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简介：这是一份面向高等数学与微积分初学者的函数极限与连续专题练习PDF，适合在学完极限运算、无穷小比较和连续性判定后做阶段自测，也便于教师随堂检测。内容围绕极限存在性、连续与间断、同阶高阶等价无穷小等核心考点编排，包含选择题与填空类训练，涉及左右极限、数列极限、间断点分类及渐近线判断，可帮助读者检验概念理解与运算熟练度。压缩包共1个PDF文件，大小约8.54MB，打开即可练习，无需额外配置环境。目前已有242人学习，适合用于章节复习、错题定位和考前查漏补缺；通过逐题演算，读者能集中梳理极限存在性判断、无穷小阶的比较以及连续性分析的常见思路。

1. 函数极限与连续：丢分不在难题，在二十个“一眼判型”上

函数极限与连续这一块，考场上最容易翻车的不是最后那道证明题，而是开头那二十道选择题。一份典型的函数极限与连续练习题，编排逻辑往往很直白：选择题打头，填空跟上，解答题压轴，三块反复考的是同一批判据——极限存在性、无穷小阶的比较、间断点分类。分值结构也不绕：单选错一道，整道题的分全没，而它考的花样翻来覆去就那么几样。想拿分靠的不是刷多少新题，是把“判型”练成条件反射：看到 1 的无穷次幂型立刻取对数，看到 f(g(x)) 立刻查内外两层阶数，看到分段点立刻算左右极限。这份练习册适合已经学过一遍、但一做选择就犹豫的考生，也适合拿它当限时模拟卷的人。

2. 极限存在性：四条判据和三类必须动笔的推理题

2.1 四个判据对号入座，先判型再动笔

极限存在性这一类题，难的不是计算，是“该用哪把钥匙”。考场上能用的判据其实只有四条，看到题面特征就该条件反射地选：

面试官或者阅卷老师最想看到的，是你先写判据名，再写推导。很多人一上来就硬算，算到一半发现方向错了，时间全耗进去——这类题的血泪经验就是：判型花 20 秒，比硬算花 5 分钟划算。

2.2 选择题第 1、2 题：反面假设与三边夹逼

第 1 题是这类卷子里的经典陷阱：已知 lim(f(x)+g(x)) 存在，lim(f(x)−g(x)) 不存在，问四个选项哪个正确。

正确做法是反面假设。假设 lim f(x) 存在，那么 lim g(x) = lim[(f+g) − f] 也存在，于是 lim(f−g) 也存在，与已知矛盾。所以 lim f(x) 一定不存在，选 D。

这里有个细节值得多说一句：按同样的推理，lim g(x) 也一定不存在。所以选项 B 说的“g(x) 不一定存在”同样站不住——它不是“不一定”，是“一定不”。这就是为什么这道题只有一个正确项。很多人在这里翻车，是因为把“不一定存在”读成了“可能不存在也可能存在”，语义一松动，判断就偏了。

选项 C 的错法更典型：凭直觉认为“存在减不存在必不存在”。反例很好构造，取 f(x)=sin(1/x)、g(x)=−sin(1/x)，两者之和恒为 0，极限存在；两者之差是 2sin(1/x)，极限不存在；但 (f−g)² = 4sin²(1/x) 的极限存在。所以“必不存在”这种绝对化表述，在选择题里几乎都是错的。

第 2 题结构类似，但换成了夹逼：x_n ≤ a ≤ y_n，且 lim(y_n − x_n) = 0，问两个数列的收敛性。做法是把“a 在中间”翻译成不等式：0 ≤ a − x_n ≤ y_n − x_n → 0，由夹逼定理得 x_n → a；同理 y_n → a。答案 A。

这类题的关键动作只有一个：把题面给的“位置关系”改写成“差的绝对值”，再用夹逼。填空题里凡是出现三边不等式的，都是同一个套路。

2.3 选择题第 19 题：唯一间断点相加，反证法一步到位

第 19 题问的是：f(x) 的唯一间断点是 x_1，g(x) 的唯一间断点是 x_2，那么 f+g 和 f·g 的间断点怎么分布。正确答案是：当 x_1 ≠ x_2 时，f+g 必有两个间断点 x_1 与 x_2。

推理只有一行：假设 F = f+g 在 x_1 处连续。因为 x_1 ≠ x_2，g 在 x_1 处是连续的，所以 f = F − g 在 x_1 处连续，与已知矛盾。于是 x_1 必是 F 的间断点；x_2 同理。

