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把全书知识串起来的第一个实战项目：用 Eigen 做最小二乘直线拟合。这是数据科学、机器学习的入门基础，也是 Eigen 的典型应用。

36.1 问题：拟合一条直线

假设你有一批实验数据点 (x, y)：

(0, 1.1), (1, 3.0), (2, 5.2), (3, 6.9), (4, 9.1), (5, 11.0)

它们大致落在一条直线上，但有点噪声。你想找一条直线y = ax + b最好地"拟合"这些点。

最小二乘的思想：找 a、b，使得所有点到直线的误差平方和最小。

36.2 数学原理：正规方程

把问题写成矩阵形式。对每个点 (xᵢ, yᵢ)，有：

a·xᵢ + b = yᵢ

n 个点就是 n 个方程，写成矩阵：

[ x₁ 1 ] [ y₁ ] [ x₂ 1 ] [ a ] [ y₂ ] [ ... ] [ b ] = [ ...] [ xₙ 1 ] [ yₙ ]

即A·c = y，其中：

• A 是 n×2 矩阵（第一列是 x，第二列全 1）
• c = [a; b] 是待求参数
• y 是观测值

这是"方程比未知数多"的超定方程，一般没有精确解，但有最小二乘解：

c = (AᵀA)⁻¹ Aᵀ y ← 正规方程

或者直接用 QR 分解求解（更稳定）。

36.3 用 Eigen 实现

#include<Eigen/Dense>#include<iostream>#include<vector>intmain(){// 原始数据std::vector<double>xs={0,1,2,3,4,5};std::vector<double>ys={1.1,3.0,5.2,6.9,9.1,11.0};intn=xs.size();Eigen::MatrixXdA(n,2);// 设计矩阵Eigen::VectorXdy(n);for(inti=0;i<n;i++){A(i,0)=xs[i];// 第一列是 xA(i,1)=1.0;// 第二列是 1（对应截距 b）y(i)=ys[i];// 观测值}// 最小二乘求解（QR 分解，稳健通用）Eigen::VectorXd c=A.colPivHouseholderQr().solve(y);doublea=c(0);// 斜率doubleb=c(1);// 截距std::cout<<"拟合直线：y = "<<a<<" * x + "<<b<<std::endl;return0;}

运行结果接近y = 1.98571 * x + 1.08571（真实关系是 y = 2x + 1 加噪声），拟合非常准。

编译运行：把上面代码存成ch36.cpp，然后（路径写法见附录 C.3）：

g++-std=c++17-O2-I"你的Eigen目录"ch36.cpp-och36.exe ./ch36.exe

实际输出：

拟合直线：y = 1.98571 * x + 1.08571

36.4 评估拟合质量

用残差（真实值与预测值的差）评估。在ch36.cpp的std::cout << "拟合直线..."后面加两行：

doubleerror=(A*c-y).norm();// 残差范数std::cout<<"残差 = "<<error<<std::endl;

重新编译运行，输出变成：

拟合直线：y = 1.98571 * x + 1.08571 残差 = 0.226779

残差越小，拟合越好。这里 6 个点的总偏差约 0.23，相对 y 本身 1~11 的量级来说很小，说明直线确实"贴"住了这批数据。

36.5 拓展：多项式拟合

直线拟合是"线性拟合"。想拟合曲线（如二次 y = ax² + bx + c），只需扩展设计矩阵——加一列 x²。下面是独立的一份完整程序（存成ch36_poly.cpp，注意变量名和 36.3 的c无关）：

#include<Eigen/Dense>#include<iostream>#include<vector>intmain(){std::vector<double>xs={0,1,2,3,4,5};std::vector<double>ys={1.1,3.0,5.2,6.9,9.1,11.0};Eigen::Index n=xs.size();Eigen::MatrixXdA(n,3);// 三列：x²、x、1Eigen::VectorXdy(n);for(Eigen::Index i=0;i<n;i++){A(i,0)=xs[i]*xs[i];// x²A(i,1)=xs[i];// xA(i,2)=1.0;// 常数项y(i)=ys[i];}Eigen::Vector3d c=A.colPivHouseholderQr().solve(y);// c = [a, b, c]std::cout<<"二次拟合：y = "<<c(0)<<" * x^2 + "<<c(1)<<" * x + "<<c(2)<<std::endl;std::cout<<"残差 = "<<(A*c-y).norm()<<std::endl;return0;}

实际输出：

二次拟合：y = 0 * x^2 + 1.98571 * x + 1.08571 残差 = 0.226779

这个结果很有意思：二次项系数是0，残差和直线拟合一模一样（0.226779）。原因是这批数据本来就是直线，你给它更高次的模型，它也只会把多余的那项压成 0。

把ys改成{0, 1, 4, 9, 16, 25}（正好是 y = x²）再跑一次，实测输出：

二次拟合：y = 1 * x^2 + -5.21706e-15 * x + 7.14981e-15 残差 = 1.39037e-14

二次项变成 1，一次项和常数项是 1e-15 量级（也就是 0），残差 1e-14（也就是 0）——模型正确识别出了真实关系。

思路完全一样：把"特征"塞进设计矩阵的列，就能拟合任意线性模型。这正是机器学习的核心思路——特征 + 最小二乘。

36.6 为什么这是机器学习基础

最小二乘拟合 = 机器学习里线性回归的 C++ 实现：

• 设计矩阵 A = 特征矩阵 X
• 待求参数 c = 模型权重 w
• 观测值 y = 标签

学会这个，你就理解了线性回归、岭回归、甚至神经网络最后一层的数学本质。

36.7 小结

• 最小二乘：让误差平方和最小的拟合。
• 写成矩阵 Ax = y，用 QR 分解求解。
• 残差范数评估拟合质量。
• 扩展设计矩阵就能做多项式拟合 = 线性回归。

下一章，第二个实战项目：3D 点云与刚体变换。

练习题

1. 用上面的代码拟合给定数据，打印斜率和截距。
2. 自己造一批数据（y = 3x + 2 加随机噪声），拟合看能不能还原。
3. 把拟合从直线改成二次曲线（扩展设计矩阵）。
4. 计算并打印拟合的残差。
5. 说说最小二乘和机器学习线性回归的关系。