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特殊结构系统的直接方法与误差分析

1. 对称系统的Cholesky分解

1.1 对称矩阵的LDU分解

假设矩阵 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$，我们寻求将其分解为 $A = LDU$ 的形式，其中 $L$ 和 $U$ 是单位三角矩阵，$D$ 是对角矩阵。

设 $A_1 = A$，将 $A_1 = LDU$ 写成如下分块形式：
[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & & & \
\vdots & & A’ & \
a_{n1} & & &
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \
\ell_{21} & & & \
\vdots & & L_2 & \
\ell_{n1} & & &
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \
0 & & & \
\vdots & & I & \
0 & & &
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}