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如果你正在尝试让大模型帮你证明数学定理，或者理解复杂的数学概念，你很可能已经遇到了一个核心瓶颈：高质量的形式化数据从哪来？

大模型在数学推理和定理证明上的表现，很大程度上取决于它“吃”进去的训练数据。我们见过太多模型在自然语言数学题上表现尚可，但一到需要严格形式化（比如 Lean、Coq、Isabelle 语言）的证明场景，就立刻“露怯”，生成一堆语法错误、逻辑跳跃甚至完全错误的代码。这背后的根本原因，不是模型架构不行，而是极度缺乏高质量、大规模、对齐良好的形式化数学数据对（即自然语言数学陈述 ↔ 形式化代码）。

传统的解决方案无外乎两种：一是人工编写，成本极高，规模有限；二是用大模型直接生成，但质量参差不齐，充满“幻觉”，难以直接使用。今天要讨论的，正是打破这一僵局的新思路：“检索增强 + 迭代精炼”。这不仅是学术论文里的一个方法，更是一个能实际落地、生成百万级高质量 Lean 数据集的工程化方案。

本文将为你彻底拆解这个方案。我们不会停留在“它很重要”的层面，而是深入到“它如何工作”、“你如何借鉴或实现”以及“实践中会遇到哪些坑”。无论你是希望提升自己模型数学推理能力的研究者，还是对形式化方法、定理证明自动化感兴趣的开发者，这篇文章都将提供一个清晰的技术路线图和可操作的实践视角。

1. 核心问题：为什么形式化数据是“卡脖子”的难题？

在深入技术细节前，我们必须先理解这个问题的独特性和严峻性。

形式化数学不同于普通的代码生成或文本翻译。它要求将人类用自然语言（或半形式化语言）描述的数学定义、定理、证明，转化为计算机能严格检查的形式化语言（如 Lean、Coq）代码。这个过程必须保证：

1. 语法绝对正确：形式化语言编译器极其严格，一个符号错误都会导致失败。
2. 逻辑完全严谨：证明的每一步都必须由系统认可的基础规则或已证明的定理推导而出，不能有任何跳跃。
3. 语义精确对齐：生成的形式化代码必须精确对应自然语言陈述的数学含义。

这就导致了数据制作的“三重困境”：

• 成本高：需要同时精通专业数学领域知识和形式化语言工具的专家，人力成本和时间成本巨大。
• 规模小：人工产出的数据量（通常万级）对于训练大模型来说杯水车薪。
• 质量评估难：如何自动化地评估生成的形式化代码是否正确？最终标准虽然是编译器（如lean --check），但编译通过只代表语法和基础逻辑正确，不代表它证明了原始命题。

因此，直接让大模型“自由发挥”生成形式化数据，产出率极低，绝大部分结果无法通过编译，更不用说语义正确了。“检索+迭代精炼”框架的核心价值，就在于将一次性的、高难度的生成任务，拆解为一个可引导、可验证、可逐步改进的循环过程，从而大幅提升高质量数据的产出效率和规模。

2. 技术框架拆解：检索与迭代精炼如何协同工作？

整个方案的流程可以概括为“一检二生三验四改”的循环。下面这张流程图清晰地展示了其核心工作流：

flowchart TD A[输入: 自然语言数学命题] --> B[检索模块] subgraph B [检索模块] B1[从形式化数学库<br>（如Mathlib）中检索] B2[提取相关定义、定理、证明片段] end B --> C[生成初始形式化代码] C --> D{验证与评估} D -- 编译失败或证明错误 --> E[诊断与精炼] D -- 编译通过且证明正确 --> F[✅ 输出高质量数据对] subgraph E [诊断与精炼] E1[分析错误信息/证明状态] E2[结合检索结果与错误信息<br>生成修正提示] E3[大模型生成修正后的代码] end E --> C

让我们结合流程图，分解每个关键环节：

2.1 检索模块：为大模型配备“专业知识库”

检索不是简单的关键词匹配。它的目标是：给定一个自然语言数学命题（如“任意两个连续整数的乘积是偶数”），从庞大的形式化数学库（如 Lean 的Mathlib）中，找到最相关的定义、定理和证明策略。

为什么需要检索？

1. 提供上下文和规范：告诉模型在这个数学领域中，标准的形式化表述是什么样子。例如，“实数”在 Mathlib 中是Real，而不是R或real。
2. 提供证明素材：直接提供可能用到的引理、定理名称。例如，要证明关于偶数的性质，系统可能会检索到even_iff、even_mul等定理。
3. 降低生成难度：模型不需要从零开始“发明”证明，而是在已有知识的基础上进行组合和改编。