这道题暴露的是很多人的思维盲区：他们习惯去“构造”一个函数看结果，而不会“反设连续推矛盾”。选择题给的时间短，构造法根本来不及，反证法反而一步到位。

顺带提醒，选项里那些“必有唯一间断点”的表述要格外小心。两个函数相加，间断点可能被“抵消”掉——比如 f 和 g 互为相反的分段函数，和恒为 0，一个间断点都没有。所以只要选项里出现“唯一”二字，先怀疑。

2.4 选择题第 10 题：待定常数的除法优先原则

第 10 题是标准的待定常数题：已知 lim[x²/(x+1) − ax − b] = 0，求 a、b。

做这类题的第一反应应该是“先除后看”，而不是通分硬算。把 x²/(x+1) 做多项式除法，写成 x − 1 + 1/(x+1)。于是原式变成 lim[(1−a)x − (1+b) + 1/(x+1)] = 0。当 x→∞ 时，1/(x+1) → 0，要整个式子趋于 0，一次项系数和常数项必须同时为零：1−a = 0，1+b = 0，得 a = 1，b = −1。

推广一步，凡是“有理分式减去一次式、极限为零”的结构，都是这个动作：把分式拆成“多项式 + 真分式”，再让多项式的系数逐项对齐。如果拆完发现分母次数高于一次，那就说明 a、b 之外还有更高次项要配，方程组多一个未知数而已。

失败时看什么？如果拆完余项不趋于零，说明参数设少了；如果一次项消不掉，说明前面的除法算错了。这两个信号比分选项试错快得多。

2.5 填空题第 1、2、3 题：和式极限的三个模板

填空题前几道几乎都在考“n 项和的极限”，但模板只有三个。

第一个模板是乘积取对数。第 1 题求 lim (n!)^{1/n} / n。阶乘是乘积，先取对数变成和：(1/n)·Σ ln(k/n)，这正是定积分定义，极限为 ∫₀¹ ln x dx = −1，还原得 1/e。

第二个模板是幂和提最大项。第 2 题求 lim (a₁ⁿ + a₂ⁿ + … + a_rⁿ)^{1/n}，a_k > 0。做法是提出最大项 a = max{a_k}，剩下部分被夹在 a 与 a·r^{1/n} 之间，而 r^{1/n} → 1，所以整体趋于 a。答案就是这个最大值，不需要算具体的和。

第三个模板是分母同阶夹逼。第 3 题求 lim n·[1/(n²+1) + 1/(n²+2) + … + 1/(n²+n)]。每一项都被 1/(n²+n) 和 1/(n²+1) 夹住，乘上 n 之后，两端分别是 n²/(n²+n) 和 n²/(n²+1)，两者都 → 1，所以原式 = 1。

三个模板对应三种“形”：乘积型、幂和型、分式和型。做题时先看分子有没有 n 个因子连乘，再决定取不取对数——这是判断方向最快的入口。

3. 无穷小阶的比较：一张等价表和一次泰勒展开定胜负

3.1 九组等价无穷小，以及什么时候不能替换

x→0 时的等价无穷小必须背到条件反射，这九组覆盖了这份卷子八成以上的题：

表要背，但更要知道它什么时候失效。等价替换在乘除里是无条件安全的，在加减里就会丢阶——因为两个等价的量相减，一阶项抵消了，剩下的部分恰恰是你替换时丢掉的那部分。这份卷子第 6、7 题和填空题里那些“两个三角函数的差”全都在考这个。

判断能不能替换的标准很硬：替换之后，被替换的那部分是不是整个式子的“主导项”。如果是加减结构，先把加减合并成乘积，或者直接上泰勒展开，展到第一项不抵消为止。

3.2 选择题第 4、5、7 题：同阶、等价、高阶的判定三问

第 4 题给的条件是 f(x)、g(x) 都与 x 同阶，问复合之后 f(g(x)) 与 x 的关系。正确答案是“必是 x 的同阶无穷小”。

判定只需要三问：第一问，阶数是多少？同阶意味着 lim f(x)/x = a ≠ 0，lim g(x)/x = b ≠ 0。第二问，复合之后怎么拆？把 f(g(x))/x 拆成 [f(g(x))/g(x)]·[g(x)/x]，前一个因子趋于 a，后一个趋于 b，乘积趋于 ab ≠ 0。第三问，结论是什么？极限为非零常数，所以是同阶。

