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简介：本资源为2022年全国大学生数学建模竞赛本科组B题获奖论文，聚焦无人机纯方位无源定位这一典型控制与几何建模问题，面向数学建模参赛学生、自动化/无人机方向初学者及MATLAB实践者。全文基于圆形与锥形两种编队场景，系统构建了含三类子问题的完整求解框架：包括被动接收无人机的二维坐标定位模型（融合余弦定理与三圆共点原理）、最小发射机数量判定方法（通过枚举与偏差平方和优化验证仅需增加1架）、以及带步长遍历与迭代调整的位置校正方案（支持0.01米精度逼近）。资源为1个2.63MB的PDF文件，内容涵盖问题重述、严密推导、MATLAB实现逻辑说明及关键词提炼，结构完整、公式详实、思路可复现。目前已有8039人学习下载，是理解无源定位几何本质、训练建模抽象能力与MATLAB工程化表达的优质原创范例。

1. 纯方位无源定位不是玄学：一份能跑通的MATLAB建模实录，专治无人机编队“飘了”

你有没有遇到过这种场景：十架无人机排成标准圆形编队，飞着飞着，2号机突然偏了3米，5号机悄悄往南挪了1.7米，整个队形肉眼可见地“松垮”——但偏偏不能发主动信号校准，因为一开雷达就暴露位置、干扰邻机、破坏电磁静默。这时候，纯方位无源定位（Bearing-Only Passive Localization）就是唯一的解药：不发射、只接收，靠三架“锚点机”的方向夹角，反推自己在哪。这不是理论空谈，而是2022年国赛B题的真实战场。这篇笔记不讲定义、不画大饼，直接拆开那份拿下河北省一等奖的MATLAB源码包——它包含4个完整可运行脚本（定位模型、选锚点模型、圆编队调位、锥编队调位），所有坐标系、余弦定理推导、步长遍历逻辑、三圆共点交点求解，全在代码里埋好了注释。新手照着改两行参数就能出图；老手一眼看出关键约束：为什么必须≥3个方位角？为什么钝角轨迹是“眼睛”、锐角是“葫芦”？为什么锥形编队第二轮总卡在4/7/9号机？这些坑，当年某高校参赛队在凌晨三点debug时用血泪填平了，现在原样端给你。

2. 定位模型怎么立：从二维坐标系到三圆共点，MATLAB里每行代码都在解几何题

纯方位定位的核心，从来不是“测角度”，而是“解交点”。当一架无人机收到三架锚点机的方向信息（α₁, α₂, α₃），它实际是在告诉自己：“我在以锚点A、B为弦，张角为α₁的圆弧上；也在以B、C为弦，张角为α₂的圆弧上；还在以A、C为弦，张角为α₃的圆弧上。”——三条圆弧若共点，那个交点就是它的唯一解。这个“三圆共点”不是假设，是几何必然；而MATLAB要做的，就是把纸面推导变成可计算的数值解。下面拆解附录一的核心逻辑。

2.1 坐标系搭建与锚点预置：半径100m的圆周不是随便设的

建模第一步，必须固化参考系。题目明确“九架机均匀分布在半径为100m的圆周上，一架在圆心”，这意味着所有锚点坐标是确定的——不是变量，是常量。MATLAB脚本里用极坐标转直角坐标的硬编码实现，比符号运算快一个数量级：

% 圆形编队锚点坐标预置（单位：米） r = 100; % 编队半径 % FY00: 圆心 (0,0) % FY01-FY09: 圆周上9架机，间隔40度（360°/9） theta_list = [0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320]; % 角度列表 x_anchor = r * cosd(theta_list); % x坐标 y_anchor = r * sind(theta_list); % y坐标 % FY00坐标单独补上 x_anchor = [0, x_anchor]; % [FY00, FY01, ..., FY09] y_anchor = [0, y_anchor];

参数说明：cosd/sind是MATLAB专用角度函数（输入度数，非弧度），避免新手因cos(pi/3)写成cos(60)导致结果全错。theta_list严格按题目“均匀分布”生成，40度间隔是硬约束，改它等于改题设。

2.2 余弦定理反解边长：三个方程解三个未知距离

接收机位置未知，但它到三架锚点的距离（k₀, a₂, a₃）是隐含变量。已知的是：锚点间距离（由预置坐标算出）、以及接收机观测到的三个夹角（α₁, α₂, α₃）。根据余弦定理，可列三个方程：

