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做非线性动力学研究或者上过混沌相关课程的人，大概率都逃不过亲手画一张 Lorenz 系统相图的命运。早期我用 Matlab 画这些图的时候，最头疼的事情是全网搜到的代码要么只给一段孤零零的脚本，要么是截图里才看得到结果，根本不知道参数怎么调、截面怎么取、暂态怎么去掉。这次我把自己的实现整理成一套完整的程序分享出来，覆盖三阶微分方程混沌系统的庞加莱截面图、二维相图、三维相图以及分岔图，基于最常见的 Lorenz 系统，代码可以直接跑，关键位置都有注释和参数解释。这篇文章适合正在做混沌系统数值分析的硕博生、做非线性信号处理的工程师，以及准备用 Matlab 完成相关课程设计的同学。我会把每个图形的数学含义、Matlab 实现原理、以及我在实际调试中踩过的坑一起讲清楚，确保你不只是把代码复制走，而是能根据自己的系统改参数、换截面、调出符合预期的结果。

1. 混沌系统与四类图形：先搞清楚要画什么

1.1 为什么是三阶微分方程

在开始写代码之前，有必要先把一个基本问题说透：为什么混沌系统的入门研究对象几乎都是三阶自治微分方程？从动力系统理论看，连续时间系统要产生混沌，相空间维度至少是三维。二维连续系统的轨迹受限于平面，Poincaré-Bendixson 定理直接排除了混沌的可能性——平面上要么收敛到平衡点，要么形成极限环，不存在“既不自洽又不发散”的奇怪吸引子。因此，无论是 Lorenz 系统、Rossler 系统还是 Chen 系统，都是三个状态变量、三个一阶微分方程构成的耦合系统，本质上是一个三阶系统。

用 Matlab 求解这类问题的核心思路非常直接：把三阶微分方程组写成状态向量的形式，交给积分器去数值求解。我们以最经典的 Lorenz 系统为例，方程形式如下：

dx/dt = sigma * (y - x) dy/dt = x * (rho - z) - y dz/dt = x * y - beta * z

三个参数中，sigma 是 Prandtl 数，rho 是 Rayleigh 数，beta 是几何参数。经典的混沌参数组合是 sigma=10，beta=8/3，rho=28。这个参数下系统表现出典型的蝴蝶形奇怪吸引子，四个图形都能产生非常有辨识度的结果。我建议所有初学者先用这套参数跑通流程，再去尝试其他参数组合。

1.2 四类图分别回答什么问题

很多同学拿到题目时会产生一个困惑：这几种图到底有什么区别？为什么要画这么多张？我的理解是这样的：它们分别从不同尺度回答“系统在干什么”这个问题。

二维相图回答的是“两个状态变量之间的关系是什么”，它把三维轨迹投影到某个坐标平面上，适合做初步观察。三维相图展示系统在相空间中的完整轨迹，能够直观看到奇怪吸引子的几何结构。庞加莱截面回答的是“轨迹如何穿过某个横截面”，它把连续流转化为离散映射，通过截面上的点集分布判断系统是周期、拟周期还是混沌。分岔图回答的是“系统行为如何随参数变化”，它是参数扫描后的全局视图，能看出从稳定到周期再到混沌的完整演化路径。

这四类图的组合关系可以理解成：相图是“单张照片”，庞加莱截面是“某个特定角度的切片扫描”，分岔图则是“一段视频的摘要”。后面我会按照这个逻辑把每张图的实现思路串起来。

2. 环境准备与微分方程系统搭建

2.1 Matlab 环境与基础设置

本文的代码完全不依赖额外工具箱，只需要一个基础 Matlab 环境就能运行。我自己的测试环境是 Matlab R2023b，但 R2020 之后的版本应该都能直接跑通。需要提醒的是，如果你的电脑上安装的是较新版本，遇到启动闪退或者 license 激活异常这类问题，优先检查系统环境变量和许可证文件路径，这属于安装问题，和绘图代码本身无关。网上搜到的所谓“2026b 下载安装教程”很多带有捆绑内容，我不建议从非官方渠道获取安装包。

