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简介：面向从事摩擦建模、伺服控制与机械系统仿真的Matlab学习者，这套代码围绕Stribeck摩擦模型展开，重点复现低速阶段的负斜率摩擦现象：克服静摩擦后，摩擦力随速度先降后升，并以指数形式描述该过程。内容适合需要理解非线性摩擦特性、开展控制补偿或完成课程实验的初、中级读者使用。包内共3个.m文件，压缩包约1KB，包含模型实现、演示脚本及辅助函数，便于直接运行观察参数变化及δ、vs等对曲线形态的影响，也方便嵌入已有仿真流程。已有1138人学习。读者可据此理解静摩擦、库仑摩擦与Stribeck速度尺度等参数的含义，掌握从公式到代码的映射，并通过示例快速验证负斜率段与速度拐点，为控制算法补偿和论文复现提供可改可扩的基础脚本。

1. 低速爬行不是机械问题：Stribeck 摩擦力模型在 Matlab 里的一次完整落地

精密进给台做 0.5 mm/s 匀速跟随，速度曲线却走成台阶，位置环一抖一抖地"呼吸"，换成更贵的导轨还是原样。遇到这种低速爬行，很多人的第一反应是查机械装配和伺服增益，但真正的原因常常在摩擦力本身：它在零速附近不是常数，而是一条先陡降、再回升的曲线。Stribeck 摩擦力模型描述的就是这段曲线，而这组 Matlab 实现代码与使用示例想干的事很直接——把这条曲线变成一个能算、能拟合、能接进 Simulink 的解析函数，让你的仿真里出现和台架上一样的爬行，也让前馈补偿有参数可调。它适合做运动控制仿真的工程师、做摩擦补偿算法验证的研究生，以及手上有一批速度-摩擦力实测数据但不知道怎么反推参数的人。

2. 拆开 Stribeck 曲线：五个参数各自的物理含义与选型理由

动手写函数之前，先把模型本身的骨架立住。不然后面拟合出来的数字看着能过，一放进闭环就会翻车。

2.1 从边界润滑到流体润滑：负斜率段是哪来的

两个接触面在相对运动时，润滑油膜的状态随速度变化分三段。速度极低时处于边界润滑，微凸体直接接触，摩擦力最大，这就是最大静摩擦力Fs；速度稍微上来一点，油膜开始建立、微凸体接触面积下降，摩擦力反而随速度升高而下降，这一段就是 Stribeck 负斜率段，也是低速爬行的直接来源；速度继续升高，流体动压效应占据主导，粘性阻力随速度线性上升，斜率变正。

稳态下把这三段写成一个关于速度v的解析式，最常用的形式是：

F(v) = Fc·sgn(v) + (Fs - Fc)·exp(-|v/vs|^d)·sgn(v) + Fv·v

五个参数含义如下：Fc是库仑摩擦力，也就是负斜率段走完之后剩下的那部分近似恒定的摩擦力；Fs是最大静摩擦力，必须满足Fs ≥ Fc；Fv是粘性阻尼系数，单位 N·s/m，描述高速段的线性上升；vs是 Stribeck 特征速度，量纲上就是速度，它决定负斜率段在哪个速度量级上"塌下去"；d是形状指数，控制从Fs衰减到Fc的曲线陡峭程度，工程上常见取值在 0.5 到 2 之间，取 1 的指数衰减和取 2 的高斯型衰减在低速段差别很大。

这里有个容易忽略的细节：vs和d是强相关的。同一批数据，用vs=0.01, d=1和vs=0.014, d=1.6可能拟合出几乎一样的残差平方和，但把速度外推到 0.05 mm/s 时两条曲线会分叉。这也是后面参数辨识章节要反复强调固定d或者做多初值搜索的原因。

2.2 五种常见写法怎么选：指数型、tanh 平滑型、LuGre 与 Karnopp

市面上叫"Stribeck 模型"的实现其实不止一种，选错了会在特定场景下白干。

经典指数型就是上面那个式子，sgn函数在零速处跳变。优点是形式简单、参数物理意义清楚、拟合稳定；缺点是零速不连续，直接丢进 ode45 会在零速附近反复穿越、步长被压到极小，仿真时间成倍增加。适合稳态摩擦特性绘制、参数辨识、不关心零速细节的场合。

tanh 平滑型把sgn(v)换成tanh(v/v_eps)，v_eps是平滑带宽。好处是全域连续可导，数值求解器不会在零速处卡死；代价是丢掉了真正的静摩擦——零速时输出为 0 而不是Fs。做带位置保持的伺服仿真时这一点必须注意，否则你的系统会"自己滑走"。

