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简介：这份华南理工大学信号与系统实验报告四，面向电子信息、通信工程等专业学生及信号处理初学者，聚焦时域抽样定理与频域抽样定理的验证与理解。报告围绕抽样频率对信号重构的影响、幅度调制信号频率特性、信号抽样与重建、频域抽样与时域混叠四个实验展开，结合代码与波形图分析奈奎斯特采样定理的工程意义，并附有实验思考题与感想，可帮助读者掌握离散化过程的数学与物理概念。资源包共1个doc文件，约276KB，内容为完整实验报告文档，便于直接查阅与参考。目前已有728人学习下载，适合需要完成同类实验、复习抽样定理或准备信号处理课程考核的读者对照使用。

1. 信号与系统实验四：从“波形能画出来”到“参数能讲清楚”

很多同学做信号与系统实验，卡在实验四这一步：前面几个实验还能照着步骤连一连、点一点，到了实验四，突然要求你对采样、卷积、频谱这些概念给出定量解释，波形是画出来了，但一问“为什么这个参数下波形长这样”，就答不上来。这个实验的核心，其实是把“信号与系统”从纸面公式拉到可运行的仿真环境里，用离散采样去逼近连续信号，再用卷积和频谱去验证系统特性。它适合正在上这门课、需要交实验报告，但不想只抄步骤、想真正搞懂参数含义的本科生。我当年做这个实验时，第一次跑出混叠波形还以为是代码写错了，后来才发现是采样率设成了信号最高频率的两倍以下——这个坑，后面会细说。

2. 实验四到底在仿真什么：采样、卷积与频谱的三条主线

2.1 为什么实验四总绕不开“采样率”这个参数

信号与系统实验四通常不会只让你画一个正弦波，而是要求你观察连续信号经过采样后，在离散域里发生了什么。这里最关键的参数就是采样频率 ( f_s )。常见做法是：先定义一个连续时间信号，比如 ( x(t)=\sin(2\pi f_0 t) )，然后以 ( f_s ) 对它采样，得到离散序列 ( x[n]=x(nT_s) )，其中 ( T_s=1/f_s )。

如果你把 ( f_s ) 设得比 ( 2f_0 ) 小，就会看到混叠：原本高频的正弦，在离散序列里看起来像低频。这不是代码 bug，而是采样定理的直接结果。实验四往往要求你分别取 ( f_s > 2f_0 )、( f_s = 2f_0 )、( f_s < 2f_0 ) 三组参数，画出离散序列并比较。很多报告只贴三张图，却不解释为什么 ( f_s = 2f_0 ) 时波形也不理想——因为临界采样对相位和重建滤波器要求极高，实际仿真里稍微偏移一点，重建就会失真。

我一般会建议在实验报告里加一张表，把三组参数下的“观察到的频率”和“理论频率”列出来，这样老师一眼就能看出你理解了混叠。表格比堆图更有说服力。

2.2 离散卷积：从公式到可运行代码的最小闭环

实验四的另一条主线是卷积。连续卷积 ( y(t)=x(t)*h(t) ) 在仿真里通常转成离散卷积 ( y[n]=x[n]*h[n] )。这里最容易翻车的地方是：很多同学直接调用conv函数，但忘了卷积结果的长度是 ( N+M-1 )，画图时时间轴对不上，导致波形“漂移”。

一个可复现的最小闭环是这样的：先定义输入序列 ( x[n] ) 和系统冲激响应 ( h[n] )，用conv得到 ( y[n] )，然后构造正确的离散时间轴。下面这段 Python 代码可以直接抄作业：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义离散时间轴，n 从 0 到 19 n = np.arange(0, 20) # 输入信号：指数衰减序列 x = np.exp(-0.3 * n) # 系统冲激响应：长度为 5 的矩形窗 h = np.ones(5) # 离散卷积，结果长度为 len(x)+len(h)-1 y = np.convolve(x, h, mode='full') # 构造卷积结果对应的时间轴 n_y = np.arange(0, len(y)) plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.subplot(3, 1, 1) plt.stem(n, x, basefmt=" ") plt.title('输入序列 x[n]') plt.subplot(3, 1, 2) plt.stem(np.arange(len(h)), h, basefmt=" ") plt.title('冲激响应 h[n]') plt.subplot(3, 1, 3) plt.stem(n_y, y, basefmt=" ") plt.title('卷积结果 y[n]') plt.tight_layout() plt.show()

