/V=−60dB 。 H(jf) 的幅值曲线变平需要包含一对零点来抵消极点对产生的影响。

显然，至少到 f1​ 之前，积分器电路表现为一个恒定 GBP 的运算放大器，它的 GBP≈fo​ ，直流增益为 −3dB 带宽积为一个 Ho​ 。

总结

积分器的性能（如幅频线性度、积分精度）仅在T>>1的频率范围内（约f0​到f1​）接近理想。当频率超出此范围：

低频段（f<f0​）：C开路，运放开环，增益骤升；

高频段（f>f1​）：T减小，斜率变陡，出现直通增益。

幅值和相位误差

由于直通效应的出现超过了积分器的有效范围，故可以忽略。

该式表明 H(jf) 同时表现出幅值误差和相位误差。我们对 fb​≪f≪f1这段频率范围比较感兴趣，因为此时的环路增益最大，为：

表明运算放大器环路增益的滚降使积分器的单位增益频率从 f0(ideal)​ 降为 f0​=f0(ideal)​/(1+1/T)。在本例中，T=0.9989×106/(109.88×103)=9.09，故单位增益频率从 100kHz 降低到 (100/(1+1/9.09))Hz=90.09kHz (与 PSpice 仿真结果 89.74kHz 基本相符)。

既然频率会被“衰减”，设计师可以在计算电阻电容 RC 时，故意把理想频率设高一点。比如计算出需要 111kHz 的积分频率，选好元件后，实际频率正好掉落到你想要的 100kHz。这是一种反向补偿思维。

在本例中，则需要预设计 1/(2πRC)=(100kHz)×(1+1/9.09)=111kHz，这只需将 R 从 100kΩ 降低为 (100/111)kΩ=90.09kΩ (PSpice 仿真结果为 88.65kΩ)。

而实际上，T 的减小而引入预失真的设计方法不太可取，因为 ft​ 会受到生产工艺偏差、老化等因素影响。更好的做法是使用 ft​ 更大的运算放大器来达到 f0​(≈ft​)，因为更大的 ft​ 会有更大的 T，也就会减小不利因素对其的影响。而 ft​ 更大，有效频率范围的上限也会更高，就像更大的 a0​ 会减小有效频率范围一样

根据式积分器会有 90∘ 的相移。

实际上，由于有两个转折点，在有效频率的上下限相移都会偏离 90∘。下面将会看到，高频端的相移是基于积分电路的滤波器(例如双积分器环路)中问题的根源。

为了进一步研究，假设 rd​=∞,ro​=0，故 β∞​=1 且第二个截点就在 ft​ 的右边。在这些条件下，可以将在有效频率范围内较高频率处的积分器响应近似表示为：

上式表现出 εϕ​=−arctan(f/ft​) 的相位误差。

我们最关心的是 f0​ 附近的 εϕ​。由于设计得好的积分器有 f0(ideal)​≪ft​，那么对于 f≪ft​，可以近似有：

引入适当的相位超前，以抵消由极点频率 ft​ 所引起的相位滞后，可以减小 εϕ​。这个过程称为相位误差补偿。

积分器的无源补偿

容性补偿

积分器的相位误差源于运放带宽的限制（产生极点 ft​）。为了修正这个误差，文中提出的方法是在输入端引入一个零点。

误差来源（极点）：运放的有限带宽会在高频段产生相位滞后。

补偿机制（零点）：通过在电路中加入特定的阻抗（如电容 Cc​ 或电阻 Rc​），产生一个相位超前特性。当这个超前角与滞后角大小相等时，两者相互抵消，从而扩展了积分器保持 90∘ 相移的可用频率范围。

电容的阻抗 ZC​ 随频率升高而降低，表现为高通特性，这本身会产生相位超前。

为了精准抵消由 ft​ 引起的相位滞后，需要调整 Cc​ 的值，使得在转折频率 ft​ 处，电容的容抗等于输入电阻的阻值。

图 4.21a 所示电路中使用一个输入并联电容 Cc​ 对积分器进行补偿。

如果给出的电容值满足 ∣ZCc​​(jft​)∣=R 或者 1/(2πft​Cc​)=R，那么 Cc​ 的高通作用引起的相位超前就可以补偿低通项 1/(1+jf/ft​) 引起的相位滞后。因此，就扩展了可忽略相位误差的频率范围。这种技术称为零极点相消。它要求：

