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前言

先纠正标题里两个不严谨的地方。第一，NumPy 不是 Python 标准库，它是需要单独安装的第三方库（用pip install numpy）；本机没装它，所以下面的调用无法在本机运行验证，API 签名均以 NumPy 官方文档为准，请你以自己的环境为准。第二，「矩阵运算函数」这个说法偏笼统——NumPy 里做矩阵运算的东西有三种形态：模块级函数（如numpy.dot）、ndarray的方法（如a.reshape(...)）、以及运算符（@、*）。把a @ b叫「函数」并不准确，它是运算符，背后调用__matmul__。

另外要提前说清一个高频误解：在 NumPy 里，*是逐元素相乘（element-wise，也叫 Hadamard 积），不是矩阵乘法；矩阵乘法要用@运算符或numpy.matmul/numpy.dot。大量「矩阵乘法算错了」的 bug，根源就是把*当成了矩阵乘。

再补一句版本提醒：Python 2.7 已于 2020 年 1 月 1 日停止维护，较新的 NumPy 也早已不再支持 Python 2，网上老代码里的print语句（print x）、xrange等写法在 Python 3 里都不能用，本文示例一律按 Python 3 写。

本文按「建矩阵 → 改形状 → 做乘法 → 解线性方程组」的顺序，记几种常用的矩阵运算写法，并给出可对照官方的签名。

一、创建矩阵与查看形状

ndarray是 NumPy 的核心数据结构，二维的ndarray就是通常说的矩阵。

# 适用于 Python 3.8+ 且已安装 NumPy（以官方文档为准）
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 由嵌套列表构造 2x2
Z = np.zeros((2, 3)) # 2 行 3 列，全 0，默认 float64
O = np.ones((3, 3)) # 3x3 全 1
I = np.eye(3) # 3x3 单位矩阵

print(A.shape) # (2, 2)
print(A.dtype) # int64（视平台而定）
print(Z.shape) # (2, 3)

形状通过.shape属性读取，它是一个元组。修改形状不会复制数据，只要内存布局允许，.reshape返回的是视图（view）。

# 适用于 Python 3.8+ 且已安装 NumPy（以官方文档为准）
a = np.arange(6) # 一维 [0 1 2 3 4 5]
m = np.reshape(a, (2, 3)) # 变成 2x3
print(m.shape) # (2, 3)
print(a.shape) # (6,) ← 原数组不变

二、转置：.T与numpy.transpose

转置有两种等价写法：数组属性.T，或函数numpy.transpose(a, axes=None)。

# 适用于 Python 3.8+ 且已安装 NumPy（以官方文档为准）
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A.shape) # (2, 3)
print(A.T.shape) # (3, 2)
print(np.transpose(A).shape) # (3, 2)

官方文档特别指出：对一维数组，transpose返回的是原数组的一个未改动视图——一维没有「行列」可换。要留意多维数组的转置在三维及以上默认是「反转所有轴的顺序」，需要更精细控制时才传axes。

三、矩阵乘法：@、matmul、dot

三种写法：

对两个二维数组，@、matmul、dot结果一致：

# 适用于 Python 3.8+ 且已安装 NumPy（以官方文档为准）
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

print(A * B)
# [[ 5 12]
# [21 32]] ← 逐元素相乘

print(A @ B)
# [[19 22]
# [43 50]] ← 矩阵乘法

print(np.matmul(A, B)) # 与 A @ B 相同
print(np.dot(A, B)) # 二维时也与 A @ B 相同

验算A @ B第一行第一列：1*5 + 2*7 = 19，对得上；A * B第一行第一列是1*5 = 5，也就是逐元素。

matmul和dot的差异在两处：一是matmul不接受标量，dot可以；二是维数大于 2 时，matmul把数组当成「一批矩阵」并按广播规则处理，dot则是把a的最后一个轴与b的倒数第二个轴求和。日常二维矩阵用哪个都行，但官方推荐matmul或@。

四、线性代数：numpy.linalg

矩阵求逆、行列式、解方程都在numpy.linalg里，签名如下（均以官方文档为准）：

# 适用于 Python 3.8+ 且已安装 NumPy（以官方文档为准）
import numpy as np

A = np.array([[3.0, 1.0], [1.0, 2.0]])
print(np.linalg.det(A)) # 5.0 （3*2 - 1*1）

inv_A = np.linalg.inv(A)
print(np.allclose(A @ inv_A, np.eye(2))) # True ← 用 allclose 查浮点近似相等

b = np.array([9.0, 8.0])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x) # [2. 3.]
print(np.allclose(A @ x, b)) # True

