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题目描述

给定两个实数：

• BBB：等腰三角形底边的宽度（英寸）
• HHH：等腰三角形的高（英寸）

计算一系列内切圆的周长之和，这些圆从底边到顶部依次堆叠：

• 最低的内切圆与底边和两腰相切
• 下一个更高的内切圆与下方的内切圆和两腰相切
• 依此类推，直到最小圆的半径小于0.0000010.0000010.000001

输入格式

第一行是一个正整数nnn，表示测试用例的数量。每个测试用例一行，包含两个正实数BBB和HHH。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个实数（121212位有效数字，其中666位小数），表示所有内切圆周长之和。

样例输入

1 0.263451 0.263451

样例输出

0.827648

题目分析

问题的本质

这是一个几何级数求和问题。在等腰三角形中，从底边开始依次向上堆叠内切圆，每个圆都与两腰相切，并与下方的圆相切。需要计算所有圆的周长之和。

几何关系

等腰三角形的底边BBB，高HHH，腰长L=(B/2)2+H2L = \sqrt{(B/2)^2 + H^2}L=(B/2)2+H2​。

第一个圆（最低）：

• 内切于等腰三角形，圆心在角平分线交点上
• 半径r1=B×HB+4H2+B2r_1 = \frac{B \times H}{B + \sqrt{4H^2 + B^2}}r1​=B+4H2+B2​B×H​

后续圆：

• 每个新的圆都内切于上方剩余的小等腰三角形
• 新三角形与原三角形相似
• 半径递减比例恒定

半径递推关系

设第iii个圆的半径为rir_iri​，其对应的等腰三角形高为HiH_iHi​，底边为BiB_iBi​。由相似性：
ri+1ri=Hi−2riHi+2ri \frac{r_{i+1}}{r_i} = \frac{H_i - 2r_i}{H_i + 2r_i}ri​ri+1​​=Hi​+2ri​Hi​−2ri​​

迭代终止条件

当r<0.000001r < 0.000001r<0.000001时停止。

参考代码

// Inscribed Circles and Isosceles Triangles// UVa ID: 375// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-07-03// UVa Run Time: 0.040s//// 版权所有（C）2016，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constdoublePI=2*acos(0.0);intmain(intargc,char*argv[]){ios::sync_with_stdio(false);doublen,B,H,sumOfR,r;cin>>n;cout<<fixed<<setprecision(6);for(inti=1;i<=n;i++){cin>>B>>H;// 测试用例间空行if(i>1)cout<<endl;sumOfR=0.0;// 第一个内切圆半径r=H*B/(B+sqrt(4*H*H+B*B));// 累加半径直到小于阈值while(r>=0.000001){sumOfR+=r;H-=2*r;// 剩余三角形高度r=r*H/(H+2*r);// 下一个圆的半径}// 输出周长之和，右对齐 13 位cout<<right<<setw(13)<<(2.0*PI*sumOfR)<<endl;}return0;}