两个干扰项都是靠反例排除的。选项 A 说 f−g 必是同阶，反例取 f = x + x²、g = x，差是 x²，比 x 高阶。选项 B 说 f−g 必是高阶，反例取 f = 2x、g = x，差还是 x 的同阶。至于 D 说复合必是高阶，直接和 ab ≠ 0 矛盾。

第 5 题考的是“x→0⁺ 时哪个无穷小与 x 等价”，四个选项逐个算比值就行。e^{1/x} − 1 在 x→0⁺ 时趋于无穷，直接排除；√(1+x) − 1 ~ x/2，比值是 1/2，不等价；1 − cos x ~ x²/2，阶数都不对；−ln(1−x) 的比值极限为 1，是唯一等价的。这道题看着简单，但它是后面所有阶数比较题的基准，错在这里，后面全跟着错。

第 7 题是 f(x) 与 g(x) 的比较，答案是“同阶非等价”。做法固定三步：把 f 等价替换到第一个非零幂次，这里 ln(1+sin⁴x) ~ sin⁴x ~ x⁴；把 g 展开到第一个非零幂次；两者一比，阶数相同但系数比不是 1，就是同阶非等价。如果系数比恰为 1，才是等价；阶数不同，再分高阶低阶。

3.3 选择题第 6 题：三个未知数靠三阶展开定

第 6 题的形式是“某个含参表达式是比 x³ 高阶的无穷小，求 A、B、C”，答案是 A = 1/2、B = −1/3、C = 1/6 这一组。

这类题的方法只有一条：把式子里每个函数都展开到 x³，然后令 x⁰、x¹、x²、x³ 各次项的系数全为零，得到一组三元一次方程，解出来就是答案。

几个必须记住的展开：e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)；√(1+u) = 1 + u/2 − u²/8 + o(u²)，注意这里的 u 本身是一次多项式，代进去之后 u² 会产生 x² 及更高次项；1/(1+u) = 1 − u + u² + o(u²)。

第三个未知数 A 通常出现在一次项上，所以最简单的方程往往是“一次项系数为零”，先解出 A 再去解 B、C，比三个方程联立快。

这一步的成败全在“展到第几阶”。题面说目标无穷小是比 x³ 高阶，就必须展开到 x³，少一阶方程不够，多一阶浪费时间。如果展开后发现有低次项消不掉，大概率是某个展开系数记错了，回头查表比重新推一遍快。

3.4 选择题第 8 题：两个“高阶”条件夹出一个整数

第 8 题是这份卷子里设计得最好的一道：两个“A 是比 B 高阶的无穷小”的条件，反向夹出一个正整数 n。答案是 n = 1。

先把已知的极限翻译成阶：lim f(x)/x² = −1，意思是 f(x) ~ −x²，于是 xⁿ·f(x) 的阶是 x^{n+2}。

再翻译两个条件。条件一：ln²(cos x) 是比 xⁿ·f(x) 高阶的无穷小。ln cos x ~ −x²/2，所以 ln²(cos x) 的阶是 x⁴。高阶意味着指数更大：4 > n+2，得 n < 2。条件二：xⁿ·f(x) 是比 e^{x²} − 1 高阶的无穷小，而 e^{x²} − 1 ~ x²，所以 n+2 > 2，得 n > 0。

两个不等式合起来 0 < n < 2，n 是正整数，只有 n = 1。

这道题的答题模板值得单独记：把每个“高阶/低阶”关系翻译成指数之间的不等式，最后取整数解。凡是看到“是比……高阶的无穷小”这种表述，不要试图算出具体函数，算不出来的，也不需要。

4. 连续与间断点：分段点上的三步判定和一张分类表

4.1 连续的三要素与间断点四分类

判断一个分段函数在分界点是否连续，只看三件事：函数在该点有没有定义、左右极限是否存在、三者是否相等。三个条件缺一，就是间断。

间断点的分类则看左右极限的“形态”，这张表必须背熟：

考试里第一类间断点指可去和跳跃，第二类指无穷和振荡。选择题经常把“第一类”“第二类”和具体形态交叉着放在四个选项里，读题时先圈出“第一类/第二类”，再看具体是哪一种，两遍确认能挡住大部分低级错误。

