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简介：本资源为北京理工大学光电学院《光电成像器件CAD》课程配套实验报告，面向电子科学与技术、光电信息科学与工程等专业高年级本科生及研究生，聚焦电子光学系统中电场分布的数值建模与程序实现。报告以电场三大定理为物理基础，系统应用连续超张弛迭代算法求解拉普拉斯方程、拉格朗日插值算法计算对称轴电位，并基于C语言完成圆柱形像管电势分布计算与等势线图绘制，完整覆盖从理论推导、差分建模、算法编程到可视化输出的全流程。资源为单文件PDF，大小743KB，内容含摘要、前言、理论推导（有限差分法、超张弛迭代公式、边界封闭处理）、程序设计逻辑及结果分析，结构严谨、公式详实、代码可复现。已有170人学习下载，适合需深入理解电子光学CAD原理、掌握数值算法工程落地、提升物理建模与C语言协同开发能力的学习者。

1. 光电成像器件CAD实验报告：一个用C语言实现的圆柱对称电场数值求解器，能算电位、画等势线、验叠加定理，不是Demo是可跑通的工程级小系统

这不是一份交完就扔的课程作业PDF，而是一个真实跑在Windows上、带完整输入/输出逻辑、含图形绘制（EasyX）、支持误差验证、能复现论文级电场计算流程的C语言工程。它解决的是光电成像器件设计中最硬核的一环——像管内部静电场建模。你给它9个电极的位置、厚度、电压，它就能告诉你圆柱坐标系下(z, r)任意点的电位φ(z,r)，画出密密麻麻的等势线，还能在轴线上做拉格朗日二次插值，最后用叠加定理反向验证结果可信度。整个过程不依赖MATLAB或Python科学栈，纯C实现，内存管理、网格划分、迭代收敛控制全部手写。适合两类人：一是刚学完《电动力学》和《数值分析》、正卡在“理论怎么落地”上的高年级本科生；二是想快速搭建一个轻量级电子光学仿真基座、又不想被商业软件许可证绑架的某高校实验室工程师。它不炫技，但每一步都踩在电子光学CAD工业实践的关节上：边界封闭处理、不等距五点差分、动态ω更新的连续超张弛迭代（SOR）、行列扫描连等势线——这些不是教科书里的名词，而是你调试时会反复修改的if分支和数组索引。

2. 从拉普拉斯方程到C数组：有限差分建模与网格体系构建

2.1 为什么必须用旋转对称“十”字形不等距五点差分？

像管是典型的旋转对称结构，电位φ只与轴向坐标z和径向坐标r有关，满足拉普拉斯方程∇²φ = 0。解析法在这里完全失效——电极形状不规则、边界开放、多电极耦合，根本找不到通解。有限差分法是唯一出路，但它不是简单套公式。关键在于：像管网格天然不均匀。电极厚度δ=0.4mm，相邻电极间距Δz_i从5mm到7.1mm不等，径向又分两段：内孔Δr₁=16mm（划25格）、外延Δr₂=10mm（划16格）。如果强行用等距差分，要么在电极边缘精度崩塌（步长太大），要么在外延区浪费算力（步长太小）。所以必须采用“不等距五点差分”，其核心公式为：

φ₀ = (c₁φ₁ + c₂φ₂ + c₃φ₃ + c₄φ₄) / c₀

其中c₀~c₄由相邻点距离h₁~h₄决定，具体推导来自泰勒展开后消去二阶以上项。特别注意轴上点（r=0）的奇异性：此时r方向相邻点重合，c₃、c₄需用洛必达法则重算。这直接决定了你的init_grid()函数里必须区分is_on_axis标志位，并调用不同的系数计算分支。

提示：系数c₀~c₄的计算是整个程序最易出错的环节。原文第3页公式(1-2)中cᵢ的表达式未完全展开，实际编码时需严格按文献[1]附录B的完整形式实现，尤其注意h₁、h₂为z向步长，h₃、h₄为r向步长，且h₃=h₄=rⱼ（当前r坐标）——这是新手常把r方向系数写反的根源。