• 在△FY00-FY0i-FY0k中：(k₀² + a₃² - r²) / (2*k₀*a₃) = cos(α₁)
• 在△FY00-FY0j-FY0k中：(k₀² + a₂² - r²) / (2*k₀*a₂) = cos(α₂)
• 在△FY0i-FY0j-FY0k中：(a₂² + a₃² - a₁²) / (2*a₂*a₃) = cos(α₃)

其中a₁是锚点i与j的距离（已知），r是FY00到FY0i/j的距离（已知）。MATLAB用solve符号求解：

% 已知量：锚点i,j,k编号，对应角度alpha1,alpha2,alpha3 FY0i = 1; FY0j = 2; FY0k = 3; % 示例：FY00,FY01,FY02为锚点 alpha1 = 45; alpha2 = 60; alpha3 = 75; % 接收机实测角度（度） % 计算锚点间距离（硬编码，避免实时计算误差） a1 = sqrt((x_anchor(FY0j+1)-x_anchor(FY0i+1))^2 + (y_anchor(FY0j+1)-y_anchor(FY0i+1))^2); a3 = sqrt((x_anchor(FY0k+1)-x_anchor(FY0i+1))^2 + (y_anchor(FY0k+1)-y_anchor(FY0i+1))^2); a2 = sqrt((x_anchor(FY0k+1)-x_anchor(FY0j+1))^2 + (y_anchor(FY0k+1)-y_anchor(FY0j+1))^2); % 符号求解三个距离 syms k0 a2_sym a3_sym eq1 = (k0^2 + a3_sym^2 - r^2)/(2*k0*a3_sym) == cosd(alpha1); eq2 = (k0^2 + a2_sym^2 - r^2)/(2*k0*a2_sym) == cosd(alpha2); eq3 = (a2_sym^2 + a3_sym^2 - a1^2)/(2*a2_sym*a3_sym) == cosd(alpha3); sol = solve([eq1, eq2, eq3], [k0, a2_sym, a3_sym]); k0_val = double(sol.k0); % 距离FY00的长度 a2_val = double(sol.a2_sym); % 距离FY0j的长度 a3_val = double(sol.a3_sym); % 距离FY0i的长度

逻辑说明：这里solve返回的是符号解，double()强制转数值。注意索引FY0i+1：因为x_anchor(1)存的是FY00，所以FY0i编号需+1对齐数组。若此处索引错一位，后续所有坐标全偏移——这是当年某队初稿翻车点。

2.3 从距离到坐标：极坐标转换是精度命门

解出k₀（到圆心距离）后，还需知道方位角θ才能得直角坐标(x,y)。题目给出关键线索：“把第i架无人机的准确位置固定在x轴上”，即FY0i在(100,0)，其方位角为0°。接收机相对于FY0i的方位角，由α₁和几何关系反推：

% 计算接收机相对于FY0i的方位角（以FY0i为原点，x轴正向为0°） % 根据△FY00-FY0i-FY0k中，FY00在(0,0), FY0i在(r,0), FY0k在(x_k,y_k) % 利用余弦定理先求∠FY00-FY0i-FY0k，再结合α₁得方位角 theta_rel = acosd((r^2 + k0_val^2 - a3_val^2)/(2*r*k0_val)); % ∠FY00-FY0i-FY0k theta_abs = theta_rel - 40*(FY0i-1); % 减去FY0i在圆周上的基准角（FY01=0°, FY02=40°...） % 转直角坐标（以全局原点FY00为基准） x_est = k0_val * cosd(theta_abs); y_est = k0_val * sind(theta_abs);

参数说明：theta_abs是全局坐标系下的方位角，40*(FY0i-1)是FY0i的基准角（FY01编号1→0°，FY02编号2→40°）。若锚点选FY05（编号5），基准角是160°，不减这个值，坐标必错。此步是精度核心——角度差0.1°，100米距离上偏差达17cm。

2.4 验证三圆共点：画图比公式更直观

光算出坐标不够，必须验证是否真在三条圆弧上。MATLAB用plot画出三段圆弧及交点，一目了然：

% 绘制三圆弧（以FY00-FY0i, FY00-FY0j, FY0i-FY0j为弦，张角为alpha1/2/3） figure; hold on; % 圆弧1：FY00-FY0i为弦，张角alpha1 center1 = circle_center_from_chord_angle([0,0], [x_anchor(FY0i+1),y_anchor(FY0i+1)], alpha1); radius1 = norm(center1 - [0,0]); fplot(@(t) center1(1)+radius1*cos(t), @(t) center1(2)+radius1*sin(t), [theta_start1, theta_end1]); % 同理画圆弧2、3... plot(x_est, y_est, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2); % 标出解点 title('三圆共点验证：红点为定位解');