技术实现要点：

• 检索源：通常是整个Mathlib库的文档字符串（docstrings）、定理声明和证明代码。
• 检索方法：
  • 密集检索：使用像sentence-transformers这样的模型，将自然语言命题和形式化代码片段编码为向量，进行语义相似度匹配。
  • 稀疏检索：使用 BM25 等算法，基于关键词进行匹配。
  • 混合检索：结合两者，兼顾语义和关键词，效果通常更好。
• 返回结果：检索模块返回 Top-K 个最相关的代码片段，作为后续生成的“上下文”或“提示”的一部分。

# 伪代码示例：混合检索的核心逻辑 from rank_bm25 import BM25Okapi from sentence_transformers import SentenceTransformer import numpy as np class HybridRetriever: def __init__(self, corpus): # corpus: 形式化代码片段列表 self.corpus = corpus self.tokenized_corpus = [doc.split() for doc in corpus] self.bm25 = BM25Okapi(self.tokenized_corpus) self.encoder = SentenceTransformer('all-MiniLM-L6-v2') self.dense_embeddings = self.encoder.encode(corpus) def retrieve(self, query, top_k=5): # 稀疏检索得分 tokenized_query = query.split() bm25_scores = self.bm25.get_scores(tokenized_query) bm25_indices = np.argsort(bm25_scores)[-top_k:][::-1] # 密集检索得分 query_embedding = self.encoder.encode([query]) dense_scores = np.dot(query_embedding, self.dense_embeddings.T)[0] dense_indices = np.argsort(dense_scores)[-top_k:][::-1] # 融合分数（简单加权平均） combined_indices = set(bm25_indices).union(set(dense_indices)) combined_scores = {} for idx in combined_indices: combined_scores[idx] = 0.5 * (bm25_scores[idx] / max(bm25_scores)) + \ 0.5 * (dense_scores[idx] / max(dense_scores)) final_indices = sorted(combined_scores, key=combined_scores.get, reverse=True)[:top_k] return [self.corpus[i] for i in final_indices] # 使用示例 mathlib_snippets = ["theorem even_mul (m n : ℕ) : even m ∨ even n → even (m * n) := ...", "def even (n : ℕ) : Prop := ∃ k, n = 2 * k", "lemma succ_ne_self (n : ℕ) : n + 1 ≠ n := ..."] retriever = HybridRetriever(mathlib_snippets) query = "Prove that the product of two consecutive integers is even." relevant_snippets = retriever.retrieve(query, top_k=3) print(relevant_snippets)

2.2 初始生成与迭代精炼：让模型在反馈中学习

这是框架的核心循环。

第一步：初始生成将自然语言命题和检索到的相关片段一起，构造提示词（Prompt），输入给大语言模型（如 Codex、GPT-4、DeepSeek-Coder），生成第一版形式化代码。

-- 提示词示例（简化） """ 你是一个Lean专家。请将以下自然语言数学命题转化为正确的Lean定理和证明。 自然语言命题：任意两个连续整数的乘积是偶数。 相关Lean知识： - `def even (n : ℤ) : Prop := ∃ k : ℤ, n = 2 * k` - `theorem even_mul {a b : ℤ} (ha : even a) (hb : even b) : even (a * b) := ...` - `lemma int.succ_eq_add_one (n : ℤ) : n + 1 = (n : ℤ) + 1 := ...` 请输出完整的Lean代码，以 `theorem` 或 `lemma` 开头。 """

第二步：验证与诊断生成的代码不会直接被采纳。它会被送入 Lean 编译器进行类型检查和证明验证。

• 如果lean --check通过：说明代码语法和基础逻辑正确，进入下一步语义评估。
• 如果编译失败：编译器会给出具体的错误信息（如“未知标识符”、“类型不匹配”、“定理未找到”）。这些错误信息是宝贵的反馈。

第三步：迭代精炼基于编译器的错误信息或语义评估结果，系统会自动构建一个新的、更精确的提示词，引导模型修正错误。这个过程可能循环多次。

-- 精炼提示词示例（接上例，假设第一次生成漏掉了引入变量） """ 上一次你生成的Lean代码有错误。 自然语言命题：任意两个连续整数的乘积是偶数。 你生成的代码： theorem product_of_consecutive_ints_is_even : ∀ (n : ℤ), even (n * (n + 1)) := by intro n -- 这里需要构造证明... 错误信息： > `n` 的类型是 `ℤ`，但当前上下文期望一个证明 `even n ∨ even (n + 1)` 才能应用 `even_mul` 定理。 分析：要证明 `n * (n+1)` 是偶数，根据 `even_mul`，只需要证明 `n` 或 `n+1` 中有一个是偶数。对于任意整数 `n`，`n` 和 `n+1` 必然一奇一偶，因此其中必有一个是偶数。你需要补充这个关键引理的证明或使用现有的引理。 请根据错误信息和分析，修正并重新生成完整的Lean代码。 """