这段代码的逻辑说明：np.convolve的mode='full'返回完整卷积，长度是 ( N+M-1 )。参数说明：x的长度是 20，h的长度是 5，所以y的长度是 24。如果你用mode='same'，长度会变成 20，但那是为了对齐中心，实验报告里通常要求完整卷积，所以用full。时间轴n_y必须从 0 开始，长度与y一致，否则stem画出来会错位。

2.3 频谱分析：FFT 之后横轴到底怎么标

实验四通常还会要求你对信号做频谱分析。很多同学用fft算完，直接plot(abs(Y))，结果横轴是 0 到 ( N-1 )，完全看不出频率成分。正确的做法是构造频率轴：( f_k = k \cdot f_s / N )，其中 ( k=0,1,\dots,N-1 )。如果只看正频率，就取前 ( N/2 ) 个点。

这里有个血泪经验：如果信号不是整周期采样，频谱会泄漏，原本一根谱线会散开。实验报告里如果要求“观察频谱”，最好让信号长度是周期的整数倍，或者加窗。但加窗会改变幅度，所以要在报告里说明你用了什么窗、为什么用。

常见做法是：先算Y = np.fft.fft(x)，再算f = np.fft.fftfreq(len(x), d=1/fs)，然后只画f[:len(x)//2]和abs(Y[:len(x)//2])。这样横轴就是真实的 Hz，而不是样本序号。

3. 用 Python 把实验四跑通：从信号生成到频谱验证

3.1 环境准备与最小依赖

实验四不需要复杂的工具箱，Python 里numpy和matplotlib就够了。如果你用的是某高校实验室的机房环境，可能预装了 Anaconda，直接开 Jupyter Notebook 就能跑。我一般会建议新建一个干净的虚拟环境，避免版本冲突：

python -m venv sigsys_env source sigsys_env/bin/activate # Windows 下用 sigsys_env\Scripts\activate pip install numpy matplotlib

这段命令的作用是创建独立环境并安装两个核心库。参数说明：venv是 Python 标准库自带的虚拟环境模块，source在 Windows 下换成对应激活脚本。如果你不想折腾环境，直接用系统 Python 也行，但要注意numpy版本最好在 1.20 以上，避免fft接口差异。

3.2 采样与混叠的完整仿真脚本

下面这个脚本把采样、混叠、频谱放在一起，你可以直接改参数观察变化：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 连续信号频率 f0 = 5 # Hz # 三组采样频率 fs_list = [50, 10, 8] # 分别对应过采样、临界、欠采样 t_continuous = np.linspace(0, 1, 1000) plt.figure(figsize=(12, 8)) for i, fs in enumerate(fs_list): # 离散采样 n = np.arange(0, int(fs * 1)) # 1 秒内的样本 x_n = np.sin(2 * np.pi * f0 * n / fs) # 连续信号用于对比 x_c = np.sin(2 * np.pi * f0 * t_continuous) plt.subplot(3, 2, 2*i+1) plt.plot(t_continuous, x_c, 'b', label='连续信号') plt.stem(n/fs, x_n, 'r', basefmt=" ", label='采样点') plt.title(f'fs={fs} Hz, f0={f0} Hz') plt.legend() # 频谱 X = np.fft.fft(x_n) f = np.fft.fftfreq(len(x_n), d=1/fs) plt.subplot(3, 2, 2*i+2) plt.stem(f[:len(f)//2], np.abs(X[:len(f)//2]), basefmt=" ") plt.title(f'幅度谱 fs={fs} Hz') plt.xlabel('频率 (Hz)') plt.tight_layout() plt.show()

逻辑说明：第一组fs=50远大于2*f0=10，采样点能还原正弦；第二组fs=10刚好等于 ( 2f_0 )，采样点落在零点附近，重建困难；第三组fs=8小于 ( 2f_0 )，频谱里会出现一个虚假的低频峰，这就是混叠。参数说明：f0是信号频率，fs_list是三组采样率，n是样本索引，n/fs把样本索引转成时间。频谱只画了前半段，因为实信号的频谱对称。