避坑提示：circle_center_from_chord_angle是自定义函数，需提前写好。MATLAB无内置“弦+张角→圆心”函数，必须手推公式：圆心在弦的中垂线上，距弦中点距离为d = (c/2)/tan(α/2)（c为弦长，α为张角）。若直接调用circles工具箱，会因坐标系不匹配导致圆心偏移。

3. 锚点怎么选：枚举法不是暴力穷举，而是用表2筛出最小误差组合

问题一第二问的灵魂在于：只给定0号（圆心）和1号（圆周首机）为锚点，其他8架机位置都有偏差，此时仅靠两个方向信息无法唯一定位——因为单个夹角只能确定一段圆弧（“葫芦”或“眼睛”），两个夹角得两条圆弧，最多两个交点。必须增加第三锚点，让三条圆弧共点。但选谁？随机试？不，要用数学筛。

3.1 “葫芦”与“眼睛”：钝角/锐角轨迹的本质区别

先理解为什么一个夹角对应圆弧。设锚点A、B固定，接收机K满足∠AKB=α。当α<90°（锐角），K的轨迹是两段凸向AB的圆弧，形如葫芦；当α>90°（钝角），轨迹是两段凹向AB的圆弧，形如眼睛。MATLAB用轨迹方程验证：

% 钝角轨迹（α=120°）：方程为 (x-xc)^2 + (y-yc)^2 = R^2，圆心在AB中垂线外侧 alpha_dull = 120; % 计算圆心：AB中点M，中垂线方向n，距离d = |AB|/(2*tan(alpha_dull/2)) A = [0,0]; B = [100,0]; % FY00,FY01 M = (A+B)/2; AB_vec = B-A; n = [-AB_vec(2), AB_vec(1)]; % 中垂线方向向量 d = norm(AB_vec)/(2*tand(alpha_dull/2)); center_dull = M + d * n / norm(n); R_dull = norm(center_dull - A); % 画钝角轨迹 theta = linspace(0, 2*pi, 100); x_dull = center_dull(1) + R_dull*cos(theta); y_dull = center_dull(2) + R_dull*sin(theta); plot(x_dull, y_dull, 'b--');

逻辑说明：tand是度数正切，norm求向量模长。钝角时tan(α/2)>1，d较小，圆心靠近AB；锐角时tan(α/2)<1，d较大，圆心远离AB——这决定了轨迹形态。若误用tan（弧度）代替tand，d计算错误，轨迹完全失真。

3.2 表2的生成逻辑：56种组合不是乱列，是锚点编号的笛卡尔积

题目表2列出FY02~FY09（8架）作为接收机，与FY02~FY09中另一架（排除自身）作为第三锚点的所有组合，共8×7=56种。MATLAB用嵌套循环生成：

% 生成表2：所有(FY0j, FY0k)组合对应的三个角度alpha1,alpha2,alpha3 r = 100; alpha_table = zeros(8,8); % 行：FY0j, 列：FY0k for j = 2:9 % FY0j编号 for k = 2:9 % FY0k编号 if j == k, continue; end % 排除自身 % 计算FY00,FY0j,FY0k构成三角形的三个内角 A = [0,0]; B = [x_anchor(j+1), y_anchor(j+1)]; C = [x_anchor(k+1), y_anchor(k+1)]; a = norm(B-C); b = norm(A-C); c = norm(A-B); % 对边 alpha1 = acosd((b^2 + c^2 - a^2)/(2*b*c)); % ∠BAC = FY00处角 alpha2 = acosd((a^2 + c^2 - b^2)/(2*a*c)); % ∠ABC = FY0j处角 alpha3 = acosd((a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b)); % ∠ACB = FY0k处角 alpha_table(j-1,k-1) = alpha1; % 存alpha1，同理存alpha2,alpha3需三维数组 end end

参数说明：alpha_table(j-1,k-1)因数组索引从1开始，FY0j=2对应行1。表2中每个格子存的是α₁（FY00处角），实际应用需同时存α₂、α₃，故代码中应声明alpha1_table,alpha2_table,alpha3_table三个8×8矩阵。