Karnopp 模型走的是另一条路：设定一个零速判定带|v| < v_0，带内直接按静摩擦处理，用一个力的平衡判断是否起步。它能把静摩擦和粘滑切换都表达出来，但要处理状态判断，写起来啰嗦，且v_0选得不好会引入非物理的极限环。

LuGre 动态模型在 Stribeck 稳态曲线的基础上加了一个内部状态z描述鬃毛平均变形，能复现预滑移阶段的滞回和微位移下的非线性刚度。如果研究对象是微米级定位、需要关注换向时的位移滞后，只靠稳态 Stribeck 是不够的，必须上 LuGre 或 GMS。LuGre 的代价是多了两个参数（鬃毛刚度sigma0、微观阻尼sigma1），辨识难度和对初值的敏感性都上一个台阶。

多项式型在零速附近用低阶多项式拼接，好处是求导方便、便于做控制器设计时的线性化，坏处是拼接点不光滑、参数没有物理含义。

一份实用的选型对照：

多数工程仿真里，我一般会准备两个版本：辨识和画图用经典指数型保证参数干净，闭环仿真用 tanh 平滑型保证数值稳定，两者的Fs/Fc/Fv/vs/d完全共用一套。

2.3 参数从哪来：三种获取路径和它们的可信度

Fs、Fc、Fv、vs、d五个参数，来源无非三条路。

第一条是查样本和估算。导轨、丝杠的厂商样本一般会给动摩擦系数和静摩擦系数，乘上法向载荷就得到Fc和Fs的量级，Fv按润滑脂粘性粗估，vs按经验取 0.01~0.05 m/s，d先取 1。这条路的好处是十分钟就能让仿真跑起来，坏处是误差可能到 50% 以上，只能用来验证控制结构是否合理，不能用来下"补偿后能到多少精度"的结论。

第二条是准静态扫频实验。让执行机构以一系列恒定速度单向运动，每个速度点稳定后采集驱动力，减去惯性力和已知外载，剩下的就是摩擦力。速度点建议在低速段密、高速段疏，比如 0.01、0.02、0.05、0.1、0.2、0.5、1、2、5、10 mm/s 各采 2~3 秒取均值。正反两个方向分别采一遍，能顺带看出方向依赖的非对称性。

第三条是闭环辨识。给定控制器，让系统做正弦或扫频跟随，用输入输出数据通过最小二乘或智能优化算法反推参数。这条路的难点在于摩擦力和控制器输出、惯性力完全耦合在一起，必须先有一个足够准的动力学模型，否则辨识出来的摩擦参数会把模型误差一起吸收进去。

三条路的可信度是递增的，成本也是递增的。实际项目里比较稳妥的做法是：先用第一条路给出一组初值，用第二条路的数据做最小二乘拟合，把拟合残差控制在满量程摩擦力的 5% 以内再往下走。

3. Matlab 实现：一个可复用函数、一组默认参数、两种调用方式

代码部分按"能直接抄"的标准写。整个实现拆成三个文件：参数默认值函数、摩擦计算函数、被控对象导数函数。这样拆的好处是参数只在一个地方维护，仿真脚本、辨识脚本、Simulink 模块都能共用。

3.1 stribeck_friction.m：核心计算函数

function F = stribeck_friction(v, p) %STRIBECK_FRICTION 稳态 Stribeck 摩擦模型 % F = stribeck_friction(v, p) % v : 相对速度，标量或任意维数组，单位 m/s % p : 参数结构体，字段 Fs/Fc/Fv/vs/d/v_eps % F : 与 v 同尺寸的摩擦力，单位 N % % F(v) = Fc*s(v) + (Fs-Fc)*exp(-|v/vs|^d)*s(v) + Fv*v % 其中 s(v) = tanh(v/v_eps)，v_eps 为 0 时退化为 sign(v) if nargin < 2 || isempty(p) p = stribeck_default_params(); end v = double(v); av = abs(v); % 零速邻域平滑：v_eps>0 用 tanh 过渡，否则用严格 sign if isfield(p, 'v_eps') && p.v_eps > 0 s = tanh(v ./ p.v_eps); else s = sign(v); end % 逐元素运算，保证 v 为矩阵时也能正确广播 stribeck = (p.Fs - p.Fc) .* exp(-(av ./ p.vs) .^ p.d) .* s; F = p.Fc .* s + stribeck + p.Fv .* v; end