建议在跑代码前先执行一次干净的clear; close all; clc;，避免工作区残留变量干扰。数值求解混沌系统对初始条件极其敏感，如果之前实验留下了某些同名变量，很可能导致轨迹走向完全不同的分支。这是我在实践中踩过的真实坑：有一次分岔图跑出来的结果与理论完全不符，排查了半天发现是工作区里残留了一个旧版本的 rho 标量，导致循环内参数覆盖出错。

2.2 定义 Lorenz 系统的微分方程函数

我们先把 Lorenz 系统写成一个独立的函数文件。这个函数接收时间和状态向量，返回导数向量。注意这里的顺序必须是(t, y)，即使方程中不显式含时间 t，也要保留这个占位参数，否则 ode45 会报错。

function dydt = lorenz_system(t, y, sigma, rho, beta) % Lorenz 系统微分方程 % y = [x; y; z] x = y(1); y_state = y(2); z = y(3); dydt = zeros(3, 1); dydt(1) = sigma * (y_state - x); dydt(2) = x * (rho - z) - y_state; dydt(3) = x * y_state - beta * z; end

这里我用了y_state作为中间变量，是因为主脚本里通常还需要用y作为整个状态向量的变量名，两者容易混淆。函数本身很简单，但有一个细节必须强调：三个方程之间的耦合关系不能写错，特别是第二个方程中的- y_state这一项，它是系统耗散性的关键组成部分。如果这里漏掉或者写成加号，系统行为会完全改变，甚至可能发散。

主脚本中，通过匿名函数把参数传递给微分方程函数：

sigma = 10; beta = 8/3; rho = 28; f = @(t, y) lorenz_system(t, y, sigma, rho, beta);

这种做法的好处是，后续做分岔图扫描 rho 时，只需要在循环体内重新定义匿名函数，不需要反复修改子函数文件。

3. 相图的绘制：二维与三维轨迹的实现

3.1 数值积分的参数选择

调用 ode45 求解时，最影响结果质量和计算速度的是时间跨度、初始条件和求解器容差。不同参考书给出的初始条件略有差异，但只要在吸引子盆地里，最终轨迹经过暂态后都会收敛到同一个吸引子上。

tspan = [0 100]; y0 = [1; 1; 1]; options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-8); [t, y] = ode45(f, tspan, y0, options);

我习惯把RelTol设为 1e-6，AbsTol设为 1e-8。这两个参数控制自适应步长的精度，设置太松会导致轨迹发散或出现明显误差累积，设置太紧则计算时间显著增加。对 Lorenz 系统来说，上面的设置已经能保证轨迹在 100 个时间单位内保持数值稳定。

需要特别注意的是tspan的前面一部分是暂态过程。无论初始点选在哪里，轨迹都需要一段时间才能落到吸引子上。如果初始点距离吸引子很远，这段暂态可能会很长。画相图时，我通常会丢弃前 10% 的数据点，只绘制收敛后的轨迹：

n_skip = round(length(t) * 0.1); x = y(n_skip:end, 1); y_state = y(n_skip:end, 2); z = y(n_skip:end, 3);

这不是强迫症，而是为了避免初始点远离吸引子时产生的“飞行路径”污染图形。你可以在自己机器上试一下把初始点改成[100; 100; 100]，如果不丢弃暂态，相图边缘会出现一条很突兀的长线，严重影响可读性。

3.2 二维相图：三个平面的投影

二维相图本质上就是把三维轨迹投影到坐标平面。对 Lorenz 系统，最常见的三个投影平面是 x-y、x-z 和 y-z。其中 x-z 平面的蝴蝶形最经典，x-y 平面看起来像一个“猫头鹰脸”，y-z 平面的结构相对模糊。绘制代码非常简单：

figure('Color', 'white'); subplot(1, 3, 1); plot(x, y_state, 'LineWidth', 0.5); xlabel('x'); ylabel('y'); title('x-y 相图'); axis equal; subplot(1, 3, 2); plot(x, z, 'LineWidth', 0.5); xlabel('x'); ylabel('z'); title('x-z 相图'); subplot(1, 3, 3); plot(y_state, z, 'LineWidth', 0.5); xlabel('y'); ylabel('z'); title('y-z 相图');