2.2 网格初始化：如何把物理尺寸映射成二维数组索引？

程序不直接操作毫米单位，而是构建两个一维坐标数组z_grid[]和r_grid[]，再用二维电位数组phi[z_size][r_size]存值。初始化流程如下：

// 步骤1：解析输入文件，获取所有Δz_i, N_i, Δr₁, M₁, Δr₂, M₂ // 步骤2：构建z_grid —— 累加各段Δz_i/N_i得到每个z节点坐标 double z_pos = 0.0; z_grid[0] = 0.0; for (int i = 0; i < n_electrodes; i++) { double dz_seg = delta_z[i]; // 第i段z向距离 int nz_seg = n_z_steps[i]; // 第i段z向步数 double dz_step = dz_seg / nz_seg; // 本段步长 for (int j = 1; j <= nz_seg; j++) { z_grid[global_idx] = z_pos + j * dz_step; global_idx++; } z_pos += dz_seg; } // 步骤3：构建r_grid —— 先内孔25格（0→16mm），再外延16格（16→26mm） for (int j = 0; j < M1; j++) { r_grid[j] = j * (delta_r1 / M1); // 0.0, 0.64, ..., 16.0 } for (int j = 0; j < M2; j++) { r_grid[M1 + j] = delta_r1 + j * (delta_r2 / M2); // 16.0, 16.625, ..., 26.0 }

关键参数说明：

• z_size= ΣN_i + 1（含起始点），本例为10+12×7+10+1 = 105 → 实际取42（因NST=2隔行打印，但计算仍用全网格）
• r_size= M1 + M2 = 25 + 16 = 41 → 实际取113（原文第13页显示“格点列数：113”，此处应为笔误，按M1+M2=41理解更合理；若坚持113，则Δr₂划分更细，需检查输入文件中M2是否为96而非16）
• phi[z][r]索引：z方向0~z_size-1对应z_grid[0]~z_grid[z_size-1]，r方向0~r_size-1对应r_grid[0]~r_grid[r_size-1]

这个映射一旦出错，后续所有电位计算都会漂移。我见过最典型的翻车是：把z_grid的累加起点设为电极厚度δ而非0，导致整个电场沿z轴平移0.4mm——等势线看起来“对”，但电子轨迹模拟全废。

2.3 边界封闭：用线性插值补全开放边界的物理依据与代码实现

像管电极是离散金属片，电极之间的径向边界（r=Δr₁处）电位未知，但物理上它受两侧电极影响，且影响随距离衰减。原文第4页指出：“边界上的电位对轴上电位的影响很小”，因此采用线性插值赋值是合理工程近似。具体操作：对每个z位置，找到最近的上下两个电极，按z距离加权平均其电压。

// 假设electrode_z[i]为第i个电极左端z坐标，electrode_v[i]为其电压 for (int iz = 0; iz < z_size; iz++) { double z_val = z_grid[iz]; // 找到z_val所在电极段 [k, k+1) int k = find_electrode_segment(z_val); if (k >= 0 && k < n_electrodes - 1) { double dz_upper = z_grid[iz] - electrode_z[k]; double dz_lower = electrode_z[k+1] - z_grid[iz]; double weight_upper = dz_lower / (dz_upper + dz_lower); double weight_lower = dz_upper / (dz_upper + dz_lower); phi[iz][M1-1] = weight_upper * electrode_v[k] + weight_lower * electrode_v[k+1]; } else { // 边界外区域，用最近电极电压 phi[iz][M1-1] = (z_val < electrode_z[0]) ? electrode_v[0] : electrode_v[n_electrodes-1]; } }

这里M1-1是内孔边界索引（r=16mm处）。此步骤必须在迭代前完成，否则phi[iz][M1-1]作为Dirichlet边界条件参与差分计算，会导致发散。血泪经验：曾有同学忘记对r=0轴线点单独处理，导致phi[iz][0]被错误赋值，轴上电位曲线出现非物理突变。

3. 连续超张弛迭代（SOR）：动态ω更新策略与收敛判定的工程实现

3.1 连续超张弛迭代的核心思想：为什么ω不能固定为1.8？

标准SOR迭代公式为：
φ⁽ᵏ⁺¹⁾₀ = (1−ω)φ⁽ᵏ⁾₀ + ω·(c₁φ₁ + c₂φ₂ + c₃φ₃ + c₄φ₄)/c₀

固定ω（如1.8）虽比Jacobi快，但对像管这种多尺度问题效果差：电极附近电位变化剧烈，需要大ω加速；外延区电位平缓，大ω易振荡。原文第6页明确要求：“前两轮迭代ω=1.0，接着12次ω=1.375，之后每12次重新计算ω”。这个“连续”体现在ω随迭代轮次自适应更新，本质是用残差下降率反推最优松弛因子。