这个循环持续进行，直到代码通过编译且被验证为正确证明了原命题，或者达到最大迭代次数。每一次成功的迭代，都产生了一个（自然语言命题，正确形式化代码）的高质量数据对。

3. 构建你自己的数据生成管道：从理论到实践

理解了原理，我们来看如何搭建一个简化版的自动化管道。这里我们以 Lean 和 Mathlib 为例。

3.1 环境准备

首先，你需要一个能运行 Lean 和访问大模型 API 的环境。

# 1. 安装 Lean 和 Elan（Lean 版本管理器） curl https://raw.githubusercontent.com/leanprover/elan/master/elan-init.sh -sSf | sh source ~/.profile # 或重新打开终端 elan self update elan toolchain install stable elan default stable # 2. 创建一个新的Lean项目并获取Mathlib lake new my_formal_data_project cd my_formal_data_project lake update lake exe cache get # 获取Mathlib缓存，这步可能耗时较长 # 3. 安装Python依赖 pip install openai sentence-transformers rank-bm25 numpy # 如果你使用其他大模型API（如 Anthropic, Gemini），安装对应的SDK

3.2 核心组件实现

我们创建几个核心的 Python 脚本文件。

retriever.py：实现检索器

import pickle from pathlib import Path from hybrid_retriever import HybridRetriever # 假设这是前面定义的类 class MathlibRetriever: def __init__(self, mathlib_data_path='mathlib_corpus.pkl'): # 假设我们已经预处理Mathlib，将定理和定义提取为文本片段存入.pkl文件 # 预处理步骤：使用 lean --ast 或解析 .lean 文件，提取声明和文档字符串 with open(mathlib_data_path, 'rb') as f: data = pickle.load(f) self.corpus = data['corpus'] # List[str] self.metadata = data['metadata'] # 可能包含文件位置等信息 self.retriever = HybridRetriever(self.corpus) def retrieve_for_proposition(self, nl_proposition, top_k=5): """为自然语言命题检索相关形式化片段""" return self.retriever.retrieve(nl_proposition, top_k=top_k) # 初始化检索器（首次运行需要预处理Mathlib，这里略过预处理代码） # retriever = MathlibRetriever('path/to/your/mathlib_corpus.pkl')

generator.py：与大模型交互

import openai # 或 from anthropic import Anthropic from typing import List class CodeGenerator: def __init__(self, model_name="gpt-4", api_key=None): self.client = openai.OpenAI(api_key=api_key) self.model_name = model_name def build_prompt(self, nl_proposition: str, retrieved_snippets: List[str], previous_code=None, error_msg=None) -> str: prompt_parts = [] prompt_parts.append("你是一个精通Lean定理证明的助手。请将自然语言数学命题转化为正确、完整、可编译的Lean代码。") prompt_parts.append(f"\n[自然语言命题]\n{nl_proposition}") if retrieved_snippets: prompt_parts.append("\n[相关Lean知识库参考]") for i, snippet in enumerate(retrieved_snippets, 1): prompt_parts.append(f"{i}. {snippet}") if previous_code and error_msg: prompt_parts.append("\n[上一轮尝试及错误反馈]") prompt_parts.append(f"你生成的代码：\n```lean\n{previous_code}\n```") prompt_parts.append(f"Lean编译器错误信息：\n{error_msg}") prompt_parts.append("\n请仔细分析错误原因，参考相关知识，修正代码。确保新代码能解决上述错误。") else: prompt_parts.append("\n请生成完整的Lean定理声明和证明。以 `theorem` 或 `lemma` 开头，并包含必要的 `import` 语句。") prompt_parts.append("\n[输出要求]\n只输出Lean代码，不要有任何额外的解释或标记。") return "\n".join(prompt_parts) def generate_code(self, prompt: str) -> str: try: response = self.client.chat.completions.create( model=self.model_name, messages=[{"role": "user", "content": prompt}], temperature=0.2, # 低温度以保证稳定性 max_tokens=1500 ) return response.choices[0].message.content.strip() except Exception as e: print(f"生成代码时出错: {e}") return ""