逻辑说明：先做参数缺省判断，再算|v|和符号项。符号项是唯一有分支的地方，v_eps > 0走tanh、否则退回sign，这样同一份代码既能画教科书上的理想曲线（v_eps = 0），也能直接喂给 ode 求解器（v_eps = 1e-4）。三项分别对应库仑项、Stribeck 衰减项和粘性项，全部用.运算符保证向量化，v传 2001 点的等距向量时一次算完，画图不用循环。

参数说明：v必须是 SI 单位 m/s，如果实验数据是 mm/s，调用前统一除以 1000。p.vs的量纲和v一致，p.d无量纲，p.Fv是 N·s/m。v_eps的取值建议是仿真中最小关注速度的 1/10 到 1/100，太小起不到平滑作用，太大会把真实的低速非线性抹平，一般 1e-4 到 1e-3 之间。

3.2 stribeck_default_params.m：把参数收在一处

function p = stribeck_default_params() %STRIBECK_DEFAULT_PARAMS 一组中等负载滑动导轨的量级参数 % 数值仅作仿真起点，实际项目必须用实测数据替换 p.Fs = 1.20; % 最大静摩擦力，N p.Fc = 0.85; % 库仑摩擦力，N p.Fv = 0.060; % 粘性阻尼系数，N·s/m p.vs = 0.012; % Stribeck 特征速度，m/s p.d = 1.0; % 形状指数，建议 0.5~2 p.v_eps = 1e-4; % 零速平滑带宽，m/s；置 0 退化为 sign end

这里的数值是给中等负载滑动导轨的一个量级参考，Fs/Fc比值约 1.4，属于偏"干"的接触状态，润滑充分时这个比值会更接近 1.05~1.15。每次改参数只改这个文件，其他脚本用p = stribeck_default_params(); p.vs = 0.02;这种覆盖方式，避免同一批数字散落在十几个文件里——这一点吃过亏，后面在避坑章节还会提。

3.3 画曲线验证形状：三分钟确认参数没填反

p = stribeck_default_params(); % 低速段加密，才能看清负斜率 v = [-flip(linspace(0, 0.05, 1000)), linspace(0, 0.05, 1000)]; F = stribeck_friction(v, p); figure('Color', 'w'); plot(v * 1000, F, 'LineWidth', 1.6); hold on; yline(p.Fc, '--', 'Fc'); yline(-p.Fc, '--', '-Fc'); xline(0, ':', 'Color', [0.5 0.5 0.5]); grid on; box off; xlabel('速度 v (mm/s)'); ylabel('摩擦力 F (N)'); title('Stribeck 摩擦特性曲线');

画出来应该看到：原点附近跳变到Fs，随速度绝对值增加迅速下凹到接近Fc，然后被粘性项缓慢抬起，整体关于原点奇对称。如果曲线是单调上升或者原点附近没有尖峰，多半是Fs < Fc或者v_eps给大了。这一步花三分钟，能挡掉后面几小时的困惑。

3.4 接进动力学：ode15s 求解质量-弹簧-摩擦系统

function dx = plant(t, x, p, c) %PLANT 单自由度质量-弹簧-阻尼 + Stribeck 摩擦 % x(1)=位移 m，x(2)=速度 m/s % c.m 质量 kg，c.c 阻尼 N·s/m，c.k 刚度 N/m，c.F 驱动力 N Ff = stribeck_friction(x(2), p); dx = [ x(2); (c.F - c.k * x(1) - c.c * x(2) - Ff) / c.m ]; end

p = stribeck_default_params(); c = struct('m', 0.5, 'c', 2.0, 'k', 120, 'F', 1.0); opts = odeset('RelTol', 1e-8, 'AbsTol', 1e-10, 'MaxStep', 1e-3); [t, x] = ode15s(@(t, x) plant(t, x, p, c), [0 2.0], [0; 0], opts); figure('Color', 'w'); subplot(2,1,1); plot(t, x(:,1)*1000); ylabel('位移 (mm)'); grid on; subplot(2,1,2); plot(t, x(:,2)*1000); ylabel('速度 (mm/s)'); xlabel('时间 (s)'); grid on;

