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标准乌鸦搜索算法是我非常喜欢讲给新同学听的元启发式算法之一，因为它的生物故事门槛极低：乌鸦会记住自己藏食物的位置，也会偷偷观察别的乌鸦把食物藏在哪，然后找机会下手。2016年这个行为被建模成一套数学寻优流程，也就是Crow Search Algorithm，参数少、逻辑直观、动手实现一把就能跑通。但真把它放到高维基准函数上跑上几百代，问题也会很快暴露：搜索方向被均匀随机乘子搅得发飘，后期陷入局部振荡。相关研究者在文献[1]中提出给乌鸦的飞行路径加一个“正弦余弦指引”项，也就是正弦余弦指引的乌鸦搜索算法，以下我简称SC-CSA。这篇笔记我从原理、公式、Matlab实现、实测数据到调参踩坑完整复盘一遍，你完全可以当成一份能直接抄代码、顺带弄懂为什么要这样改的实战记录。

1. 先搞懂乌鸦搜索算法：藏食、偷窃和反制

1.1 乌鸦的“藏食-偷窥-反制”如何映射成寻优流程

乌鸦搜索算法的生物原型，简单说就是乌鸦群里的“偷饭贼”博弈。每只乌鸦会把多余的食物藏在某个位置，并且记住这个位置。问题是，乌鸦之间互相不信任——总有乌鸦会跟着别人，观察对方把食物放在哪，等人家离开后再去偷。而被跟踪的乌鸦也不是吃素的，一旦发现自己被盯上，就会故意飞到另一个随机位置，把跟踪者甩开。

把这个行为翻译成优化算法，映射关系非常直接：

• 每只乌鸦 = 一个候选解，N只乌鸦组成一个种群；
• 乌鸦的位置向量 = 解向量x；
• 乌鸦的记忆M = 个体历史最优解，也就是它记忆里的“藏食点”；
• 每次迭代中，乌鸦i随机挑一只乌鸦j作为“被偷窥对象”，类似粒子群中向某个精英解学习，但选择是随机轮换的；
• 如果没有被发现，乌鸦i就朝j的记忆位置靠近，靠近幅度由飞行步长fl控制；
• 如果被发现（以感知概率AP判断），乌鸦i就跳到搜索空间里的随机位置。

这套机制很有意思。它和粒子群最大的区别在于信息传导路径是“随机单点连接”，而不是每个个体都同时向“历史最优+全局最优”两个方向学习。随机选择目标，让种群的信息交换更分散，前期不容易一股脑涌向同一个局部极值；但也正因为如此，后期收敛动力不足，需要额外引导。

1.2 标准CSA的两个核心公式

标准CSA的位置更新分两个分支。

未被发现时：

X_i^(t+1) = X_i^t + r * fl * (M_j^t - X_i^t)

其中r是[0,1]均匀随机数，fl是飞行步长，M_j是被跟踪乌鸦当前记忆中的藏食位置。

被发现时：

X_i^(t+1) = 在搜索空间中随机生成的新位置

关键参数就两个半：

你看，标准CSA的主体更新项其实就是“当前位置到某个记忆点的差分向量”，再乘一个随机数和固定步长。这和粒子群的速度更新有相似之处，但没有速度惯性，也没有全局最优牵引。整个算法最核心的收敛压力来自一个个随机被选中的记忆点。

1.3 标准算法的三个短板

跑过几十个基准函数之后，你会发现标准CSA有几个肉眼可见的问题。

第一，方向跟随性差。位置更新永远是一条直线段，从当前位置指向某个乌鸦的记忆点。如果这条直线路上刚好是局部极值的“山脊”，个体就直接撞进去了。没有弧线路径，也就缺少绕过陷阱的机会。可以理解成你手里只有指南针，走路永远直着走，不会绕弯。

第二，后期多样性崩塌。当大部分乌鸦的记忆都收敛到同一片区域后，随机选记忆点的意义就变小了——大家记忆都差不多，更新项变成小范围抖动，种群多样性快速下降，算法很难再跳到更远的地方寻找全局最优。

第三，随机乘子r没有随时间衰减。r在整个搜索过程中始终是[0,1]均匀分布，后期个体在最优解附近时，这一步长并没有自动缩小到足够精细的程度。直接后果就是末端收敛精度不高，曲线看着像在原地振荡。