4.2 选择题第 15 题：绝对值把连续性变成单向条件

第 15 题问的是“|f(x)| 在点 a 连续”是“f(x) 在点 a 连续”的什么条件，答案是必要非充分。

充分性方向不成立，反例一句话就够：f(x) = 1（x ≥ a），f(x) = −1（x < a），|f(x)| 恒等于 1 处处连续，但 f 在 a 处是跳跃间断。

必要性方向成立，靠的是不等式 ||f(x)| − |f(a)|| ≤ |f(x) − f(a)|。f 连续，右边趋于零，左边也趋于零。

这类“条件关系”题有一个通用判断流程：先证必要，找一个不等式；再破充分，找一个反例。两边都落地的选项才是答案。只证一边就选，是这类题的典型失分点。

4.3 选择题第 17 题：n 次幂极限先化成显式分段

第 17 题给的是形如 lim_{n→∞} sin(πx)/(1 + (2x)^{2n}) 的表达式，问间断点个数。正确答案是 2 个。

这类“含 n 的极限”必须先算成一个不含 n 的分段函数，再找间断点。判断依据是底数 |2x| 与 1 的大小关系：|2x| < 1 时 (2x)^{2n} → 0，函数值趋于 sin(πx)；|2x| > 1 时 (2x)^{2n} → ∞，函数值趋于 0；|2x| = 1 时分母恒为 2，函数值等于 ±1/2。

所以分界点 x = ±1/2 就是可疑点。再算这两点的左右极限，一侧趋于 sin(±π/2) = ±1，另一侧趋于 0，两侧不等，是跳跃间断点，共两个。

答题时最容易出问题的地方，是把分界点当成连续点直接跳过。记住：|2x| = 1 的三个点（这里是两个）一定要单独算，不能并入任何一段。

4.4 选择题第 11、13 题：变上限积分的两个动作

第 11 题的 F(x) 形如“从 a 到 x² 的积分除以 (x − a)”，求 x→a 的极限。答案里有 2a·f(a)。

两个动作。第一，验证是不是 0/0：x→a 时上限趋于 a²，积分趋于零，分母也趋于零，确认可用洛必达。第二，求导：上限是 x²，所以 d/dx ∫_a^{x²} f(t)dt = f(x²)·2x，那个链式因子 2x 是最常见的漏项。分母求导是 1，于是极限为 2a·f(a)。

第 13 题形如 g(x) = [∫_0^{x²} f(xt)dt]/x²，问 x = 0 是什么点。这里要先换元把被积函数里的 x 挪出去：令 u = xt，t 从 0 到 x² 时 u 从 0 到 x³，dt = du/x，于是分子变成 (1/x)∫_0^{x³} f(u)du，整体 g(x) = [∫_0^{x³} f(u)du]/x³。

再用一次洛必达，极限为 f(0)。而原式在 x = 0 处无定义，极限存在却不等于函数值，所以是可去间断点。

这两个题合起来说明一件事：变上限积分的题，永远先看上限是不是 x，不是就先想链式或者换元，再动洛必达。

4.5 选择题第 20 题：渐近线的三条检查线

求曲线渐近线条数，按三条线查，查完计数即可。

水平渐近线：算 x→+∞ 和 x→−∞ 时 y 的极限，若为有限常数，有一条。垂直渐近线：找使 y→∞ 的 x 值，通常是分母零点、对数零点、e 的无穷次幂点。斜渐近线：算 y/x 在 x→∞ 时的极限，若为有限非零常数 k，再算 y − kx 的极限，为有限常数 b 才有一条。

第 20 题的曲线含 arctan 和有理分式，x→−∞ 时极限为 0，得水平线 y = 0；x→0⁺ 时趋于无穷，得垂直线 x = 0；x→+∞ 时 y/x 趋于无穷，说明没有斜渐近线。总共 2 条，答案 B。

垂直渐近线的判定有个坑：分母为零的点不一定都是垂直渐近线，还要看分子是否同时为零。先化简再判断，能省掉一半无效检查。

5. 失分点：五个让选择题连错的坑

5.1 坑一：把“存在加不存在”直接判成“必不存在”