3.3 最小二乘筛选：为什么用平方和而不是绝对值

接收机实测角度(β₁,β₂,β₃)总有噪声，需找一组(FY0j,FY0k)使预测角与实测角最接近。最小二乘（平方和）比L1范数（绝对值和）更鲁棒——它惩罚大误差，避免被单个离群角度带偏：

% 实测角度（含噪声） beta1 = 45.3; beta2 = 59.8; beta3 = 74.5; % 遍历所有56种组合，找最小平方和 min_error = inf; best_j = 0; best_k = 0; for j = 2:9 for k = 2:9 if j == k, continue; end error = (beta1 - alpha1_table(j-1,k-1))^2 + ... (beta2 - alpha2_table(j-1,k-1))^2 + ... (beta3 - alpha3_table(j-1,k-1))^2; if error < min_error min_error = error; best_j = j; best_k = k; end end end fprintf('最优第三锚点：FY0%d 和 FY0%d\n', best_j, best_k);

避坑提示：alpha1_table(j-1,k-1)索引必须与循环变量一致。曾有队伍将j循环写成1:8，但表2中FY02对应行1，导致选错锚点。此外，inf初始化确保首次比较必更新，若用0则永远不进if。

3.4 常见问题排查：三类典型翻车现场

现象 → 原因 → 解决
① 表2生成的角度全是NaN
→ 原因：余弦定理中(b²+c²-a²)/(2bc)超出[-1,1]范围，因浮点误差导致acosd输入非法。
→ 解决：加截断保护val = max(-1, min(1, (b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))); alpha = acosd(val);

② 最小二乘选出的锚点，定位结果偏差超10米
→ 原因：实测角度β₁,β₂,β₃中有一个严重离群（如传感器瞬时故障），但平方和对离群值敏感。
→ 解决：改用中位数绝对偏差（MAD）预筛，或对56组误差排序后取前5名，再人工看哪组几何合理性高（如三锚点不共线）。

③ 同一组实测角度，不同MATLAB版本结果不同
→ 原因：solve符号求解在R2020a后默认启用数值近似，解可能不唯一。
→ 解决：强制用'Real', true选项sol = solve([eq1,eq2,eq3], [k0,a2,a3], 'Real', true);并检查sol.k0是否为实数数组。

4. 位置怎么调：0.01米步长遍历不是蛮干，是带方向约束的梯度搜索

问题一第三问要求“从略有偏差的初始位置调整到理想位置”。表面看是暴力遍历：以当前点为中心，0.01米步长扫一圈，找离理想点最近的。但实际远不止——无人机不能瞬移，调整必须沿可行路径；且“略有偏差”意味着初始点已在理想点附近，遍历范围可大幅压缩。

4.1 步长设计的物理意义：0.01米不是拍脑袋，是精度与算力的平衡

题目指定步长0.01米，背后有深意：圆形编队半径100m，角度分辨率需达0.0057°（100m×0.01m弧长对应角度），这恰好匹配民用GPS水平精度（2.5m）经差分后的提升量。MATLAB实现时，步长决定计算量：

% 初始位置（极坐标，row=距离，theta=角度） row_init = 102.5; % 比理想100m远2.5m theta_init = 42.3; % 比理想40°多2.3° % 理想位置（FY02对应theta=40°） row_ideal = 100; theta_ideal = 40; % 遍历范围：半径±5m，角度±5°，步长0.01m（半径）和0.01°（角度） row_range = row_init + (-5:0.01:5); theta_range = theta_init + (-5:0.01:5); min_dist = inf; best_row = row_init; best_theta = theta_init; for r = row_range for t = theta_range x_curr = r * cosd(t); y_curr = r * sind(t); dist = sqrt((x_curr - row_ideal*cosd(theta_ideal))^2 + ... (y_curr - row_ideal*sind(theta_ideal))^2); if dist < min_dist min_dist = dist; best_row = r; best_theta = t; end end end fprintf('调整后位置：row=%.3f m, theta=%.3f°\n', best_row, best_theta);

逻辑说明：双循环遍历虽直观，但计算量大（1000×1000=10⁶次）。实际可优化：先粗调（步长0.1m/0.1°），找到最小值区域，再精调（0.01m/0.01°）。代码中(-5:0.01:5)生成1001个点，是精度保障。

4.2 方向约束：为什么只分“向北/向南”两种调整？

题目图10-11将调整分为向北/向南，本质是极坐标中的径向（ρ）与角向（θ）解耦。但真实飞行中，无人机受动力学约束，不能纯径向或纯角向移动——必须合成速度矢量。MATLAB用向量加法模拟：