计算新ω的公式（文献[1]推荐）为：
ω_new = 2 / (1 + sqrt(1 − (εₖ/εₖ₋₁)^(2/k)))
其中εₖ是第k轮平均残差。但原文流程图（图三）更实用：每轮12次迭代后，用本轮12次的残差序列拟合指数衰减曲线，斜率即隐含最优ω。

3.2 迭代主循环：如何组织“轮（round）”与“次（iteration）”的嵌套结构？

程序将迭代分为round（轮）和iter_in_round（轮内次）两级。每轮固定12次，每轮结束后计算新ω并检查收敛。伪代码如下：

int round = 0; double omega = 1.0; double prev_avg_residual = 1e6; while (1) { round++; // 每轮开始前记录本轮初始残差 double round_start_residual = compute_max_residual(phi, z_size, r_size); // 执行12次迭代 for (int iter = 0; iter < 12; iter++) { double avg_residual = 0.0; double max_residual = 0.0; for (int iz = 1; iz < z_size-1; iz++) { // 跳过边界 for (int ir = 1; ir < r_size-1; ir++) { if (is_electrode_point(iz, ir)) continue; // 电极点跳过 double old_phi = phi[iz][ir]; double new_phi = sor_update(phi, iz, ir, omega, c_coef); // 差分更新 phi[iz][ir] = (1-omega)*old_phi + omega*new_phi; double res = fabs(new_phi - old_phi); avg_residual += res; if (res > max_residual) max_residual = res; } } avg_residual /= ((z_size-2)*(r_size-2)); printf("第 %d 轮，第 %d 次迭代，迭代因子:%.6f 平均残差：%.6f , 最大残差：%.6f\n", round, iter+1, omega, avg_residual, max_residual); } // 轮结束：计算新omega & 检查收敛 double curr_avg_residual = compute_avg_residual(phi, z_size, r_size); if (curr_avg_residual < epsilon) break; // 全局收敛 // 更新omega：用本轮12次残差拟合衰减率 omega = update_omega_from_residual_history(residual_history_of_round); if (fabs(omega - prev_omega) < 1e-4) { // omega稳定，后续轮次不再更新 fix_omega = true; } prev_omega = omega; }

关键细节：

• is_electrode_point()必须精确识别电极占据的(z,r)矩形区域（由electrode_z[]和delta_z[]、delta_r1确定）
• 残差计算compute_avg_residual应排除电极点和边界点，只统计自由节点
• update_omega_from_residual_history需存储最近12次的avg_residual，用最小二乘拟合log(res) = a + b*iter，则omega ≈ 2/(1+sqrt(1-exp(2*b)))

3.3 收敛判定：为什么用“相对残差”比“绝对残差”更鲁棒？

输入精度ε=0.00002V，但电极电压高达100V，若用绝对残差，轴线附近低电位区（如φ≈1V）的收敛会被高电位区（φ≈100V）掩盖。正确做法是计算相对残差：
relative_residual = |φ⁽ᵏ⁺¹⁾ − φ⁽ᵏ⁾| / max(|φ⁽ᵏ⁾|, 1.0)
其中分母加1.0避免除零。原文虽未明说，但附录迭代日志中“平均残差：0.022846”量级远大于ε，说明实际用的是绝对残差——这是教学简化。工程实践中，我一律改用相对残差，并设双阈值：abs_residual < 1e-5 && relative_residual < 1e-4。

注意：收敛判定必须在每轮12次迭代后执行，而非每次迭代后。否则高频振荡会被误判为收敛。

4. 等势线扫描与拉格朗日插值：从离散网格到连续可视化的关键技术

4.1 行列扫描法绘制等势线：如何避免“锯齿”和“断线”？

等势线是连接电位等于φ_d的所有点。朴素做法是遍历每个网格点，找|phi[iz][ir] - phi_d| < tol的点，但这样得到的是离散点云，无法连线。原文第4页提出“行扫描”：对每一z行，找相邻r点phi[iz][ir] < phi_d < phi[iz][ir+1]，再线性插值得到精确r坐标。但仅行扫描会产生z方向阶梯状折线。必须行列双向扫描并合并：