这三个短板，正好是后面正弦余弦指引要解决的主要目标。

2. 正弦余弦指引到底改了什么：数学机制与改进思路

2.1 正弦余弦算法的“方向盘”思路

要理解SC-CSA，得先认识正弦余弦算法（SCA）的基础更新机制。SCA在2016年前后被提出，它最核心的更新公式是：

X_i^(t+1) = X_i^t + r1 * sin(r2) * |r3 * P - X_i^t|，当r4 < 0.5时

X_i^(t+1) = X_i^t + r1 * cos(r2) * |r3 * P - X_i^t|，当r4 >= 0.5时

这里P是当前目标位置，r1是一个随迭代线性下降的幅度控制参数（比如从2降到0），r2是随机角度，r3是距离权重，r4决定用sin还是cos。

sin和cos在这里不是摆样子，它们的作用是给“向目标移动”这个过程加一个可控的偏转。你可以想象成开车时方向盘始终指向目的地，但每隔一段距离就打一下方向盘，让车辆走一条蛇形路线。sin/cos的周期性振荡，让新解可以出现在目标点周围的不同方向和不同距离上，既保留了“向目标靠近”的大方向，又允许搜索路径偏离直线，去扫过目标点附近的其它区域。

r1随迭代从2线性降到0，是这套机制的灵魂。前期r1大，新解可以大幅偏离目标点，对应全局探索；后期r1小，偏转幅度收窄，对应精细开发。这个“大刹车慢慢踩”的策略，正好补上标准CSA里随机乘子不衰减的缺陷。

2.2 SC-CSA的融合公式

文献[1]中研究者把正弦余弦机制引入乌鸦搜索算法时，并不是简单地拿sin/cos替换全部随机项。更合理的做法（也是我复现时的做法）是保留CSA原有的飞行步长项，同时把sin/cos作为额外指引项叠加上去。

未被发现时：

X_i^(t+1) = X_i^t + fl * r * (M_j^t - X_i^t) + sc_term

其中：

sc_term = r1 * sin(r2) .* |r3 .* M_j^t - X_i^t|（r4 < 0.5）

sc_term = r1 * cos(r2) .* |r3 .* M_j^t - X_i^t|（r4 >= 0.5）

这里有两个细节值得注意。一是sc_term中的参考点依然是M_j，也就是被跟踪乌鸦的记忆位置，而不是全局最优。这保留了CSA“随机选对象跟随”的特征，让每个个体在不同迭代中追随不同记忆点，种群多样性不会因为统一指向全局最优而崩溃。

二是绝对值符号的作用。|r3 .* M_j - X_i| 先算出当前位置到参考点的距离量，然后由sin/cos决定这个距离量是正向叠加还是反向叠加。符号翻转让个体既能靠近参考点，也能暂时远离它，配合r1的递减包络，形成一种“螺旋扫描式”的收敛路径。如果只有fl那一项，轨迹是一段直线；叠加sc_term后，轨迹变成锯齿螺旋，既能围绕目标搜索，又不容易一头撞上局部陷阱。

2.3 为什么sin/cos能改善收敛路径

说个直观的二维例子。假设当前个体在坐标(5,5)，被跟踪乌鸦的记忆在(1,1)。标准CSA每次生成的r是一个标量或逐维随机数，位置只能沿(5,5)到(1,1)这条直线附近变化，即使r在不同维度取值不同，整体方向还是被锁定在这条线上。

加入sc_term之后，sin(r2)和cos(r2)会把位置往垂直于直线的方向推开一段距离。随着r2随机变化，每代新位置会在目标点周围形成类似花瓣的散布效果。r1还随迭代越来越小，前期花瓣半径大，后期花瓣收拢成一小片精细扫描区。这对多峰函数尤其友好，因为在目标点附近可能存在多个“山包”，直线路线只能看到一个方向，而花瓣式扫描能覆盖多个方向。

2.4 幅度参数a的选择经验

r1 = a - t * (a / T)，t是当前迭代，T是总迭代，a是起始幅度。a取2最均衡，这是我从标准SCA经验直接搬过来的，也最不容易出问题。a取3时前期扰动非常大，全局探索能力更强，但如果总迭代次数只有200到300，后期压缩时间不够，最终精度反而会下降。a取1时sin/cos指引幅度减半，改进效果跟标准CSA差距不大，基本属于“加了等于没加”。

在文献[1]的实现和我们自己的复现中，线性递减已经够用。虽然也有人用余弦递减或分段递减，但在乌鸦算法里，sin/cos项本身已经提供了非线性扫描，包络曲线再做得花哨，收益并不明显，反而多引入一个需要调的超参数。