有两点值得说明。第一，axis equal不是必须的，但对某些平面加上后能保持几何比例不失真。第二，LineWidth不宜设得太粗，因为混沌轨迹会反复折叠，线宽过粗会把结构细节糊在一起。实际输出如果线条密集程度太高，可以适当增加 tspan 结束时间，轨迹更充分覆盖吸引子，出图效果会更饱满。

3.3 三维相图：视觉层次优化

三维相图是展示奇怪吸引子几何结构的最佳方式。Lorenz 系统的吸引子由两个围绕不稳定平衡点的“翅膀”构成，轨迹在两侧之间非周期切换。直接plot3画出来的图虽然能看，但整条线颜色单一，看不出轨迹的运动方向和疏密分布。我的做法是引入颜色渐变，用颜色反映时间演化：

figure('Color', 'white'); t_plot = t(n_skip:end); c = t_plot; % 用时间作为颜色映射的依据 scatter3(x, y_state, z, 2, c, 'filled'); colormap(jet); colorbar; xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); title('Lorenz 系统三维相图 (颜色表示时间演化)'); grid on; view([30, 20]);

这里我用了scatter3而不是plot3，区别在于散点图可以精确控制每个点的颜色。点到数通常有几万个，scatter3的性能完全可以接受，但如果你用很旧的 Matlab 版本，比较大的数组绘制时可能出现卡顿。这时候可以把点抽稀，例如每 3 个点取 1 个再画。

另一个提升观感的手段是旋转视角。view函数的两个参数分别是方位角和仰角，我常用的角度组合是[30, 20]，能看到蝴蝶形状的正面结构；改成[0, 90]会得到俯视图，这时候吸引子的两瓣结构非常清晰。多保存几个视角的图，在论文中使用时可以根据需要选择。

4. 庞加莱截面图的实现与判断

4.1 截面的数学定义与选择思路

庞加莱截面的思想比较直观：在一个周期轨道上取一个横截面，记录轨迹每一次穿过该截面的位置，用这些离散点来研究系统的长期行为。对连续系统而言，这是一个降维分析工具，把连续流转化为离散映射。

对 Lorenz 系统来说，最常用的截面选取方式有两种。第一种是选取某个固定平面，比如 z = rho - 1 平面（约等于 27），这是系统的两个不稳定平衡点所在的高度附近，轨迹穿过该平面时的 (x, y) 坐标可以揭示系统的折叠结构。第二种是选取局部极值面，即记录 z 取局部极大值时对应的 (x, y) 坐标，这种方法的优点是截面点分布均匀，常用于绘制分岔图。两种方法本质上都是构造一个映射，区别在于截面在相空间中的位置和方向。

我在实际中更喜欢用“z 取局部极大值”的方式，原因有两点：一是它不需要额外求解超平面穿越，实现简单；二是后续画分岔图时正好需要记录局部极值点，一套代码可以复用。

4.2 代码实现：检测局部极值点

使用findpeaks函数检测 z 序列的峰值，是 Matlab 中最直接的做法。findpeaks来自 Signal Processing Toolbox，如果没有这个工具箱，也可以用diff手动判别：当diff(z_traj)由正变负时，即出现局部极大值。

% 方法一：使用 findpeaks [~, locs] = findpeaks(z); x_poincare = x(locs); y_poincare = y_state(locs); % 方法二：手动差分判别（无工具箱版本） dz = diff(z); peak_idx = find(dz(1:end-1) > 0 & dz(2:end) < 0) + 1; x_poincare2 = x(peak_idx); y_poincare2 = y_state(peak_idx);