逻辑说明：plant把摩擦力直接作为状态导数的一部分，没有引入额外的内部状态，所以这是纯稳态模型。求解器选ode15s而不是ode45，因为 tanh 平滑后系统在零速附近仍然接近刚性——摩擦力对速度的等效刚度可达Fs/v_eps量级，ode45会把步长压到 1e-9 以下，仿真几秒钟要跑几分钟。参数上，MaxStep限制在 1e-3 是为了不错过粘滑切换的细节，RelTol放到 1e-8 是因为位移量级只有毫米、速度量级只有毫米每秒，默认的 1e-3 相对误差会吃掉有效数字。驱动力取 1.0 N 略大于Fc而小于Fs，是为了让系统从静止起步后进入低速滑移，从而把爬行现象逼出来。

3.5 Simulink 里的 MATLAB Function 模块写法

模型结构不复杂：常值力源 → Sum → Gain(1/m) → Integrator → Integrator → 速度反馈回摩擦模块。摩擦模块用 MATLAB Function 模块，内容如下：

function F = fcn(v, Fs, Fc, Fv, vs, d) % 代码生成友好的写法：全部用标量输入，不用结构体和 isfield av = abs(v); s = tanh(v / 1e-4); F = Fc * s + (Fs - Fc) * exp(-(av / vs) ^ d) * s + Fv * v; end

三个必须注意的点。一是不要在这个模块里用结构体，MATLAB Function 模块在代码生成时对结构体字段的动态访问支持有限，isfield这类判断在部分配置下会直接报错，全部展开成标量输入最稳。二是参数不要写死在函数体里，在基础工作区建Simulink.Parameter对象再连到模块输入端，改参数不用重新编译模型。三是零速平滑带宽1e-4是硬编码的，如果模型用定步长求解器（比如ode1步长 1e-3），这个带宽比步长还小，等于没平滑，此时要么把带宽放大到 1e-3 量级，要么改用变步长求解器。

4. 参数辨识实战：用 lsqcurvefit 从实测数据反推五个参数

有了模型和函数，下一步是让五个参数从数据里"长"出来，而不是拍脑袋。

4.1 数据预处理：把台架数据整理成速度和摩擦力两张表

前提是有准静态匀速实验数据。每个速度点采一段稳定区间，取均值和标准差，剔除标准差超过均值 10% 的坏点。正反行程分开存，先用正向数据拟合，再用反向数据验证，如果两向的Fc差超过 15%，说明机构存在明显的方向依赖，这时要么做成非对称模型（Fc+、Fc-分开），要么回去查装配。

数据处理脚本：

raw = readmatrix('friction_sweep.csv'); % 第1列速度 mm/s，第2列力 N v_mm = raw(:,1); F_N = raw(:,2); % 剔除反向行程与异常点 mask = v_mm > 0 & abs(F_N) < 10; v = v_mm(mask) / 1000; % 统一到 m/s F = F_N(mask); % 按速度排序，便于后面画残差 [v, idx] = sort(v); F = F(idx);

单位统一是这一步唯一但最致命的动作。速度用 mm/s、力用 N 混着进拟合，最后出来的Fv会差三个数量级，模型在闭环里表现完全不对。

4.2 lsqcurvefit 拟合：初值、边界与多起点

% 待拟合参数向量 x = [Fs, Fc, Fv, vs, d] model = @(x, v) x(2) .* tanh(v/1e-4) ... + (x(1) - x(2)) .* exp(-(abs(v)./x(4)).^x(5)) .* tanh(v/1e-4) ... + x(3) .* v; x0 = [max(F)*1.05, min(F)*0.95, 0.05, 0.010, 1.0]; lb = [0, 0, 0, 1e-4, 0.5]; ub = [inf, inf, inf, 1.0, 2.0]; opts = optimoptions('lsqcurvefit', ... 'Display', 'iter', ... 'Algorithm', 'trust-region-reflective', ... 'MaxFunctionEvaluations', 3000, ... 'FunctionTolerance', 1e-12, ... 'StepTolerance', 1e-10); [xopt, resnorm, residual] = lsqcurvefit(model, x0, v, F, lb, ub, opts); fprintf('Fs=%.4f N Fc=%.4f N Fv=%.5f Ns/m vs=%.5f m/s d=%.3f\n', xopt); fprintf('RMSE = %.4f N\n', sqrt(mean(residual.^2)));