3. Matlab代码逐段实现：从初始化到寻优主循环

3.1 主函数框架与参数设置

下面是我复现SC-CSA时使用的完整Matlab代码，函数名我取为sccsa，可以直接存成sccsa.m使用。

function [best_x, best_f, conv_curve] = sccsa(N, T, lb, ub, dim, fobj) % 正弦余弦指引的乌鸦搜索算法（SC-CSA） % 输入： % N - 乌鸦种群数量 % T - 最大迭代次数 % lb - 下界，标量或1×dim行向量 % ub - 上界，标量或1×dim行向量 % dim - 解维度 % fobj - 适应度函数句柄，例如 @(x) sum(x.^2) % 输出： % best_x - 历史最优解 % best_f - 历史最优适应度 % conv_curve - 每代最优适应度记录，用于画收敛曲线 % 防御性处理：把边界统一成行向量 lb = lb(:)'; ub = ub(:)'; % 初始化位置与记忆 X = rand(N, dim) .* (ub - lb) + lb; M = X; % 记忆中藏食位置，初始等于当前位置 % 计算初始适应度 fit = zeros(N, 1); for i = 1:N fit(i) = fobj(X(i, :)); end [best_f, idx] = min(fit); best_x = X(idx, :); conv_curve = zeros(1, T); % 超参数 AP = 0.1; % 感知概率 fl = 2.0; % 飞行步长 a = 2.0; % 正弦余弦指引的起始幅度 for t = 1:T r1 = a - t * (a / T); % 幅度包络线性递减到0 if r1 < 0 r1 = 0; end for i = 1:N % 随机选择被偷窥的乌鸦j，避免选择自己 if N > 1 j = randi(N - 1); if j >= i j = j + 1; end else j = i; % 种群为1时只能原地更新，实际使用建议N>=2 end if rand() < AP % 被发现：乌鸦i跳到随机位置 X(i, :) = lb + rand(1, dim) .* (ub - lb); else % 未被发现：沿记忆方向移动，同时叠加正弦余弦指引 r = rand(1, dim); step_fl = fl .* r .* (M(j, :) - X(i, :)); r2 = 2 * pi * rand(1, dim); % 随机角度 r3 = 2 * rand(1, dim); % 距离权重 r4 = rand(1, dim); % sin/cos选择 dist = abs(r3 .* M(j, :) - X(i, :)); sc_move = zeros(1, dim); use_sin = r4 < 0.5; sc_move(use_sin) = r1 .* sin(r2(use_sin)) .* dist(use_sin); sc_move(~use_sin) = r1 .* cos(r2(~use_sin)) .* dist(~use_sin); X(i, :) = X(i, :) + step_fl + sc_move; end end % 边界截断 X = max(X, lb); X = min(X, ub); % 适应度计算与记忆更新（贪心策略） for i = 1:N fi = fobj(X(i, :)); if fi < fit(i) fit(i) = fi; M(i, :) = X(i, :); end end % 更新全局最优 [cur_best, cb_idx] = min(fit); if cur_best < best_f best_f = cur_best; best_x = M(cb_idx, :); end conv_curve(t) = best_f; end end

代码里我特意在初始化前加了lb和ub的行向量化处理，这个问题放在后面第5章细讲。其它部分尽量保持简洁，让公式和代码一一对应。

3.2 位置更新分支的设计逻辑

代码里最关键的是未被发现分支。step_fl是标准CSA的原始步长项，负责快速接近被跟踪乌鸦的记忆位置；sc_move是正弦余弦指引项，负责在该方向周围制造偏转扫描。两项叠加起来，效果才是“方向跟随+邻域扫描”而不是简单的两者替换。

很多论文里的改进算法容易犯一个毛病：把原算法的随机项删掉，换成一个新项，结果新项在部分函数上表现好，在另一些函数上反而更差。SC-CSA保留fl项是有道理的。fl项保证了算法的基本收敛速度，sc_move则负责修正方向、避免陷入局部极值。你可以把sc_move理解成一个“修正项”，而不是“替代项”。

3.3 记忆更新顺序的讲究

注意我这段代码里，所有乌鸦的位置更新完之后，统一循环计算适应度，再统一更新记忆。这个过程比较讲究。有个常见错误是：边更新第i只乌鸦，边立刻把它的新位置和新适应度写进M和fit，然后让后面的乌鸦去偷看更新后的记忆。

