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布里奥斯基公式Brioschi formula：

K=∣−12g11,22+g12,12−12g22,1112g11,1g12,1−12g11,2g12,2−12g22,1g11g1212g22,2g12g22∣−∣012g11,212g22,112g11,2g11g1212g22,1g12g22∣(g11g22−g122)2K = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}g_{11,22} + g_{12,12} - \frac{1}{2}g_{22,11} & \frac{1}{2}g_{11,1} & g_{12,1} - \frac{1}{2}g_{11,2} \\ g_{12,2} - \frac{1}{2}g_{22,1} & g_{11} & g_{12} \\ \frac{1}{2}g_{22,2} & g_{12} & g_{22} \end {vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}g_{11,2} & \frac{1}{2}g_{22,1} \\ \frac{1}{2}g_{11,2} & g_{11} & g_{12} \\ \frac{1}{2}g_{22,1} & g_{12} & g_{22} \end{vmatrix}}{(g_{11}g_{22} - g_{12}^2)^2}K=(g11​g22​−g122​)2​−21​g11,22​+g12,12​−21​g22,11​g12,2​−21​g22,1​21​g22,2​​21​g11,1​g11​g12​​g12,1​−21​g11,2​g12​g22​​​−​021​g11,2​21​g22,1​​21​g11,2​g11​g12​​21​g22,1​g12​g22​​​​
曲率就存在于度规张量的二阶导数中。逗号符号是关键：

• g11,22g_{11,22}g11,22​表示g11g_{11}g11​关于第二个坐标求两次导数。二阶导数。
• g12,12g_{12,12}g12,12​表示g12g_{12}g12​先关于第一个坐标求一次导数，再关于第二个坐标求一次导数。也是二阶导数。
• g11,1g_{11,1}g11,1​表示g11g_{11}g11​关于第一个坐标求一次导数。一阶导数。
• g12,1g_{12,1}g12,1​表示g12g_{12}g12​关于第一个坐标求一次导数。一阶导数。

因此，第一个行列式的左上角元素，那个神秘的−12g11,22+g12,12−12g22,11-\frac{1}{2}g_{11,22} + g_{12,12} - \frac{1}{2}g_{22,11}−21​g11,22​+g12,12​−21​g22,11​，完全由二阶导数组成。这是曲率信息所在之处。

而顶行和左列的其余部分包含一阶导数。它们就像支撑结构。是确保行列式正确平衡所必需的。

而右下角的2×22\times22×2子矩阵，那纯粹是度规分量本身。完全没有导数。纯粹的gijg_{ij}gij​。

因此，整个公式具有这样的分层结构：二阶导数位于一角，一阶导数沿边缘分布，度规值位于主体部分。

第二个行列式，即被减去的那个。左上角的元素是000。然后顶行有12g11,2\frac{1}{2}g_{11,2}21​g11,2​和12g22,1\frac{1}{2}g_{22,1}21​g22,1​。而左列与之完全对应：12g11,2\frac{1}{2}g_{11,2}21​g11,2​和12g22,1\frac{1}{2}g_{22,1}21​g22,1​。

它在对角线上是对称的。

第一个行列式也有类似的特性，虽非完全对称，但几乎如此。这些元素仿佛正在通过对角线相互对话。

这绝非偶然。度规张量本身就是对称的，g12=g21g_{12} = g_{21}g12​=g21​始终成立。这种对称性向上传播，渗透到由它构成的所有结构中。整个公式都继承了这一特性。

站在曲面上的某一点。该点的度量告诉你那里距离是如何运作的，它给你g11g_{11}g11​、g12g_{12}g12​、g22g_{22}g22​。现在，你在第一个坐标方向上迈出一小步。你到达了一个邻近的点，那里的度量略有不同。g11g_{11}g11​发生了一点变化。

g11,1g_{11,1}g11,1​只是在问，在这个方向上，每单位步长g11g_{11}g11​变化了多少？

所以它并不是对曲面本身求导。它是对度规分量求导，观察随着你的移动，这把“尺子”是如何变化的。

这就是为什么曲率需要这些导数。单一点处的度规无法告诉你曲率，一个曲面和一个平面在某一点上可能具有完全相同的度规。必须观察度规在移动过程中的变化。这种变化正是曲率所在之处。