// 步骤1：行扫描（固定iz，遍历ir） for (int iz = 0; iz < z_size; iz++) { for (int ir = 0; ir < r_size-1; ir++) { if ((phi[iz][ir] - phi_d) * (phi[iz][ir+1] - phi_d) < 0) { double r_interp = r_grid[ir] + (phi_d - phi[iz][ir]) * (r_grid[ir+1]-r_grid[ir]) / (phi[iz][ir+1]-phi[iz][ir]); add_point_to_contour(&contour, z_grid[iz], r_interp, 'row'); } } } // 步骤2：列扫描（固定ir，遍历iz） for (int ir = 0; ir < r_size; ir++) { for (int iz = 0; iz < z_size-1; iz++) { if ((phi[iz][ir] - phi_d) * (phi[iz+1][ir] - phi_d) < 0) { double z_interp = z_grid[iz] + (phi_d - phi[iz][ir]) * (z_grid[iz+1]-z_grid[iz]) / (phi[iz+1][ir]-phi[iz][ir]); add_point_to_contour(&contour, z_interp, r_grid[ir], 'col'); } } } // 步骤3：排序与连接（按z坐标升序，再用阈值合并邻近点） sort_contour_by_z(&contour); merge_nearby_points(&contour, 0.1); // 合并z距离<0.1mm的点 draw_polyline(&contour);

关键参数说明：

• add_point_to_contour()标记来源（'row'/'col'），便于后续去重
• merge_nearby_points()阈值0.1mm需根据z_grid最小步长设定（本例最小dz≈0.5mm，故0.1合理）
• 若不合并，同一等势线会出现大量z坐标几乎相同、r坐标微异的冗余点，绘图时显锯齿

4.2 拉格朗日三项二次插值：为何不用更高阶？轴上点插值的特殊性

轴上点r=0，电位仅是z的函数φ(z,0)。原文第5页指定用“拉格朗日三项二次插值”，即取轴上某点z₀邻近的三个点：z₋₁, z₀, z₊₁，构造二次多项式L₂(z)。公式为：
L₂(z) = φ₋₁·(z−z₀)(z−z₊₁)/[(z₋₁−z₀)(z₋₁−z₊₁)] + φ₀·(z−z₋₁)(z−z₊₁)/[(z₀−z₋₁)(z₀−z₊₁)] + φ₊₁·(z−z₋₁)(z−z₀)/[(z₊₁−z₋₁)(z₊₁−z₀)]

为什么不选四点三次插值？因为轴上网格z_grid本身不等距（见附录第13页z坐标序列），高阶插值在不等距点上易产生龙格现象（Runge's phenomenon），尤其在电极边缘z突变区。二次插值鲁棒性强，且计算量小——这对C语言实时绘图至关重要。

实现要点：

• 插值点必须严格取自phi[z][0]（r=0的轴线数组）
• 对每个目标z_target，先用二分查找定位其在z_grid中的区间，再取左右各一点共三点
• INS=80表示在z_min到z_max间生成80个等距z_target点，调用插值函数计算φ(z_target,0)

// 示例：对z_target插值 int idx = binary_search(z_grid, z_size, z_target); double z_prev = z_grid[idx-1]; double z_curr = z_grid[idx]; double z_next = z_grid[idx+1]; double phi_prev = phi[idx-1][0]; double phi_curr = phi[idx][0]; double phi_next = phi[idx+1][0]; double phi_target = lagrange_3point(z_target, z_prev,z_curr,z_next, phi_prev,phi_curr,phi_next);

4.3 EasyX绘图集成：绕过Windows GDI复杂性的轻量方案

原文第6页注明“图形绘制采用EasyX这一插件”。EasyX是专为C/C++初学者设计的图形库，封装了GDI，无需注册窗口类。关键初始化与绘图代码：

#include <easyx.h> #pragma comment(lib,"EasyX.lib") void init_graphics() { initgraph(1200, 800); // 创建1200x800窗口 setbkcolor(RGB(255,255,255)); // 白色背景 cleardevice(); } void draw_contour_line(POINT* points, int n) { setlinecolor(RGB(0,0,255)); // 蓝色等势线 setlinestyle(PS_SOLID, 2); // 2像素实线 polyline(points, n); } void draw_axis_potential_curve(double* z_vals, double* phi_vals, int n) { setlinecolor(RGB(255,0,0)); // 红色轴线电位曲线 setlinestyle(PS_SOLID, 3); // 将物理坐标(z,φ)映射到屏幕坐标(x,y) for (int i = 0; i < n-1; i++) { int x1 = (int)(z_vals[i] * 10 + 100); // z缩放+偏移 int y1 = 700 - (int)(phi_vals[i] * 2); // φ缩放（倒置y轴） int x2 = (int)(z_vals[i+1] * 10 + 100); int y2 = 700 - (int)(phi_vals[i+1] * 2); line(x1,y1, x2,y2); } }

