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题目描述

在一个m × n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格，直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

输入: [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ] 输出: 12 解释：路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

解题思路

这是典型二维动态规划，和「不同路径」是同一种网格 DP 模型。

1. 状态定义dp[i][j]：走到原网格frame[i-1][j-1]这个位置时，能拿到礼物的最大价值。

这里 dp 数组下标从 1 开始，目的是省去单独处理第一行、第一列边界的代码，dp[0][...]和dp[...][0]初始化为 0。

1. 状态转移方程机器人只能从上方或者左方走到当前格子，我们选择价值更大的那条路径，再加上当前格子礼物价值：

\(dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+frame[i-1][j-1]\)

1. 初始化dp数组全部初始化为 0，天然满足边界条件。
2. 结果最终答案：dp[m][n]，对应网格右下角位置。

class Solution { public: int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) { int m=frame.size(); int n=frame[0].size(); vector<vector<int>>dp(m+2,vector<int>(n+2,0)); for(int i=1;i<m+1;i++) { for(int j=1;j<n+1;j++) { dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+frame[i-1][j-1]; } } return dp[m][n]; } };