这种写法会让第i只乌鸦这次的飞行结果马上影响其它个体的方向选择，等于是人为加速了信息传播。表面上收敛很快，但很容易让种群过早抱团，最终精度反而变差。更重要的，它改变了标准CSA的算法语义。标准CSA中，每代所有乌鸦使用的是上一代结束时的记忆状态；即时更新会让“随机选择被跟踪对象”这个随机事件受到更新顺序的影响，很不公平。

3.4 测试脚本怎么写

单独一个主函数还不够，得配一个测试脚本。下面我以30维Rastrigin函数为例：

clc; clear; close all; fobj = @(x) sum(x.^2 - 10*cos(2*pi*x) + 10); dim = 30; lb = -5.12 * ones(1, dim); ub = 5.12 * ones(1, dim); N = 30; T = 500; [best_x, best_f, conv_curve] = sccsa(N, T, lb, ub, dim, fobj); figure; semilogy(conv_curve + eps, 'LineWidth', 1.5); xlabel('迭代次数'); ylabel('最优适应度'); title('SC-CSA收敛曲线');

这里有个绘图小技巧：当函数理论最优为0时，收敛曲线后期会接近0，直接用semilogy会报警告，因为log(0)无定义。给曲线加上一个eps再画，问题就解决了。另外，如果你想把Rastrigin换成Sphere，只需要改一行目标函数：

fobj = @(x) sum(x.^2);

对应的搜索范围改成[-100, 100]即可。

4. 基准函数实测：收敛精度、稳定性与参数敏感性

4.1 测试条件

我在本地Matlab R2021a环境上跑了一轮对比实验，比较对象是标准CSA与SC-CSA。二者共享同一套超参数：N=30，T=500，维度取30，独立运行30次统计均值和标准差。标准CSA的AP=0.1，fl=2.0；SC-CSA的AP和fl相同，a=2。

测试函数选择了五个常用基准：

其中d是维度，x_i表示第i维分量。

4.2 典型结果对比

由于启发式算法随机性很强，直接给绝对数值意义不大，下面这组数据来自我本地一组代表性运行结果，重点关注标准CSA与SC-CSA之间的相对差异。

从趋势上看，SC-CSA在五个函数上都压过了标准CSA。改善最明显的是Ackley和Sphere，尤其是Ackley这种多峰且地形复杂的函数，标准CSA很容易卡在局部陷阱，SC-CSA因为sin/cos项持续提供不同方向的扫描机会，跳出局部极值的概率更大。Rastrigin这种“谷底密布”的函数，SC-CSA的绝对结果也不理想，但相对标准CSA已经有了接近一半的提升，说明方向指引确实在起作用。

需要说明的是，不同机器、不同Matlab版本、不同随机种子都会让数值产生波动。如果你想在自己环境里复现，建议把T提到1000，情况会更稳定一些。

4.3 收敛曲线形态

画出来最有意思的是Sphere和Rastrigin两条曲线。

在Sphere上，标准CSA前100代下降很快，因为初始解离全局最优远，沿记忆差分向量移动的效率很高；但200代之后曲线就明显变平，进入一个比较长的抖动平台。SC-CSA前期下降速度略慢于标准CSA，原因是sc_move分走了一部分“推进力”，但200代之后它还在缓慢下降，最终精度高出标准CSA约两个数量级。

在Rastrigin上，标准CSA的曲线像台阶，降一段停一停，再降一段；SC-CSA的曲线则更平滑，而且后期经常出现突然下跳一小截的情况。这个“突然下跳”就是因为sc_term的幅度r1已经缩小，扰动半径变小，某个个体刚好滑进了一个比较深的谷底，随后整个种群通过记忆更新逐渐迁移过去。

4.4 参数敏感性：AP、fl、a的相互作用

如果你要拿这个算法去做实际项目，调参是一定绕不开的。我自己跑下来的经验列在这里。

AP的影响最直观。AP取0.05时，种群大部分时间都在互相跟踪，记忆点快速趋同，容易早熟；AP取0.3时，每代接近三分之一的个体直接随机重置，全局搜索能力强，但很多计算资源被浪费在无意义的跳变上。SC-CSA因为自带较强的探索能力，AP不需要调太大，0.1附近就很好。AP太大时，sin/cos指引项的价值会被随机重置淹没。

fl的影响同样不可忽视。fl在1.5到2.5之间比较合适。fl超过3时，标准CSA的step_fl项步长过大，个体频繁撞到边界并被截断，sc_move的偏转效果被压缩；fl小于1时，整个种群移动速度太慢，前期的全局探索不够充分。

a这个新参数反而比较好调。T在200到1000之间时，a=2基本通吃。只有当你把T压得很小（比如100代以内），才需要把a降到1.5左右，让算法优先保证收敛速度。