要点：

• 
  
• np.linalg.inv要求矩阵是方阵，否则抛LinAlgError；若矩阵奇异（不可逆），同样抛LinAlgError。
• 
  
• 解方程组优先用np.linalg.solve(A, b)，而不是先求逆再乘inv(A) @ b——后者数值上更不稳定，也更慢。
• 
  
• 判断浮点结果是否相等不要用==，用numpy.allclose(a, b, rtol=1e-05, atol=1e-08, equal_nan=False)。
• 
  

实战：解一个线性方程组

下面是一个完整的小例子：解A x = b，再回代验证。

# 适用于 Python 3.8+ 且已安装 NumPy（以官方文档为准）
import numpy as np

def solve_system(A, b):
"""解 A @ x = b，返回解向量；奇异或非方阵时抛 numpy.linalg.LinAlgError。"""
A = np.asarray(A, dtype=float)
b = np.asarray(b, dtype=float)
x = np.linalg.solve(A, b)
ok = np.allclose(A @ x, b)
return x, ok

if __name__ == "__main__":
A = [[2, 1, -1],
[-3, -1, 2],
[-2, 1, 2]]
b = [8, -11, -3]
x, ok = solve_system(A, b)
print("解：", x) # 解： [ 2. 3. -1.]
print("验证：", ok) # 验证： True

逐行说明：

• 
  
• np.asarray(...)把列表转成数组，dtype=float保证后续按浮点运算，避免整数下整除问题。
• 
  
• np.linalg.solve直接得到未知数向量x，没有显式求逆。
• 
  
• np.allclose(A @ x, b)把结果代回验证，浮点误差在你的容差范围内就返回True。
• 
  

常见坑点

1. 
   
2. 把*当矩阵乘法
3. 
   

❌C = A * B想做矩阵乘法 —— 得到的其实是逐元素积。 ✅ 矩阵乘用C = A @ B（或np.matmul(A, B)）。

1. 
   
2. 先求逆再乘 b 解方程
3. 
   

❌x = np.linalg.inv(A) @ b—— 数值稳定性差、更慢。 ✅x = np.linalg.solve(A, b)。

1. 
   
2. 浮点结果用==比较
3. 
   

❌if A @ x == b:—— 浮点误差导致偶尔为假。 ✅if np.allclose(A @ x, b):。

1. 
   
2. 对非方阵求逆
3. 
   

❌ 对 2x3 矩阵调np.linalg.inv—— 抛numpy.linalg.LinAlgError。 ✅ 确认矩阵是方阵；非方阵要解方程用最小二乘之类的其他方法。

1. 
   
2. 误以为reshape会复制数据
3. 
   

❌b = a.reshape(2, 3)后改b，以为a不受影响 —— 若返回的是视图，两者共享底层数据。 ✅ 需要独立副本就显式b = a.reshape(2, 3).copy()。

1. 
   
2. 用numpy.matrix写线性代数
3. 
   

❌ 用np.matrix构造矩阵 —— 官方文档明确「It is no longer recommended to use this class, even for linear algebra. Instead use regular arrays.」，且该类未来可能被移除。 ✅ 用二维ndarray加@运算符。

1. 
   
2. 在没装 NumPy 的环境里 import
3. 
   

❌import numpy后直接用 —— 未安装会ModuleNotFoundError: No module named 'numpy'。 ✅ 先pip install numpy，并在代码里用try/except ImportError给出友好提示（如果面向他人分发）。

1. 
   
2. 整数数组下的除法
3. 
   

❌ 用整数类型的数组做平均，期望得到小数 —— 若走的是整除语义会截断。 ✅ 构造时指定dtype=float，或用/得到浮点结果（/在 Python 3 和 NumPy 里都是真除法，整除要写//）。

总结

NumPy 的矩阵运算记起来不复杂：乘法认准@，*只管逐元素；线性代数进numpy.linalg；结果比较用allclose；再避开np.matrix这个已被官方劝退的老类。由于 NumPy 是第三方库且版本演进较快，实际使用时请以你所用版本的官方文档为准。