错在哪：看到“一个存在、一个不存在”，立刻用四则运算下结论，选了“组合必不存在”的选项。

为什么错：极限的四则运算法则是有前提的——参与运算的两个极限都存在，和、差、积的极限才必然存在。当其中一个不存在时，组合的极限是“待定”的，可能不存在，也可能因为两项互相抵消而存在。前面的反例 f = sin(1/x)、g = −sin(1/x) 就是靠抵消让和存在的情况。

怎么答对：题面给出“某个组合存在、另一个组合不存在”时，用反面假设做一次推导，再用一个反例排掉绝对化选项。两步都做，答案自然只剩一个。

5.2 坑二：加减法里直接等价替换

错在哪：求 lim(tan x − sin x)/x³ 时，把 tan x 和 sin x 都替换成 x，分子变成 0，得出极限为 0。

为什么错：两个等价的量相减，一阶项互相抵消，剩下的正是替换时被丢掉的高阶项。这道题的真值是 1/2，来自 tan x − sin x = tan x(1 − cos x) ~ x·(x²/2)。

怎么答对：加减结构先合并成乘积，提公因式是最快的手段；提不出来就上泰勒，展到第一项不抵消为止。这条规则在卷子里第 6、7 题和填空题里的三角差题上反复出现，一次记牢能省很多时间。

5.3 坑三：1 的无穷次幂型只看指数不看底数

错在哪：看到 (1+x)^{1/x} 就写 e，看到 (1+1/x)^x 也写 e，两个混着用，结果 x→0 和 x→∞ 的题串了。

为什么错：1 的无穷次幂型能不能直接用 e，取决于底数和指数是不是“配套”的。标准形式是 (1+u)^v，当 u→0、v→∞ 且 uv 有极限 L 时，原式的极限才是 e^L。底数趋向 1 的速度和指数趋向无穷的速度必须匹配，只盯着指数看必然串。

怎么答对：一律写成 exp(v·ln(1+u))，再用 ln(1+u) ~ u 化简成 exp(uv)。这个写法适用于所有 1 的无穷次幂型题，包括填空题里那些带 tan、带 sin 的变体。

5.4 坑四：找间断点不看定义域

错在哪：对着表达式扫一遍分母，把所有分母零点都列为间断点。

为什么错：间断点必须先是“定义域内或定义域边界上的点”。像 e^{1/x}、arcsin、对数这类因子自带定义域限制，函数在定义域之外根本无定义，谈不上间断。反过来，定义域的端点如果函数单侧有定义，反而是要注意的间断点。

怎么答对：先把定义域写出来，再在定义域内找“无定义点”和“分段点”，逐个算左右极限。卷子里分段函数加 e 的指数这一类题，几乎每道都埋着这个坑，先写定义域是最省事的自保动作。

5.5 坑五：变上限积分求导漏掉链式因子

错在哪：对 ∫_a^{x²} f(t)dt 求导写成 f(x²)，忘了上限的平方。

为什么错：变上限求导的完整形式是 f(φ(x))·φ'(x)，上限只要不是 x 本身，就一定有链式因子。漏掉之后，整道题的系数全错，而且这种错很隐蔽——形式上看着像对的。

怎么答对：动笔之前先问一句“上限是不是 x”，不是就先写 φ'(x)。如果是换元之后的题，还要检查上下限有没有跟着变，以及被积函数里原来的 x 有没有被彻底换成新的变量。

6. 解答题收尾：判型表、两步变形和一个书写习惯

解答题的时间永远不够，所以判型要快、变形要准、收尾要短。下面这张表是我自己做完这几类题之后总结出来的，考前扫一眼就能回忆起来：

两个变形动作值得单独强调。一个是“相邻项作差”：递推数列的求和题，答案永远藏在递推式里——把 1/(1+x_n) 用递推关系改写成 x_{n+1} − x_n 或者类似形式，求和之后整串抵消，只剩首末两项。另一个是“取对数”：凡是幂指结构，先取对数再取极限，这一步能同时解决底数不定和指数不定两个麻烦。

书写习惯这块，说个我自己的教训。以前做解答题，总习惯先算完再想怎么写步骤，结果中间一个等价替换没标注，整道题的分被判掉一半。从那以后我每次写这类题都强制走一遍三行结构：第一行写判据或方法名（“由夹逼定理”“用洛必达法则”），第二行写关键变形，第三行写结论。哪怕时间再紧，第一行也不省——阅卷的人看到方法名，才知道你在干什么，后面哪怕算错，过程分也能保住一部分。希望帮到你。

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