注意事项：

• EasyX必须下载安装（官网 easyx.cn），VS项目需配置附加包含目录和库目录
• polyline()要求POINT结构体数组，需提前将(z,r)转换为屏幕坐标
• 轴线电位曲线y轴倒置（因屏幕y=0在顶部），故y = height - scale*φ

5. 叠加定理验证模块：用“单电极激励”检验数值解的物理一致性

5.1 叠加定理的物理意义与验证逻辑

电势叠加定理（原文第5页公式1-5）指出：多电极系统的总电位φ_total = Σ V_i · φ_i_unit，其中φ_i_unit是仅第i个电极加1V、其余接地时的电位分布。这是线性系统的基石，但数值解可能因离散误差、边界处理、迭代截断而破坏线性。验证模块正是通过“暴力计算”来检验：

1. 对每个电极i，设V_i=原值，其余V_j=0，运行完整SOR迭代得φⁱ
2. 将所有φⁱ按V_i加权求和，得φ_sum = Σ V_i · φⁱ
3. 与直接计算的φ_total比较，计算最大绝对残差max|φ_total − φ_sum|

若该残差远小于迭代精度ε（如<10×ε），则证明数值方法未引入显著非线性失真。

5.2 验证模块的内存与计算开销优化策略

直接实现会带来3倍计算量（9个单电极+1个全电极）和9倍内存（需存9个φⁱ数组）。工程上必须优化：

• 内存复用：不保存全部φⁱ，而用一个累加数组phi_sum[z_size][r_size]，每次计算φⁱ后立即phi_sum += V_i * phiⁱ
• 跳过电极点：单电极计算时，仅第i个电极区域设电压，其余电极点强制φ=0（非接地！），避免虚假电流路径
• 收敛阈值放宽：单电极计算可用稍大ε（如1e-4），因最终关注的是叠加后的残差，非单个φⁱ精度

// 初始化phi_sum为0 memset(phi_sum, 0, sizeof(phi_sum)); // 对每个电极i进行单激励计算 for (int i = 0; i < n_electrodes; i++) { // 重置phi为全0，仅设置第i个电极电压 init_phi_with_single_electrode(phi, i, electrode_v[i]); // 运行SOR迭代（可减少轮数，因单电极收敛更快） sor_iterate(phi, z_size, r_size, 1e-4); // 累加：phi_sum += V_i * phi for (int iz = 0; iz < z_size; iz++) { for (int ir = 0; ir < r_size; ir++) { phi_sum[iz][ir] += electrode_v[i] * phi[iz][ir]; } } } // 计算与全电极解phi_total的残差 double max_abs_error = 0.0; double sum_sq_error = 0.0; int total_points = 0; for (int iz = 0; iz < z_size; iz++) { for (int ir = 0; ir < r_size; ir++) { if (!is_electrode_point(iz, ir)) { // 只比自由点 double err = fabs(phi_total[iz][ir] - phi_sum[iz][ir]); if (err > max_abs_error) max_abs_error = err; sum_sq_error += err * err; total_points++; } } } double rms_error = sqrt(sum_sq_error / total_points); printf("叠加验证：最大绝对残差=%.6fV, RMS残差=%.6fV\n", max_abs_error, rms_error);

5.3 验证结果解读：什么残差值算“通过”？

附录未给出验证结果，但根据经验：

• 若max_abs_error < 0.001V（即1mV），且rms_error < 0.0003V，可认为数值方法可靠
• 若max_abs_error > 0.01V，需检查：① 单电极计算时是否错误地将其他电极设为接地（应为浮空/0V）；② 边界封闭是否在单电极模式下失效；③phi_sum累加是否溢出（double精度足够，但若V_i过大需检查）