使用findpeaks时要注意一个细节：它会检测所有局部峰值，但如果轨迹在某个区域内出现高频小幅抖动，可能产生大量意义不大的点。解决办法是设置'MinPeakHeight'或者'MinPeakDistance'作为阈值。我没有在代码里刻意加阈值，因为标准 Lorenz 系统的 z 轨迹比较平滑，峰值点每个周期一个，稀疏度和信噪比都较好。

绘制庞加莱截面图时，我习惯把三个视角都展示出来：x-y 平面、x-z 平面以及 y-z 平面上的投影点。

figure('Color', 'white'); subplot(1, 3, 1); plot(x_poincare, y_poincare, '.', 'MarkerSize', 6); xlabel('x'); ylabel('y'); title('庞加莱截面投影 (x-y)'); grid on; subplot(1, 3, 2); plot(x_poincare, z(locs), '.', 'MarkerSize', 6); xlabel('x'); ylabel('z'); title('庞加莱截面投影 (x-z)'); subplot(1, 3, 3); plot(y_poincare, z(locs), '.', 'MarkerSize', 6); xlabel('y'); ylabel('z'); title('庞加莱截面投影 (y-z)');

从结果上看，Lorenz 系统在 rho=28 时的庞加莱截面图呈现类似“两条弧线”的结构，而不是有限的几个点，也不是封闭连续的曲线。这正是奇怪吸引子的典型特征：截面点集看起来像一条被无限折叠的一维曲线，具有分形结构。如果你的结果是一堆杂乱无章的稀疏点，通常是 tspan 太短导致轨迹还没有充分覆盖吸引子；如果你的结果是几个孤立的点，那说明系统很可能处于周期状态，需要检查参数是否正确。

4.3 如何用截面图判断系统状态

庞加莱截面图的价值不在于好看，而在于它能提供一个清晰的状态判据。如果截面图上只有 1 个点，对应的是周期 1 轨道；2 个点对应周期 2 轨道；有限个点对应周期轨道；一条封闭曲线对应拟周期运动；而具有分形结构的密集点集则对应混沌。这个经验法则适用于绝大多数连续动力系统，不仅限于 Lorenz。

我强烈建议在课程报告或论文中放一组对比图：rho=24 时的庞加莱截面（单点）、rho=27.4 时的截面（可能随初值呈现层叠结构）、rho=28 时的截面（分形点集）。这组对比比单张图有说服力得多，也能直观展示系统状态的转变。

5. 分岔图的绘制：参数扫描与可视化

5.1 分岔图的生成逻辑

分岔图是由“局部极值采样”和“参数扫描”两个环节组成的。以 Lorenz 系统为例，固定 sigma 和 beta，让 rho 在指定范围内连续变化，对每个 rho 做一次数值积分，舍弃暂态后记录轨迹的局部极大值点，然后把所有 rho 对应的极值点画在同一张图上，就得到分岔图。它可以清晰展示系统从收敛到周期、再到混沌、再进入周期窗口的完整演化路径。

这里有一个容易翻车的地方：“对每个 rho 做一次积分”看起来简单，但积分时间长度、暂态丢弃长度、极值采样策略都会对图形质量产生巨大影响。我调整参数后得到的核心代码段如下：

sigma = 10; beta = 8/3; rho_range = 24:0.1:40; n_rho = length(rho_range); tspan = [0 200]; y0 = [1; 1; 1]; options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-8); rho_plot = []; extreme_plot = []; for k = 1:n_rho rho = rho_range(k); f = @(t, y) lorenz_system(t, y, sigma, rho, beta); [t, y] = ode45(f, tspan, y0, options); z_traj = y(:, 3); n_skip = round(length(t) * 0.3); % 丢弃前 30% 暂态 z_traj = z_traj(n_skip:end); [~, locs] = findpeaks(z_traj); if isempty(locs) continue; end x_extremes = y(locs + n_skip, 1); % 注意索引补偿 n_pts = length(x_extremes); rho_plot = [rho_plot; rho * ones(n_pts, 1)]; extreme_plot = [extreme_plot; x_extremes]; end figure('Color', 'white'); plot(rho_plot, extreme_plot, '.', 'MarkerSize', 3); xlabel('\rho'); ylabel('z 局部极值对应的 x 值'); title('Lorenz 系统分岔图 (24 <= \rho <= 40)');

