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在游戏世界中，角色的位置可能是：

x = 10 y = 2 z = 30

但屏幕只有两个方向：横向和纵向。

那么，三维角色应该显示在屏幕的什么位置？看起来多大？远处的敌人为什么更小？

这就需要投影矩阵。

投影矩阵负责把相机看到的三维空间，变换到适合裁剪和最终映射到屏幕的空间。

它决定了游戏画面的透视效果、可视范围以及深度映射方式。

一、先看整体：一个顶点怎样到达屏幕？

假设角色鼻尖在模型自身坐标中的位置是一个点，它要经历：

模型空间 ↓ 模型矩阵 M 世界空间 ↓ 观察矩阵 V 观察空间（相机空间） ↓ 投影矩阵 P 裁剪空间 ↓ 透视除法 标准化设备坐标 NDC ↓ 视口变换 屏幕坐标

采用列向量约定时：

pclip=PVMplocalp_{clip}=PVMp_{local}pclip​=PVMplocal​

可以把三个矩阵的工作理解为：

相机转头主要改变 V，调整 FOV 主要改变 P。

二、透视投影：为什么远处的敌人更小？

这是 3D 游戏最常见的投影方式。

想象两名身高相同的敌人：

敌人 A：距离相机 5 米 敌人 B：距离相机 20 米

敌人 B 的投影高度大约是 A 的四分之一，前提是比较条件相同、都位于相近观察方向。

核心原理：相似三角形

为了便于理解，先约定相机朝 (+Z) 方向观察，投影平面距离相机为 (f)。

空间点为：

(x,y,z)

它在投影平面的位置满足：

x′=fxzx'=\frac{fx}{z}x′=zfx​

y′=fyzy'=\frac{fy}{z}y′=zfy​

最重要的是：

屏幕上的投影大小，与距离近似成反比。

例如一个物体的高度为 (h)，投影高度就是：

h′=fhzh'=\frac{fh}{z}h′=zfh​

这便是“近大远小”的来源。

不过，矩阵乘法本身不能直接完成“除以一个会变化的 (z)”。因此还需要一个关键机制：齐次坐标与透视除法。

三、投影矩阵的魔法：先构造 w，再做除法

三维点通常写成四维齐次形式：

p=[xyz1]p= \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}p=​xyz1​​

经过投影矩阵后，得到：

pclip=[xcyczcwc]p_{clip}= \begin{bmatrix} x_c\\y_c\\z_c\\w_c \end{bmatrix}pclip​=​xc​yc​zc​wc​​​

随后执行透视除法：

xndc=xcwcx_{ndc}=\frac{x_c}{w_c}xndc​=wc​xc​​

yndc=ycwcy_{ndc}=\frac{y_c}{w_c}yndc​=wc​yc​​

zndc=zcwcz_{ndc}=\frac{z_c}{w_c}zndc​=wc​zc​​

透视投影会让wcw_cwc​与观察空间深度相关，从而产生“除以距离”的效果。

所以严格来说：

近大远小不是投影矩阵单独完成的，而是投影变换与透视除法共同产生的。

裁剪则依据齐次裁剪坐标进行，在透视除法之前处理视野边界等情况。

四、一个典型的透视投影矩阵

不同图形 API 和引擎的坐标约定不同，矩阵形式也会不同。

下面采用一组明确约定：

• 列向量；
• 右手观察空间；
• 相机朝 (-Z) 方向；
• NDC 深度范围为 ([-1,1])；
• 近、远裁剪距离分别为 (n)、(F)，且 (0<n<F)。

透视投影矩阵可以写成：

P=[sa0000s0000−F+nF−n−2FnF−n00−10]P= \begin{bmatrix} \frac{s}{a}&0&0&0\\ 0&s&0&0\\ 0&0&-\frac{F+n}{F-n}&-\frac{2Fn}{F-n}\\ 0&0&-1&0 \end{bmatrix}P=​as​000​0s00​00−F−nF+n​−1​00−F−n2Fn​0​​

其中：

[
s=\frac{1}{\tan(\theta/2)}
]