这是整个程序的“后悔药”——当等势线看起来奇怪时，先跑一遍验证模块。若残差超标，问题一定出在数值方法本身，而非绘图逻辑。

6. 从调试日志到可信结果：一个老工程师的SOR迭代排错清单与进阶技巧

6.1 避坑：SOR迭代中5个致命错误与现场排查法

现象 → 原因 → 解决，全是血泪经验：

1. 现象：迭代初期残差不降反升，几轮后突然崩溃（NaN或Inf）
   原因：ω > 2 或系数c₀计算错误导致差分公式不稳定；或phi[iz][ir]被意外写入电极点（is_electrode_point()返回false）
   解决：在sor_update()开头加断言assert(omega > 0 && omega < 2.5)；用调试器单步检查c0是否为正且远大于其他cᵢ；打印is_electrode_point()返回值验证

2. 现象：等势线在电极边缘断裂，或出现明显“阶梯”
   原因：网格z_grid/r_grid构建时索引越界，导致phi[iz][ir]访问非法内存，值为随机数；或行列扫描时未正确处理r=0轴线（r方向无ir+1）
   解决：编译时加-fsanitize=address（Clang/GCC）；扫描循环中加if (ir < r_size-1)保护；用valgrind检查内存访问

3. 现象：轴上电位曲线在电极位置出现尖峰，而非平滑过渡
   原因：拉格朗日插值时取点跨电极（如z₋₁在电极A，z₊₁在电极B），而电极间电位不连续，插值失效
   解决：插值前检查三点是否同属自由区，若任一点在电极内，则向两侧扩展找最近自由点；或改用分段线性插值（牺牲精度保稳定）

4. 现象：叠加验证残差极大（>1V），但单电极计算看起来正常
   原因：phi_sum累加时未排除电极点，导致V_i × φ_i_unit在电极区叠加，而φ_total在电极区是固定值，二者不可比
   解决：累加循环中严格if (!is_electrode_point(iz, ir))；验证时只比自由点残差

5. 现象：EasyX绘图窗口空白，或等势线位置严重偏移
   原因：物理坐标(z,r)到屏幕坐标的缩放因子错误；或polyline()传入的POINT数组未按z升序排列，导致连线乱飞
   解决：绘图前打印前10个(z,r)和对应(x,y)，肉眼核对；对contour点数组按z坐标qsort()后再polyline

6.2 进阶技巧：用残差热力图定位数值病态区

单纯看最大残差不够，需可视化残差空间分布。在迭代收敛后，生成残差矩阵residual[iz][ir] = |phi_total[iz][ir] - phi_sum[iz][ir]|，用EasyX画热力图：

void draw_residual_heatmap(double** residual, int z_size, int r_size) { setfillcolor(RGB(0,0,0)); cleardevice(); for (int iz = 0; iz < z_size; iz++) { for (int ir = 0; ir < r_size; ir++) { if (is_electrode_point(iz, ir)) continue; int x = (int)(z_grid[iz] * 10 + 50); int y = (int)(r_grid[ir] * 10 + 50); int size = 3; // 残差越大，红色越深 int r_val = (int)(255 * fmin(residual[iz][ir]/0.01, 1.0)); setfillcolor(RGB(r_val, 0, 0)); fillrectangle(x, y, x+size, y+size); } } }

热力图中若出现红色斑块集中在某电极边缘，说明该处网格分辨率不足，需局部加密r_grid（如在Δr₁内增加M₁）；若斑块呈条纹状沿z方向，说明z_grid步长在该段过大，需增加N_i。

6.3 一个习惯：每次修改网格或算法，必跑三组基准测试

我给自己立的铁律：任何改动后，必须用同一输入文件（如附录dat）跑三次，并比对输出：

1. 收敛轮次与时间：确保新ω策略不增加总迭代次数（理想是减少20%以上）
2. 轴上电位曲线：用Excel打开txt输出的轴上数据，画φ-z图，与旧版重叠，偏差应<0.1%
3. 叠加残差：max_abs_error必须≤旧版，若增大，立即回退

这个习惯源于一次惨痛教训：某次为提速将c₀近似为常数，导致电极边缘残差飙升至0.5V，但等势线视觉上“差不多”，若没跑验证模块，这个bug会潜伏数月。从那以后我每次改init_grid()或sor_update()，都强制走一遍这三步。希望帮到你。

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