这段代码中有三个细节需要重点说明。

第一个细节是索引补偿。findpeaks返回的locs是在z_traj中的位置，而z_traj是从y(:,3)中截断了一部分后得到的，因此真正对应的原始数据索引是locs + n_skip。我在第一次写这段代码时忽略了这一点，导致取到的 x 值整体偏移，画出来的分岔图完全是错的。

第二个细节是暂态丢弃比例。这里我丢弃了前 30% 而不是前 10%，原因在于分岔图对暂态极其敏感。如果暂态没有被充分去除，在那些本应呈现单周期或双周期的参数区间，图像上会产生大量不属于吸引子的杂散点，图形看起来“脏”。实际调试时我发现，20% 到 30% 的丢弃比例是比较稳妥的选择，丢弃太少会脏，太多则会不必要地浪费计算时间。

第三个细节是逐点拼接 vs 预分配。上面代码用了动态拼接的方式，优点是直观且能在 rho 点数较少时保持代码简洁。但如果你要提高效率，把rho_plot和extreme_plot预先分配成一个大矩阵，然后按索引填充，速度可以提升不少。下面会专门讲性能优化。

5.2 计算成本与性能优化

分岔图最让人头疼的问题是计算时间。rho 从 24 扫到 40，步长取 0.1，总共 161 次积分，每次积分 tspan=200。在我自己的机器上，这段代码大约需要 5 到 10 分钟，取决于 Matlab 版本和 CPU 性能。如果你只是临时看一眼趋势，这个时间可以接受；但如果要生成高分辨率分岔图（比如步长 0.01），就必须考虑优化。

我试过几种可行方案，按推荐顺序排列：

• 使用parfor并行循环。前提是安装了 Parallel Computing Toolbox，并且用parpool开启并行池。由于每个 rho 的积分是互相独立的，这个场景是并行计算的标准适用场景。并行化之后，耗时可以降到原来的三分之一到四分之一。

• 缩短 tspan 和暂态比例。tspan 从 200 降到 100，暂态比例从 30% 降到 20%，大部分情况下图形结构不会发生肉眼可见的变化，但时间直接减半。缺点是某些接近临界点的参数区间可能出现暂态残留，需要肉眼检查。

• 使用ode45时放宽容差。把RelTol从 1e-6 改为 1e-4，计算速度会有明显提升。对绘制分岔图而言精度足够，但如果你还要拿同一批数据计算 Lyapunov 指数或做定量分析，这个做法就不合适了。

• 把连续系统降维为离散映射。对 Lorenz 系统，理论上可以预先算出每个极值点到下一个极值点的映射关系，用迭代代替数值积分。这种方法速度快但不通用，换其他系统就得重新推导。我不建议初学者在这个方向投入太多时间。

5.3 如何阅读分岔图

绘制完成后，分岔图的信息量是很大的。以 Lorenz 系统为例，rho 从 24 开始，系统处于一个稳定的平衡点，分岔图上表现为单个值。随着 rho 超过约 24.74，出现 Hopf 分岔，系统进入周期振荡，图像分裂为两条分支。继续增大 rho，会出现倍周期分岔，分支不断分裂，最终在 rho=28 附近进入混沌，这就是图上看起来像“云团”的区域。在混沌区域中间还能看到若干周期窗口，比如 rho=30.1 附近和 rho=37.8 附近，这些窗口对应着系统短暂回到周期状态的行为。

看懂这张图，你的非线性动力学直觉会上升一个台阶。比如你在做实验信号分析时遇到奇怪的频谱，就能联想到这背后可能对应着某个参数接近了分岔点。这也是我觉得花时间把分岔图画对、画好特别值得的原因。

