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一，问题描述

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

动态规划：将原问题拆解成若干个子问题，同时保存子问题的答案，使得每个子问题只求解一次，最终获得原问题的答案（重复计算）

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}

由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

②重叠子问题

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

这张DP表很是重要，从中我们可以窥见最长公共子序列的来源，同时可以根据这张表打印出最长公共子序列的构成路径

class Solution { public: int longestCommonSubsequence(string &a, string &b) { int m = a.size(), n = b.size(); vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)); for (int i = 1; i <= m; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (a[i-1] == b[j-1]) { dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; } else { dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]); } } } // 回溯构造 LCS string lcs; int i = m, j = n; while (i > 0 && j > 0) { if (a[i-1] == b[j-1]) { lcs.push_back(a[i-1]); --i; --j; } else if (dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]) { --i; } else { --j; } } reverse(lcs.begin(), lcs.end()); cout << lcs << endl; // 调试用 return dp[m][n]; } };

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1000; char a[N],b[N]; int dp[N][N]; int main() { int lena,lenb,i,j; while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF) { memset(dp,0,sizeof(dp)); lena=strlen(a); lenb=strlen(b); for(i=1;i<=lena;i++) { for(j=1;j<=lenb;j++) { if(a[i-1]==b[j-1]) { dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; } else { dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } } } printf("%d\n",dp[lena][lenb]); } return 0; }

路径

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<stack> #include<algorithm> using namespace std; #define N 1010 int dp[N][N]; char c; int main() { char a[N]; char b[N]; scanf("%s%s",a,b); int la=strlen(a); int lb=strlen(b); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1; i<=la; i++) { for(int j=1; j<=lb; j++) { if(a[i-1]==b[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } } int i=la,j=lb; stack<char>s; while(dp[i][j]) { if(dp[i][j]==dp[i-1][j])///来自于左方向 { i--; } else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])///来自于上方向 { j--; } else if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1])///来自于左上方向 { i--; j--; s.push(a[i]); } } while(!s.empty()) { c=s.top(); printf("%c",c); s.pop(); } return 0; }

#include <iostream> #include <stdio.h> #include <unistd.h> #include <string> #include <vector> using namespace std; int lcs(const std::string& s1, const std::string& s2) { vector<vector<int> > lcs(s1.size()+1, vector<int>(s2.size()+1, 0)); for (int i = 1; i <= s1.size(); ++i) { for (int j = 1; j <= s2.size(); ++j) { if (s1[i-1] == s2[j-1]) { lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1; } else { lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1]); } } } for (int i = 0; i <= s1.size(); ++i) { for (int j = 0; j <= s2.size(); ++j) { cout << lcs[i][j] << " "; } cout << std::endl; } return lcs[s1.size()][s2.size()]; } int main() { cout << lcs("aabab", "aabca") << endl;; return 0; }