verifier.py：与 Lean 交互进行验证

import subprocess import tempfile from pathlib import Path class LeanVerifier: def __init__(self, project_root='./my_formal_data_project'): self.project_root = Path(project_root).absolute() def verify_code(self, lean_code: str) -> dict: """ 返回验证结果字典。 { 'success': bool, 'error': str or None, 'elapsed_time': float } """ # 创建一个临时 .lean 文件在项目目录内 with tempfile.NamedTemporaryFile(mode='w', suffix='.lean', dir=self.project_root, delete=False) as f: f.write(lean_code) temp_file_path = Path(f.name) result = {'success': False, 'error': None, 'elapsed_time': 0.0} try: # 运行 lean 检查，设置超时 import time start_time = time.time() proc = subprocess.run( ['lean', '--check', str(temp_file_path)], cwd=self.project_root, capture_output=True, text=True, timeout=30 # 超时30秒 ) end_time = time.time() result['elapsed_time'] = end_time - start_time if proc.returncode == 0: result['success'] = True else: # 提取错误信息，通常在前几行 error_output = proc.stderr # 可以在这里解析错误，提取关键行 result['error'] = error_output[:500] # 截取部分避免太长 except subprocess.TimeoutExpired: result['error'] = "验证超时（超过30秒）。证明可能过于复杂或存在无限循环。" except Exception as e: result['error'] = f"运行Lean时发生异常: {e}" finally: # 清理临时文件 temp_file_path.unlink(missing_ok=True) return result

3.3 主循环与数据收集

main_pipeline.py：串联整个流程

import json from retriever import MathlibRetriever from generator import CodeGenerator from verifier import LeanVerifier class FormalDataPipeline: def __init__(self, retriever, generator, verifier, max_iterations=5): self.retriever = retriever self.generator = generator self.verifier = verifier self.max_iterations = max_iterations self.generated_data = [] # 存储成功的数据对 def process_proposition(self, nl_proposition: str): print(f"\n处理命题: {nl_proposition}") # 1. 检索 snippets = self.retriever.retrieve_for_proposition(nl_proposition, top_k=3) print(f"检索到 {len(snippets)} 个相关片段") previous_code = None for iteration in range(self.max_iterations): print(f" 迭代 {iteration + 1}/{self.max_iterations}") # 2. 生成 prompt = self.generator.build_prompt( nl_proposition=nl_proposition, retrieved_snippets=snippets, previous_code=previous_code, error_msg=None if iteration == 0 else last_error ) new_code = self.generator.generate_code(prompt) if not new_code: print(" 生成失败，跳过。") break # 3. 验证 verification = self.verifier.verify_code(new_code) if verification['success']: print(f" ✅ 验证成功！耗时 {verification['elapsed_time']:.2f} 秒") # 成功！保存数据对 data_pair = { "natural_language": nl_proposition, "formal_code": new_code, "retrieved_snippets": snippets, "iterations_needed": iteration + 1 } self.generated_data.append(data_pair) # 可选：进行进一步的语义正确性检查（例如，证明状态是否闭合） break else: print(f" ❌ 验证失败。错误: {verification['error'][:100]}...") last_error = verification['error'] previous_code = new_code else: print(f" 经过 {self.max_iterations} 次迭代仍未成功。") def save_data(self, filename='generated_formal_data.jsonl'): """将生成的数据保存为JSON Lines格式""" with open(filename, 'w', encoding='utf-8') as f: for item in self.generated_data: f.write(json.dumps(item, ensure_ascii=False) + '\n') print(f"数据已保存至 {filename}，共 {len(self.generated_data)} 条。") # 运行示例 if __name__ == "__main__": # 初始化组件（需要配置API密钥和路径） # retriever = MathlibRetriever('mathlib_corpus.pkl') # generator = CodeGenerator(model_name="gpt-4", api_key="your-api-key") # verifier = LeanVerifier('./my_formal_data_project') # pipeline = FormalDataPipeline(retriever, generator, verifier, max_iterations=3) # 从文件读取一批自然语言命题 # with open('nl_propositions.txt', 'r') as f: # propositions = [line.strip() for line in f if line.strip()] # # for prop in propositions[:10]: # 先测试10个 # pipeline.process_proposition(prop) # # pipeline.save_data() print("请配置好组件后取消注释以上代码运行。")

