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量子物理中的跃迁速率与寿命相关知识解析

1. 激发态的寿命与跃迁概率

在实际情况中，人们常常使用激发态的寿命（τ）而非跃迁概率（$A_{if}$）来描述激发态。计算一个状态的寿命需要了解每个状态间的爱因斯坦系数。接下来我们将研究氢的巴耳末系发射，该系列终止于$n = 2$。

根据选择规则，每条巴耳末线有三个允许的跃迁，因为较低状态为$2s$和$2p$。虽然$H_α$和$H_β$各分量的波长由于精细结构修正而略有不同，但这里我们忽略这些差异。

为了计算氢的$n = 3$态的寿命，需要与三条$H_α$线对应的三个$A$系数，以及$A_{3p→1s}$，因为$3p →1s$是$3p$态原子的一个跃迁途径。实际上，由于方程15.95中的$ω^3$因子，$A_{3p→1s}$大于$H_α$的任何三个自发跃迁速率。

2. 矩阵元的推导

2.1 $\ell→\ell + 1$跃迁

考虑$\ell→\ell + 1$的跃迁，使用相关方程，对所有可能的$m’$状态求和（符合特定选择规则），得到：
[
\begin{align}
\left|\left|r_{n’(\ell + 1)m’}^{n\ell m}\right|\right|^2&=\sum_{m’ = -(\ell + 1)}^{\ell + 1}\left|\left|r_{n’(\ell + 1)m’}^{n\ell m}\right|\right|^2\
&=\frac{1}{2}\left|\left|(x + iy){n’(\ell + 1)(m + 1)}^{n\ell m}\r