阻性补偿

由图 4.21b 所示电路可以得到类似的结论。

电路结构：在反馈电容 C 上串联一个小电阻 Rc​，同时将输入电阻从 R 减小为 R−Rc​。

优势：相比于电容补偿，这种结构提供了更好的微调功能。在实际电路中，可以通过精密调节 Rc​ 的阻值，来适应不同芯片或环境变化带来的参数漂移，从而更精确地逼近理想积分器特性。

设计公式：

同样基于零极点相消的原理，推导出反馈补偿电阻的公式：

可使 H(jf)→Hideal​。

由于制造过程的偏差，无法准确获得 ft​。因此对于每一单个运算放大器，都必须对 Cc​ 和 Rc​ 进行微调。尽管如此，由于 ft​ 对温度和电源的变化很灵敏，所以很难维持补偿不变。

积分器的有源补偿

采用有源补偿可以巧妙地克服无源补偿的缺点。

有源补偿则利用两个匹配的运算放大器（OA1​、OA2​），让其中一个运放（OA2​）的频率限制特性（如增益带宽积ft​）“镜像”另一个运放（OA1​）的特性，从而主动抵消积分器的相位/幅值误差。

参考图 4.22a 所示的方案，应用叠加定理，可得：

输入Vi​的贡献：OA1​的反相增益为（因运放开环增益a1​≈ai1/jf​​，ai1​为低频开环增益），故该项为（其中f0​=1/(2πRC)​是积分器的“理想转折频率”）。

反馈A2​Vo​的贡献：OA2​的闭环增益为（ft2​是OA2​的转折频率），故该项为

参考图 4.22a 所示的方案，应用叠加定理，可得：

最后一步表现出一个有趣的性质：有理化过程使分子中 f/ft​ 的一阶和二阶项相互抵消，只留下三阶项。因此当 f≪ft​ 时，近似可得：

这个误差远比的误差要小。

通过 PSpice 仿真，图 4.22a 所示补偿方案的效果在图 4.23 中作了展示。

图 4.22b 所示电路中极性反转的有源补偿（正相位误差），OA1​ 在它的反馈通路上含有反相运算放大器 OA2​，所以为了保持负反馈，需要交换 OA1​ 输入端的极性。可以证明：

式中，忽略了 f/ft​ 的高阶项。此时，有：

虽然这个值不如的值来得小，但是这个相位误差具有正极性的优点(下面将会用到这个特点)。

Q 增强补偿

已经发现非理想运算放大器对双积分环路滤波器（例如状态变量滤波器和双二阶滤波器）的影响是增加 Q 的实际值，使它高于理想运算放大器假设下的预期的设计值。这种效应确切地称为 Q 增强。

在滤波器理论中，Q 值决定了电路的选频特性尖锐程度（即谐振峰的高低）。

理想 vs 现实：设计滤波器时，通常假设运算放大器是理想的（带宽无限大）。但在现实中，运放有一个有限的转折频率（过渡频率 ft​ 或 GBP）。

现象：当把有限带宽的运放放入双积分环路结构中时，电路的相位和增益特性发生微小畸变，导致实际表现出来的 Q 值（Qactual​）比设计计算的理论值（Q）要高s

而针对利用两个积分器和第三个放大器引入 A 相位误差的双二阶结构的情况进行分析的结果为：

这个公式告诉我们，分母中的项决定了偏差程度。

当 ft​ 很大（运放很快）时，4Qf0​/ft​ 趋近于 0，分母趋近于 1，Qactual​≈Q，即符合设计预期。

当 ft​ 不够大时，分母变小，Qactual​ 显著增大。

一个潜在的灾难性后果：分母为零。

物理意义：当积分器的频率 f0​ 达到运放带宽 ft​ 的 1/(4Q) 时，分母 1−4Qf0​/ft​ 变为 0。

图 4.24 示出了设计值 Q=25 和 ft​=1MHz 时情况，Qactual​ 随 f0​ 的增加而增加，直至 f0​≈ft​/(4Q)=(10^6/100)Hz=10kHz 时变为无穷大。在这个频率点电路开始振荡。