4. 效果验证与质量评估：如何判断生成的数据真的“高质量”？

生成百万条数据不是目的，生成百万条高质量数据才是。如何评估？

1. 编译通过率：最基础的指标。管道最终输出的每一条数据，其形式化代码必须能通过lean --check。这是质量的底线。
2. 证明完整性检查：编译通过只意味着语法和类型正确。我们还需要确保生成的定理确实“证明”了原命题。一个简单方法是检查证明状态是否在by块内完全闭合（没有未完成的目标）。更严格的做法是，尝试用生成的定理去证明一些已知的推论。
3. 语义对齐的人工评估：随机抽样一批数据，让熟悉数学和 Lean 的专家判断，生成的形式化代码是否准确捕捉了自然语言命题的数学含义。这是黄金标准，但成本高。
4. 数据多样性分析：检查生成的数据是否覆盖了不同的数学领域（代数、分析、拓扑等）、不同的证明难度和不同的证明策略。避免模型陷入某种固定模式。
5. 下游任务提升：最终极的验证。用生成的数据集去微调一个专门用于形式化数学的模型（例如，在 CodeLLaMA 基础上），然后在一个独立的、未见过的形式化证明基准测试（如MiniF2F、Mathlib中的新定理）上评估其性能提升。这才是数据价值的真正体现。

5. 工程实践中的挑战与应对策略

在实际搭建和运行这样一个系统时，你会遇到不少坑。

5.1 检索质量不高

• 问题：检索到的片段与命题无关，误导模型。
• 对策：
  • 优化检索语料：不要简单存储整个代码文件。预处理时，将定理、定义、引理与其文档字符串（docstring）关联存储，文档字符串通常包含自然语言描述。
  • 使用更专业的检索模型：可以考虑用数学文本（如 arXiv 论文）微调过的 Sentence Transformer 模型。
  • 查询扩展：对自然语言命题进行关键词提取、同义词替换或使用大模型进行重写，生成多个查询进行检索后再融合结果。

5.2 大模型生成不稳定

• 问题：同样的提示词，模型有时生成完美代码，有时生成胡言乱语。
• 对策：
  • 降低温度：如示例中设置temperature=0.2，减少随机性。
  • 自洽性采样：对于同一个命题，让模型生成多个候选代码，然后选择其中通过验证的那个（或通过投票）。
  • 结构化提示：提供更严格的输出格式要求，甚至使用grammar参数（如果 API 支持）约束输出为合法的 Lean 语法结构。

5.3 Lean 验证耗时过长

• 问题：某些复杂的证明可能让 Lean 陷入长时间计算，拖慢整个管道。
• 对策：
  • 设置超时：如示例中设置 30 秒超时，超时则视为失败，进入下一轮精炼或放弃。
  • 资源限制：使用lean --memory-limit限制内存使用。
  • 分阶段验证：先进行快速的语法检查（lean --check不运行计算密集型simp或omega），通过后再进行完整验证。

5.4 数据偏见与模式重复

• 问题：模型可能学会生成某种“模板化”的简单证明，导致数据多样性不足。
• 对策：
  • 多样化命题源：从不同来源收集自然语言命题，如教科书、数学竞赛题、研究论文摘要等。
  • 主动引导：在提示词中鼓励使用不同的证明策略（如“尝试用反证法”、“尝试使用归纳法”）。
  • 对抗过滤：对生成的数据进行聚类分析，主动剔除过于相似的数据。

6. 总结与展望：这不仅是数据生成工具

“检索+迭代精炼”生成形式化数学数据集的方法，其意义远不止于创建一个数据集。它代表了一种人机协同的新范式：

• 对研究者而言，它提供了一个强大的工具，可以快速将大量非形式化的数学知识“搬进”形式化系统，加速数学库（如 Mathlib）的建设。
• 对AI开发者而言，它解决了高质量对齐数据稀缺的核心痛点，为训练更强大的数学推理和定理证明模型铺平了道路。
• 对教育者而言，未来可能自动生成大量附有形式化代码的习题和解答，用于教学。

如果你想立即尝试，可以从一个小规模开始：

1. 不要一开始就瞄准百万级。先选几十个简单的数学命题（如初等数论、高中代数）。
2. 手动构建一个小型的、高质量的相关片段库。
3. 使用 GPT-4 或 Claude 3 的 API，配合本文学到的管道，尝试生成第一批数据。
4. 仔细分析失败案例，优化你的提示词和检索策略。

这条路线的最终目标，是让大模型不仅是一个“代码生成器”，更是一个在严格反馈循环中不断自我改进的“形式化数学助手”。而这一切，都始于解决那个最根本的问题——数据。现在，你已经拥有了打开这扇门的第一把钥匙。