逻辑说明：model是匿名函数形式的模型，参数顺序和x0严格对应，这里最容易错位的是把Fv和vs的位置搞反——错位后拟合照样收敛，但参数毫无意义，一定要打印出来和量级核对。x0的构造有讲究：Fs取实测力的最大值略放大，Fc取最小值略缩小，这两个初值基本靠谱；vs的初值用低速段中摩擦力衰减到(Fs+Fc)/2对应的速度估计，懒得估就取 0.01；d固定从 1.0 起步。

边界条件的作用：Fs ≥ Fc这个物理约束没法直接写成lb/ub，要靠初值和后面的校验保证；d限制在 [0.5, 2] 是防止拟合出 5 以上的形状指数，那种曲线在拟合区间内贴合、外推时完全失真。

trust-region-reflective算法要求残差个数不少于参数个数，这里十几个速度点对五个参数，满足条件。如果数据点少于 8 个，改用levenberg-marquardt，但要接受它更容易陷局部极小。

单次拟合很可能停在局部极小，尤其是vs和d的耦合方向。稳妥做法是撒一组初值做多起点：

best = struct('rmse', inf); for vs0 = [0.003 0.008 0.015 0.030] for d0 = [0.6 1.0 1.5] try [x, ~, r] = lsqcurvefit(model, [max(F)*1.05, min(F)*0.95, 0.05, vs0, d0], ... v, F, lb, ub, opts); rmse = sqrt(mean(r.^2)); if rmse < best.rmse best = struct('rmse', rmse, 'x', x); end catch continue; % 某些初值组合会发散，直接跳过 end end end xopt = best.x;

十二次拟合通常十几秒跑完，比手工调初值省时间。try-catch不能省，边界附近偶尔会抛Local minimum possible之外的错误，一次异常不该中断整个搜索。

4.3 结果验证：残差图比 RMSE 更能说明问题

Ffit = model(xopt, v); figure('Color','w'); subplot(2,1,1); semilogx(v*1000, F, 'o', v*1000, Ffit, '-', 'LineWidth', 1.4); grid on; xlabel('速度 (mm/s)'); ylabel('摩擦力 (N)'); legend('实测','拟合','Location','southeast'); subplot(2,1,2); semilogx(v*1000, F - Ffit, 'o-'); grid on; yline(0, '--'); xlabel('速度 (mm/s)'); ylabel('残差 (N)');

看三件事。第一，残差是否随速度出现系统性趋势，如果低速段残差普遍为正、高速段普遍为负，说明形状指数d没选对，曲线"弯"的程度不匹配。第二，残差绝对值是否小于满量程摩擦力的 5%，超了就别急着往下做补偿。第三，拟合出的vs是否落在实验速度点的覆盖范围内，如果vs落在了最小测试速度以下，说明数据对负斜率段根本没有约束，这个参数是"编"出来的，闭环里会出问题。

还有一步常被跳过：拿反向行程数据当验证集，不参与拟合，只看预测误差。两边误差都在可接受范围内，参数才算可信。

5. 避坑与排查：五个让仿真结果失真的细节

这一节全是踩出来的，按"现象 → 原因 → 解决"组织。

5.1 现象：仿真跑不动，oder45 步长被压到 1e-9

原因：用了严格sign版本的摩擦函数，系统在零速附近反复穿越，摩擦力在+Fc和-Fc之间跳变，求解器为了满足误差要求不断缩步。这在闭环位置保持仿真里几乎必然发生。

解决：把v_eps从 0 改成 1e-4 量级，或直接换ode15s并把MaxStep限制在 1e-3。如果必须保留理想静摩擦，用 Karnopp 的零速判定带替代sign，带宽取求解器步长对应的速度变化量的 2~3 倍。

5.2 现象：辨识残差很小，但换一组数据参数全变

原因：vs和d在拟合区间内高度相关，数据点又集中在高速段，低速负斜率段只有两三个点，参数不可辨识。残差小是因为模型在高速段被粘性项主导，低速段的形状怎么变残差都差不多。