3.3 卷积验证：系统冲激响应与输出波形

实验四经常要求你验证“系统对输入信号的响应等于卷积”。你可以构造一个简单的低通滤波器作为系统，比如滑动平均：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 输入信号：两个不同频率正弦叠加 n = np.arange(0, 100) x = np.sin(0.1 * n) + 0.5 * np.sin(0.8 * n) # 系统：长度为 10 的滑动平均 h = np.ones(10) / 10 # 卷积 y = np.convolve(x, h, mode='full') n_y = np.arange(0, len(y)) plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.subplot(3, 1, 1) plt.stem(n, x, basefmt=" ") plt.title('输入信号 x[n]') plt.subplot(3, 1, 2) plt.stem(np.arange(len(h)), h, basefmt=" ") plt.title('系统冲激响应 h[n]') plt.subplot(3, 1, 3) plt.stem(n_y, y, basefmt=" ") plt.title('输出 y[n] = x[n] * h[n]') plt.tight_layout() plt.show()

逻辑说明：滑动平均是一个低通系统，高频成分会被削弱。你可以对比输入和输出的频谱，会发现0.8那个频率的幅度明显下降。参数说明：h的长度决定了平滑程度，长度越大，截止频率越低。注意mode='full'导致输出比输入长，这是离散卷积的固有特性。

4. 实验四避坑指南：五个让报告被退回的细节

4.1 现象：采样率设成信号频率的两倍，波形还是不对

原因：临界采样在理论上要求重建滤波器是理想低通，实际仿真里用stem画点，相位稍微偏移就会让样本落在零点附近。解决：实验报告里不要只写“满足采样定理”，要说明临界采样在实际离散仿真中的局限性，建议取 ( f_s \geq 5f_0 ) 作为过采样观察。

4.2 现象：卷积结果长度和输入对不上，画图错位

原因：np.convolve默认mode='full'，输出长度是 ( N+M-1 )，但很多同学直接用输入的时间轴去画输出。解决：单独构造输出时间轴n_y = np.arange(0, len(y))，或者用mode='same'并明确说明你做了截断。

4.3 现象：FFT 频谱横轴是样本序号，不是频率

原因：直接plot(abs(fft(x)))没有构造频率轴。解决：用np.fft.fftfreq(N, d=1/fs)生成频率轴，只取前半段画正频率。注意d是采样间隔，不是采样率。

4.4 现象：频谱泄漏导致谱线散开，被误认为噪声

原因：信号长度不是周期的整数倍，FFT 默认认为信号是周期的，边界不连续就会泄漏。解决：调整信号长度使其包含整数个周期，或者加汉宁窗并说明窗函数对幅度的影响。

4.5 现象：实验报告里参数写了一大堆，但没说为什么选这些值

原因：只抄了代码里的数字，没有解释物理意义。解决：每个参数后面加一句“因为……所以取……”，比如“因为信号最高频率是 5 Hz，为了满足采样定理并留有余量，取 ( f_s=50 ) Hz”。

5. 让实验四从“能跑”到“能讲”：一个验证习惯和一条进阶技巧

做完实验四，最怕的是老师问“你这个频谱里为什么有个小峰”。我自己的习惯是：每画一张图，先自己问三个问题——横轴物理量是什么、纵轴物理量是什么、这个形状对应什么数学性质。比如频谱里出现一个小峰，先检查是不是混叠，再检查是不是泄漏，最后检查是不是窗函数旁瓣。这个习惯让我在实验报告里少写了很多“玄学”解释。

进阶技巧是：用scipy.signal里的freqz直接画系统频率响应，和 FFT 结果对照。比如滑动平均系统的频率响应可以用freqz(h)得到，横轴是归一化频率。你可以把freqz的曲线和输入输出频谱叠在一起，验证低通特性。这样报告里就不只是“我算了卷积”，而是“我验证了系统在频域的行为”。

from scipy import signal import matplotlib.pyplot as plt h = [1/10] * 10 w, H = signal.freqz(h) plt.plot(w / np.pi, 20 * np.log10(np.abs(H))) plt.title('滑动平均系统频率响应') plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)') plt.ylabel('幅度 (dB)') plt.grid() plt.show()

这段代码用freqz计算系统频率响应，w是归一化角频率，H是复频响。参数说明：h是系统系数，w/np.pi把横轴转成以 π 为单位。你可以看到滑动平均在低频增益接近 0 dB，高频衰减，这就是它作为低通滤波器的证据。

最后说一句：实验四的代码可以复制，但参数背后的“为什么”复制不了。我当年就是靠把每个参数都问一遍“如果改成别的会怎样”，才真正把采样、卷积、频谱串起来。希望帮到你。

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