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视觉SLAM十四讲解读-(v2.p85)李代数求导(扰动模型-左乘)

1. 问题背景和目标

这里采用扰动模型（左乘）来求导。对旋转矩阵RRR进行一次左扰动ΔR\Delta RΔR，设左扰动ΔR\Delta RΔR对应的李代数为φ\varphiφ，目标是计算∂(Rp)∂φ\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial \varphi}∂φ∂(Rp)​，即旋转之后点的坐标相对于扰动李代数的导数。

2. 根据导数定义展开

按照导数的定义：
∂(Rp)∂φ=lim⁡φ→0exp⁡(φ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφ\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial \varphi}=\lim_{\varphi \to 0}\frac{\exp(\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}∂φ∂(Rp)​=limφ→0​φexp(φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​
这一步是导数定义的基本应用，分子是函数在扰动李代数为φ\varphiφ和扰动李代数为000（即无扰动）时的函数值之差，分母是扰动李代数的增量φ\varphiφ，通过取极限φ→0\varphi\to0φ→0来得到导数。

3. 利用近似展开

当φ\varphiφ很小时，根据指数映射在小量情况下的近似展开exp⁡(φ∧)≈I+φ∧\exp(\varphi^{\wedge})\approx\boldsymbol{I}+\varphi^{\wedge}exp(φ∧)≈I+φ∧，则：
lim⁡φ→0exp⁡(φ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφ=lim⁡φ→0(I+φ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφ\lim_{\varphi \to 0}\frac{\exp(\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}=\lim_{\varphi \to 0}\frac{(\boldsymbol{I}+\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}limφ→0​φexp(φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​=limφ→0​φ(I+φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​
这里将exp⁡(φ∧)\exp(\varphi^{\wedge})exp(φ∧)用近似式替换，以便后续化简。

4. 化简分子

对分子进行化简：
(I+φ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)p=φ∧exp⁡(ϕ∧)p(\boldsymbol{I}+\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}=\varphi^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}(I+φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p=φ∧exp(ϕ∧)p
所以原式变为：
lim⁡φ→0φ∧exp⁡(ϕ∧)pφ\lim_{\varphi \to 0}\frac{\varphi^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}limφ→0​φφ∧exp(ϕ∧)p​
这一步是通过简单的代数运算，将分子中的Iexp⁡(ϕ∧)p\boldsymbol{I}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}Iexp(ϕ∧)p与−exp⁡(ϕ∧)p-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}−exp(ϕ∧)p相消，得到剩余部分。

5. 利用反对称矩阵性质和极限运算

根据反对称矩阵性质，设R=exp⁡(ϕ∧)R = \exp(\phi^{\wedge})R=exp(ϕ∧)，则φ∧Rp\varphi^{\wedge}R\boldsymbol{p}φ∧Rp参与运算。我们知道φ∧vφ\frac{\varphi^{\wedge}\boldsymbol{v}}{\varphi}φφ∧v​（其中v=Rp\boldsymbol{v}=R\boldsymbol{p}v=Rp）在φ→0\varphi\to0φ→0时的极限情况。
lim⁡φ→0φ∧Rpφ=lim⁡φ→0−(Rp)∧φφ=−(Rp)∧\lim_{\varphi \to 0}\frac{\varphi^{\wedge}R\boldsymbol{p}}{\varphi}=\lim_{\varphi \to 0}\frac{-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}\varphi}{\varphi}=-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}limφ→0​φφ∧Rp​=limφ→0​φ−(Rp)∧φ​=−(Rp)∧
这里利用了反对称矩阵性质a∧b=−b∧aa^{\wedge}b = -b^{\wedge}aa∧b=−b∧a，将φ∧Rp\varphi^{\wedge}R\boldsymbol{p}φ∧Rp变形为−(Rp)∧φ-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}\varphi−(Rp)∧φ，然后分子分母中的φ\varphiφ在取极限时，φφ=1\frac{\varphi}{\varphi}=1φφ​=1，最终得到结果−(Rp)∧-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}−(Rp)∧。

6. 与直接求导对比

相比于直接对李代数求导（前面章节的内容），扰动模型省去了雅可比矩阵JlJ_lJl​的计算。在位姿估计等实际应用中，这种简化使得计算更加高效，因此扰动模型更为实用。

综上，通过以上详细推导步骤，得到了在扰动模型（左乘）下∂(Rp)∂φ=−(Rp)∧\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial \varphi}=-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}∂φ∂(Rp)​=−(Rp)∧，即旋转之后点的坐标相对于扰动李代数的导数表达式。