解决：补低速实验点，在vs附近至少布 5 个点；拟合时固定d = 1.0，只放Fs/Fc/Fv/vs四个参数，稳定后再考虑放开d；或者对vs加一个弱的正则项，把解往物理合理区间拉。

5.3 现象：Simulink 仿真结果和 m 脚本对不上

原因：多半是单位或者求解器设置不一致。脚本里v是 m/s，Simulink 里某个 Gain 忘了换算；脚本用ode15s变步长，Simulink 用定步长ode1且步长 1e-3，而v_eps只有 1e-4，平滑完全失效。

解决：在 Simulink 模型里显式标注每个信号的单位，速度信号进摩擦模块之前加一个单位换算的注释块；把v_eps设成不小于求解器步长对应速度变化的量级，定步长 1e-3 时v_eps至少给 1e-3。

5.4 现象：位置保持工况下，系统缓慢"漂移"

原因：用了 tanh 平滑版本，零速时tanh(0) = 0，摩擦力输出为 0，静摩擦被彻底抹掉了。系统在零速附近没有任何阻力矩，积分器上的微小残差会让位置慢慢滑走。

解决：位置保持场景不能只用平滑版。要么改成 Karnopp 结构，在|v| < v_0时按静摩擦做力平衡判断；要么在平滑版基础上叠加一个零速保持项，当|v| < v_0且外力小于Fs时输出等于外力反向。这一点没得绕。

5.5 现象：模型在台架上验证通过，换一台同型号设备就失效

原因：摩擦参数是装配预紧、润滑状态、表面粗糙度的函数，同型号设备的Fs差异可以到 30%。把一台设备辨识出的参数当"型号参数"用，必然翻车。

解决：参数按单机管理，每台设备建一份参数文件，标定流程固化成脚本；控制算法里给Fs/Fc留 20%~30% 的在线自适应余量，或者用低速段的跟踪误差做慢速在线修正。别指望一套参数通吃。

6. 进阶用法：把摩擦模型接进前馈补偿，附一份验证清单

模型算得准只是前提，真正产生价值的是拿它去做补偿。思路很直接：既然F(v)能算，那就在控制量里预先加上同样大小的力，把摩擦"顶掉"。

function u = control_with_friction_ff(v_ref, u_pid, p, alpha) %CONTROL_WITH_FRICTION_FF 带摩擦前馈补偿的控制量 % v_ref : 参考速度，m/s % u_pid : 反馈控制器输出，N 或 A % alpha : 补偿系数，0~1，工程上常取 0.6~0.8 F_ff = stribeck_friction(v_ref, p); u = u_pid + alpha * F_ff; end

alpha不取 1 是有原因的。前馈力完全等于模型输出时，一旦参数偏大，系统会在换向瞬间被"推过头"，产生反向的超调；取 0.6~0.8 相当于留了一条退路，让反馈环还有活干。另外v_ref在零速附近符号会抖，直接用会让前馈力来回跳，常见做法是给v_ref加一个一阶低通（截止频率 20~50 Hz），或者在前馈通道里对F_ff做速率限幅。

验证环节比补偿本身更容易被糊弄过去。我习惯按下面这张表逐项走，每项都有明确的判据，不看"感觉好多了"。

表里最容易出问题的是"开环爬行复现"这一项。很多人的模型参数是从样本上抄的，曲线画出来漂亮，但一跑恒力驱动就是平滑的指数趋近，根本没有台阶——这说明Fs/Fc比值给得太小，或者v_eps太大把负斜率段抹平了。爬行复现不出来，后面的补偿效果就无从对比，整个验证链条断在第一环。

还有一个我后来固定加上的动作：把辨识出的参数、拟合残差、验证曲线一起写进一个friction_calib_YYYYMMDD.mat，和当次的实验数据放在同一个目录。原因是三个月后回头查"当时为什么把vs定成 0.018"，光看代码里的数字根本想不起来，有这份存档才能复盘。同一个项目里换过三次参数、每次都没留档，最后只能重新做一遍扫频实验，那个下午的教训记到现在。从那以后我每次改摩擦参数，都强制走一遍"拟合 → 残差图 → 爬行复现 → 存档"这四步，一步不跳。希望帮到你。

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