5. 实战踩坑与经验：让代码真正可靠落地

5.1 边界向量的维度匹配

这是我身边同学踩过最多的坑。很多人写初始化时直接用：

X = rand(N, dim) .* (ub - lb) + lb;

但是他们的lb和ub是从问题定义文件里读出来的，往往是一列列向量，也就是dim×1的形状。在Matlab R2016b以前，矩阵点乘列向量会报维度错误；在新版本里虽然支持隐式扩展，但结果可能是“按列广播”，生成的矩阵形状和你预期完全不一致，随后所有位置更新全部错乱。

解决办法很简单，在函数开头加两行：

lb = lb(:)'; ub = ub(:)';

把列向量强制转成行向量，后续所有维度的匹配就都安全了。我在第3章的代码里已经加了这两行，你直接用就行。

5.2 老版本Matlab的兼容问题

如果你的代码要发给别人用，对方的Matlab版本可能是R2016b之前的老版本。那时隐式扩展还不支持，rand(N,dim) .* (ub - lb)这种写法会报错。建议在代码注释里明确说明，或者用repmat做兼容：

X = rand(N, dim) .* repmat(ub - lb, N, 1) + repmat(lb, N, 1);

这样写虽然略啰嗦，但兼容性最好。如果只是自己学习，新版本直接写点乘即可。

5.3 适应度函数的向量化效率问题

SC-CSA的主循环里，每代要对N只乌鸦逐只调用fobj，整个搜索过程累计调用N×T次。测试用Sphere这种简单函数还好，但如果fobj内部是工程仿真模型，比如调用一套流体计算或结构仿真，逐只循环调用几千次，计算时间会非常恐怖。

一个可行的优化思路是：尽量让fobj接受一个维度为N×dim的矩阵，返回一个N×1的列向量，把批处理逻辑塞到函数内部。但现实中很多仿真代码没法直接批量处理。这时候我的建议是减少N和T中的一方，优先保证N在20以上、T在200以上，否则算法效果会打折扣。你也可以在fobj里加一个缓存机制，相邻两代位置变化不大的解直接复用上次的适应度值，能省不少时间。

5.4 边界截断后的适应度必须重新计算

代码里我在边界截断之后才统一计算适应度，这是有讲究的。如果你在位置更新时先算了一次适应度，再对X做截断，但fit数组没有同步更新，那么后续记忆更新和全局最优更新用的还是“截断前位置”的适应度。这个不一致会让算法维护的M中出现实际可能越界的解，后续乌鸦跟随这个越界记忆点，又会被截断回来，得到一连串失真信息。

解决思路很简单：先更新位置，再截断边界，最后统一算适应度。顺序不能乱。

5.5 公平对比实验的种子与初始化问题

做改进算法对比时，最怕的是把“随机性差异”当成“算法差异”。如果你先用标准CSA跑一次得到一个数，再用SC-CSA跑一次得到一个更好的数，这不能说明任何问题，因为第二次跑的初始种群可能天生就更好。

更公平的做法是固定同一个初始种群，让两个算法从完全相同的起点出发。比如提前生成一个初始种群：

rng(2023); X0 = rand(N, dim) .* (ub - lb) + lb;

然后把这个X0作为两个算法的初始位置传入。这样每次对比，起跑线一致，误差就只剩算法行为本身的差异了。如果再配合30次独立运行取均值±标准差，结论会扎实很多。

5.6 把正弦余弦指引迁移到其它算法的适用条件

最后分享一个延伸体会。绝对值距离加上sin/cos偏转，再套一个线性递减包络，这套思路并不局限于乌鸦搜索算法。我也试过把它加到粒子群的速度更新上，相当于在速度项外再叠加一个方向偏转项，在几个测试函数上确实有一定提升；但加到天牛须搜索上反而变差，因为天牛须搜索的更新机制依赖左右触须的差异判断，本身已经带有方向性，额外叠加全局扫描反而干扰判断。

所以你在自己的项目里要不要加这个指引项，先看原算法的更新主链是什么形状。如果主链是“沿着某个精英个体方向单向移动”，sin/cos指引容易加分；如果原算法已经包含大量随机扰动，再加这个指引反而稀释原有的搜索行为。这个判断，比直接抄代码更重要。