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数字滤波器中的有限字长效应

1. 引言

在数字硬件上实现数字滤波器时，使用有限长度来表示所有相关滤波器参数会产生一些影响。数字信号处理算法可以通过专用数字硬件实现，也可以作为通用数字计算机的程序实现。但在这两种情况下，数字和系数都存储在有限长度的寄存器中，因此在存储之前，系数和数字必须通过截断或舍入进行量化。在分析量化噪声之前，先回顾一下数字系统中使用的算术运算。

2. 二进制数的表示方法

可以用以下有限级数将一个十进制或二进制数 $N$ 表示到所需的精度：
$N = \sum_{i=n_1}^{n_2} c_i r^i$
其中 $r$ 称为基数。对于十进制数，$r = 10$；对于二进制数，$r = 2$。

2.1 示例

• 示例 1：将十进制数 20.275 表示为基数 $r = 10$ 的形式。
  • 解：在十进制表示中，$r = 10$，该数可表示为：
    $20.275 = \sum_{i=-3}^{1} c_i 10^i = 2 \times 10^1 + 0 \times 10^0 + 2 \times 10^{-1} + 7 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-3}$
• 示例 2：将二进制数 10001.10000011 表示为基数 $r = 2$ 的形式。
  • 解：在二进制表示中，$r = 2$，该二进制数可表示为：
    $10001.10000011 = \sum_