• θ\thetaθ：垂直视场角，也就是垂直 FOV；
• (a)：画面宽高比；
• (n)：近裁剪距离；
• (F)：远裁剪距离。

相乘后：

wc=−zw_c=-zwc​=−z

于是：

xndc=sxa(−z)x_{ndc}=\frac{sx}{a(-z)}xndc​=a(−z)sx​

yndc=sy−zy_{ndc}=\frac{sy}{-z}yndc​=−zsy​

由于相机前方的点满足 (z<0)，这里的 (-z) 就对应正的前向深度。

不必死记整张矩阵，重点理解：

前两行：控制视野宽度和高度 第三行：映射深度 第四行：为透视除法构造 w

五、放进游戏里：四个参数影响什么？

1. FOV：看到更多，还是看得更大？

当 FOV 增大时：

可见范围更宽 同一物体在屏幕中更小 边缘的透视拉伸更明显

当 FOV 减小时：

可见范围更窄 同一物体在屏幕中更大

在 FPS 游戏中，开镜常通过减小 FOV 实现视觉放大；有些游戏则采用单独的瞄准镜相机或渲染方案。

需要区分：

• 缩小 FOV：相机位置不变，改变取景范围；
• 相机向前移动：观察位置改变，会产生视差和不同的遮挡关系。

两者不完全等价。

2. 宽高比：为什么宽屏能看到更多？

设垂直 FOV 固定：

a=widthheighta=\frac{width}{height}a=heightwidth​

画面越宽，通常能够看到更多横向内容。

水平 FOV 与垂直 FOV 的关系为：

tan⁡(θh2)\tan\left(\frac{\theta_h}{2}\right)tan(2θh​​)

atan⁡(θv2)a\tan\left(\frac{\theta_v}{2}\right)atan(2θv​​)

所以，在竞技游戏中，屏幕适配不仅是 UI 问题，还涉及：

超宽屏是否应该获得更大的横向视野？

这取决于游戏采用固定垂直 FOV、固定水平 FOV，还是其他裁切策略。

3. Near：为什么靠近墙壁时会被切掉？

近裁剪面以前的几何部分不会正常进入可见范围。

例如：

Near = 0.3 米 武器部分顶点距离相机只有 0.1 米

武器就可能被近裁剪面切掉。

FPS 游戏常使用独立武器相机或单独渲染策略处理这个问题。

但也不能无脑把 Near 调得极小，因为它还会影响深度精度。

4. Far：远处能画到哪里？

远裁剪面限制可见深度范围。

但需要注意：

增大 Far，不意味着 GPU 一定会绘制范围内的所有物体。

引擎还可能结合视锥剔除、遮挡剔除、LOD 和距离剔除等机制减少开销。

六、为什么远处的地面会闪烁？深度精度问题

透视投影后的深度，通常不是对距离做线性映射。

从矩阵可以推导出类似形式：

zndc=A+Bzz_{ndc}=A+\frac{B}{z}zndc​=A+zB​

这意味着深度值的分布与 (1/z) 有关。

在常规深度映射和有限精度深度缓冲下，距离很远的两个表面可能获得非常接近的深度值，难以稳定区分前后。

于是出现：

一帧显示表面 A 下一帧又显示表面 B

这就是常说的Z-fighting。

常见处理方法

• 不把 Near 设置得过小；
• 合理设置 Far；
• 避免几乎重合的表面；
• 按场景需要使用深度偏移；
• 在支持的渲染方案中采用反向 Z。

**反向 Z 配合浮点深度缓冲，可以显著改善深度精度。**因此，分析深度问题时，要先确认项目实际使用的深度约定。

七、正交投影：为什么远处的角色不变小？

正交投影没有“除以观察深度”导致的缩放。

可以直观理解为：

x′=kxx+bxx'=k_xx+b_xx′=kx​x+bx​

y′=kyy+byy'=k_yy+b_yy′=ky​y+by​

同样大小的物体，无论前后距离如何变化，投影尺寸都保持一致。

正交相机仍然存在深度，也仍然需要处理遮挡和裁剪。

另外：

等距视角不只是使用正交投影，还需要配合特定的相机朝向。

八、Unity 中怎么对应？

常见设置：

Cameracam=GetComponent<Camera>();cam.orthographic=false;cam.fieldOfView=60f;cam.nearClipPlane=0.3f;cam.farClipPlane=1000f;

正交模式：

cam.orthographic=true;cam.orthographicSize=5f;

orthographicSize表示垂直可视范围的一半，因此这里的垂直范围约为 10 个世界单位。

如果需要检查矩阵：

Matrix4x4view=cam.worldToCameraMatrix;Matrix4x4projection=cam.projectionMatrix;

但在直接向 GPU 或自定义渲染流程传递投影矩阵时，要注意平台差异：

Matrix4x4gpuProjection=GL.GetGPUProjectionMatrix(cam.projectionMatrix,renderIntoTexture);

这里的renderIntoTexture应与实际渲染目标匹配。使用 SRP 时，还应优先遵循所在渲染管线的矩阵和 Shader 约定。

不要直接把某本教材中的矩阵复制进所有 Unity 平台，因为深度范围、反向 Z 和渲染目标方向等约定可能不同。

总结

从游戏角度理解投影矩阵，可以记住三句话：

1. 观察矩阵决定“从哪里看”，投影矩阵决定“怎样看”。
2. 透视投影通过构造 w，再进行透视除法，实现近大远小。
3. FOV、宽高比和裁剪面，不仅影响画面，也影响玩法公平性、显示效果与深度精度。

它并不是简单地“丢掉 Z 轴”，而是：

把三维世界转换成可裁剪、可映射到屏幕，同时保留深度关系的表达。