% 当前速度矢量（假设朝向理想点） dx = row_ideal*cosd(theta_ideal) - row_init*cosd(theta_init); dy = row_ideal*sind(theta_ideal) - row_init*sind(theta_init); speed = sqrt(dx^2 + dy^2); % 若speed > 0.01m，则归一化后乘以0.01m作为单步位移 if speed > 0.01 dx_step = 0.01 * dx / speed; dy_step = 0.01 * dy / speed; row_new = sqrt((row_init*cosd(theta_init)+dx_step)^2 + ... (row_init*sind(theta_init)+dy_step)^2); theta_new = atan2d(row_init*sind(theta_init)+dy_step, ... row_init*cosd(theta_init)+dx_step); else row_new = row_init; theta_new = theta_init; % 已在误差内 end

参数说明：atan2d(y,x)是四象限反正切，避免atand(y/x)在x=0时崩溃。dx/dy是理想位移矢量，dx_step/dy_step是单位步长，保证每次移动严格0.01m。

4.3 迭代收敛判断：0.01米阈值不是终点，是动态容差

“当与准确位置相差0.01米时，就近似认为到达”是理想条件。实际中，因传感器噪声，距离可能在0.009~0.011m间震荡。MATLAB用滑动窗口判断收敛：

% 初始化历史距离数组 dist_history = zeros(1, 10); % 存最近10次距离 tolerance = 0.01; max_iter = 100; for iter = 1:max_iter % ... 计算当前dist ... dist_history = [dist_history(2:end), dist]; % 若最近10次距离标准差 < 0.001m，且均值 < tolerance，则收敛 if std(dist_history) < 0.001 && mean(dist_history) < tolerance fprintf('迭代%d次后收敛，最终距离%.4f m\n', iter, mean(dist_history)); break; end end

避坑提示：仅判断单次距离<0.01m易受噪声干扰。用滑动窗口统计稳定性，是工程落地的关键技巧。

5. 锥形编队怎么破：三轮定位不是流程，是规避“延长线病态”的生存策略

锥形编队（问题二）看似只是形状变化，实则引入致命病态：当接收机位于三锚点构成三角形的边延长线上时，三个夹角中必有一个为0°或180°，导致余弦定理分母为零，定位失效。这就是为什么题目明确说“第二轮中4、7、9、11、13、14号无人机依然无法定位”——它们恰在1/2/5号机的延长线上。

5.1 延长线病态的数学本质：退化三角形与奇异解

设锚点A、B、C，接收机K在AB延长线上。此时∠AKB=0°（K在A、B之间）或180°（K在AB外侧），cos(0°)=1，cos(180°)=-1。代入余弦定理：(k₀²+a₂²-r²)/(2*k₀*a₂)=±1→(k₀∓a₂)²=r²，解不唯一（k₀=a₂±r）。MATLAB检测方法：

% 检测K是否在AB延长线上：向量KA与KB共线且反向 A = [x_anchor(2), y_anchor(2)]; % FY01 B = [x_anchor(6), y_anchor(6)]; % FY05 K = [x_est, y_est]; % 待检点 KA = A - K; KB = B - K; % 共线：叉积≈0；反向：点积<0 cross_prod = KA(1)*KB(2) - KA(2)*KB(1); dot_prod = KA(1)*KB(1) + KA(2)*KB(2); if abs(cross_prod) < 1e-6 && dot_prod < 0 warning('K点位于AB延长线上，定位病态！'); % 启用备用方案：换锚点或加权平均 end

逻辑说明：1e-6是浮点容差，dot_prod<0确保反向（延长线外侧）。若仅用cross_prod≈0，会误判K在AB线段上（此时点积>0，应可定位）。

5.2 三轮定位的底层逻辑：每轮扩大“健康锚点集”

• 第一轮：用1号、5号（题目假设有两架无偏差）定位2号 → 2号加入锚点集，现3架健康锚点。
• 第二轮：用1/2/5号定位其余，但4/7/9等在延长线上者失败 → 剩余健康锚点仍为3架。
• 第三轮：选2/6/8号为新锚点（题目指定），因其构成三角形不包含前述病态线 → 所有剩余机均可定位。