后果：此时 Qactual​ 趋向于无穷大。在物理电路中，这意味着滤波器在该频率点的增益变成了无穷大，电路失去稳定性，开始自激振荡。

设计教训：为了避免振荡，必须确保 f0​ 远低于这个临界值。这也解释了为什么在设计高精度、高 Q 值的滤波器时，必须选用高带宽（高 GBP）的运算放大器。

除了 Q 增强外，运算放大器有限的 GBP 也会使滤波器的 f0​ 发生偏移，即

负号含义：表示实际的中心频率会比设计的 f0​ 偏低。

影响因素：偏移量与 Q 值成正比。Q 值设计得越高，频率偏移的现象就越严重。

对于小的 Q 偏移，由得：

这些方程表明，如果想让 Δf0​/f0​ 和 ΔQ/Q 在给定范围内，GBP 需要满足特定条件。

通常在实际工程中，为了保证性能，会要求 ft​>10×4Qf0​（甚至更高），以将误差控制在几个百分点以内。

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在双二阶滤波器中，要实现 f0​=10kHz，Q=25 和 H0BP​=0dB。由于 GBP 有限，β 和 Q 会与设计值有所偏离。设计值的程度不超过它的 1%。求偏离程度不超过 1% 时各个元件的值。

由 R1​=R2​=R5​=R6​=10kΩ，R3​=R4​=250kΩ 和 C1​=C2​=(5/π)nF，为了满足 f0​ 和 Q 的设计要求，分别需要 ft​≥f0​/(Δf0​/f0​)=(104/0.01)Hz=1MHz 和 ft​≥(4×25×104/0.01)Hz=100MHz。其中，Q 的条件要求更苛刻，故 GBP≥100MHz。

目标指标：

• 中心频率 f0​=10kHz
• 品质因数 Q=25
• 带通增益 H0BP​=0dB（即单位增益）

截止频率偏移：

Q值变化：

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如果采用相位误差补偿来抵消 Q 增强的影响，会很大程度上地放宽 Q 条件对 GBP 的苛刻要求。下面举个例子来加以说明。

(1) 当运算放大器的 GBP=1MHz 时，借助 PSpice 仿真例 4.9 中双二阶滤波器的带通响应。(2) 求当与 R1​ 跨接时能为三个运算放大器模块提供无源补偿的 Cc​，并求出补偿后的响应。(3) 对 C1​ 和 C2​ 进行预失真设计，使得谐振频率为 10.0kHz。(4) 使用有源补偿重复以上设计。对比两种方案并做评价。

解：电路如图 4.25 所示。图 4.26a 所示“未补偿”曲线为没用 Cc​ 进行补偿前的带通响应曲线。显然，未经补偿前的电路有 Q 增强现象。

(2) 为了对两个积分放大器和极点频率为 fB​=ft​/2 的单位增益反相放大器进行补偿，我们使用一个 Cc​=4/(2πR1​ft​)=(2/(π104×106))F≈64pF 的电容，这个电容是根据计算所得值的 4 倍。

经过 Cc​ 补偿后的带通响应曲线即图 4.26a 所示的“未补偿”曲线。虽然 Q 增强产生的影响已经被中和了，但是如所示的那样，响应仍旧表现出一定的频率偏移。

(3) 为了补偿该频率偏移，我们对 C1​ 和 C2​ 进行预失真设计 100×f0​/ft​=1%，即将它们从 1.5915nF 降低为 1.5756nF。相应的响应曲线绘制在图 4.26b 中。借助 PSpice 的光标，我们测量到谐振频率为 10.0kHz，−3dB 带宽为 fL​=9.802kHz 和 fH​=10.202kHz，

(4) 为使用有源补偿，我们对图 4.27 所示的反相放大器重新进行布线。根据式(4.5)，第二个积分器和反相放大器产生的相位误差之和为正，与第一个积分器相反。因此仅仅通过反相放大器的重新布线就得以中和总的相位误差。PSpice 仿真表明在该电路中不存在频率偏移，故 C1​ 和 C2​ 的值保持不变。然而，Q 的值却有所下降。根据经验，将 R4​ 提高到 504kΩ 可以使 Q 保持为 25。

后续还需思考