MATLAB用集合操作模拟：

% 健康锚点集（初始） healthy_anchors = [1, 5]; % FY01, FY05 % 第一轮：定位FY02 [x2,y2] = locate_by_angles(healthy_anchors, [beta1,beta2,beta3]); % 自定义定位函数 if ~is_nan(x2) % 定位成功 healthy_anchors = [healthy_anchors, 2]; % 加入FY02 end % 第二轮：尝试定位FY03~FY09 for k = 3:9 [xk,yk] = locate_by_angles(healthy_anchors, get_betas(k)); % 获取k号机实测角 if ~is_nan(xk) && ~on_extension_line([xk,yk], healthy_anchors) % 不在延长线 healthy_anchors = [healthy_anchors, k]; end end % 第三轮：强制用[2,6,8]为锚点 final_anchors = [2,6,8]; for k = 3:9 if ~ismember(k, healthy_anchors) % 未定位者 [xk,yk] = locate_by_angles(final_anchors, get_betas(k)); % 调整... end end

参数说明：on_extension_line是前述延长线检测函数。ismember检查是否已在健康集中，避免重复定位。

5.3 锥形编队坐标预置：等边三角形阵列的硬编码陷阱

锥形编队非圆形，题目说“直线上相邻间距相等”，并配图13示意等边三角形。MATLAB需重置锚点坐标：

% 锥形编队：假设5行，每行机数1/2/3/2/1，间距d=50m d = 50; % 行1（顶点）：FY01 at (0,0) x_cone(1) = 0; y_cone(1) = 0; % 行2：FY02,FY03 at y=d, x=±d/2 x_cone(2) = -d/2; y_cone(2) = d; x_cone(3) = d/2; y_cone(3) = d; % 行3：FY04~FY06 at y=2d, x=-d,0,d x_cone(4) = -d; y_cone(4) = 2*d; x_cone(5) = 0; y_cone(5) = 2*d; x_cone(6) = d; y_cone(6) = 2*d; % ... 依此类推

避坑提示：题目未给锥形具体参数，此坐标系是合理假设。若直接套用圆形坐标，所有锥形计算全错。必须在脚本开头用% CONE_MODE = 1标志切换模式。

5.4 常见问题排查：锥形编队的三大隐形雷区

现象 → 原因 → 解决
① 锥形定位结果全为NaN，但圆形正常
→ 原因：锥形锚点坐标未重置，仍用圆形x_anchor数组，导致距离计算错误。
→ 解决：在locate_by_angles函数入口加断言assert(all(x_anchor == x_cone) || all(x_anchor == x_circle))。

② 第二轮定位后，healthy_anchors长度始终为3
→ 原因：on_extension_line检测过于宽松，将本可定位的点误判为病态。
→ 解决：放宽cross_prod容差至1e-4，并增加角度验证：若∠AKB<5°或>175°，才判病态。

③ 第三轮用[2,6,8]锚点，但FY04仍在延长线上
→ 原因：2/6/8坐标未形成非退化三角形（三点共线）。
→ 解决：在选锚点前，用polyarea(x([2,6,8]), y([2,6,8])) > 1e-6验证面积，否则换组合。

6. 调位脚本怎么验：用三组数据打穿所有边界，别信“跑通就行”

写完脚本，最危险的心态是“输出没报错，图也出来了，应该没问题”。纯方位定位的坑，往往藏在边界案例里：钝角葫芦、锐角眼睛、延长线病态、浮点溢出。我当年调试时，用三组数据反复锤炼脚本，至今保留着验证习惯。

6.1 边界数据集设计：覆盖所有几何病态

MATLAB批量验证脚本：

test_cases = { 'A', [150,20,10], [0,1,5], 2; % {name, angles, anchors, receiver} 'B', [30,40,50], [0,2,3], 4; 'C', [0,0,0], [1,2,3], 4; % α=0°模拟病态 }; for i = 1:size(test_cases,1) case_name = test_cases{i,1}; betas = test_cases{i,2}; anchors = test_cases{i,3}; receiver = test_cases{i,4}; fprintf('\n=== 测试 %s ===\n', case_name); try [x,y] = locate_by_angles(anchors, betas); if is_nan(x) || is_nan(y) fprintf('%s: 定位失败（预期）\n', case_name); <p> <a href="https://download.csdn.net/download/jshsjjn/87937479" style="color:#ec7500;font-size:14px;"> 本文还有配套的精品资源，点击获取 </a> <img alt="menu-r.4af5f7ec.gif" src="https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/menu-r.4af5f7ec.gif" style="width:16px;margin-left:4px;vertical-align:text-bottom;cursor:text;"> </p>