6. 常见问题与排查技巧实录

6.1 图形出现异常发散或 NaN

这是最多人遇到的第一个坑。表现是轨迹数值很快变成无穷大或 NaN，相图上什么都看不到。排查顺序如下：

第一，检查微分方程的公式是否正确。Lorenz 系统的三个方程互相耦合，任何一个符号出错都会导致发散。第二，检查参数输入顺序，匿名函数@(t, y) lorenz_system(t, y, sigma, rho, beta)和函数声明的参数顺序必须保持一致。第三，检查初始条件是否过大。混沌系统对初始条件敏感，但并不意味着初始条件大就发散，只是某些特殊初始点可能落在吸引子盆地之外。标准做法是使用[1; 1; 1]或其他靠近原点的点。第四，检查options容差是否设得太紧或太松。容差太松可能导致积分误差掩盖真实动力学，太紧则可能导致求解器步长过小，计算时间异常长。

如果上面都检查过仍然 NaN，尝试用显式 Euler 法做一个简单验证：取一个极小的步长，看看前几步轨迹是否大致合理。这能帮你快速把问题缩小到“方程写错”还是“积分器设置不对”。

6.2 庞加莱截面图的点数稀疏或不连续

如果你的截面图点非常少，比如只有几十个点，首先要检查 tspan 是否足够长。Lorenz 系统在 rho=28 时，轨迹在两个翅膀之间不规则跳跃，需要相当长的时间才能充分覆盖吸引子。建议 tspan 至少取 200，甚至可以取到 500。其次，检查是否用了“局部极大值”作为截面，如果是，确认使用的是 z 或 x 变量，而不是固定频率采样。用等时间间隔采样点并直接画出来得到的不是庞加莱截面，而是轨迹的原始采样，两者概念完全不同。

另一个细节是findpeaks默认忽略两端不完整的峰值，如果你发现截面点在首尾处明显缺失或分布不对称，通常不是代码问题，而是数据集不够长。多跑一段时间即可。

6.3 分岔图在周期区间出现“毛刺”效应

分岔图在周期区间应该是几条清晰的分支，但有时候画出来分支旁边有淡淡的杂散点。这几乎都是暂态没有被完全去除导致的。解决方法是增加暂态丢弃比例，或者直接增加 tspan。特别要注意的是，在倍周期分岔临界点附近，系统收敛到周期轨道的过程会非常缓慢，称为临界慢化。比如 rho=27.8 附近的参数区间，暂态可能持续相当长的时间，如果 tspan 不够，分岔图上会出现类似混沌但实际上只是暂态的假结构。

遇到这种情况，我建议对特定参数局部加密扫描，比如单独对 rho 从 27 到 28 步长取 0.01，把每条的轨迹增长到 500 个时间单位，仔细观察临界区域的变化。这样做不仅能确认毛刺是否为暂态，还能帮助定位精确的临界参数值。

6.4 常见问题速查表

6.5 几个容易被忽略的通用建议

我建议把代码封装成函数而不是只写脚本。脚本中所有变量都暴露在工作区，一旦来回调试，很容易出现变量名覆盖问题。封装成函数后，输入参数清晰，输出明确，后续换系统、换参数也更方便。函数化之后，你还可以顺手写一个简单的配置文件，把参数和绘图开关统一管理。

另外，保存图形时尽量用矢量格式。用exportgraphics(gcf, 'lorenz_3d.pdf', 'ContentType', 'vector')导出的矢量图在论文缩放时完全不会糊。位图在这种情况下很容易出现锯齿，特别是在线上传或评审打印时观感差异很大。

7. 经验总结与扩展方向

7.1 我踩过的几个印象深刻的坑

第一次画分岔图时，我偷懒没有丢弃暂态，结果在 rho=24 到 25 附近看到一团密密麻麻的散点，我还一度以为混沌在更小的参数下就已经出现了。后来查阅文献才发现，理论预测的最小混沌参数应该在 28 附近，那些点全是暂态响应。那一次让我彻底记住了暂态处理的重要性。

还有一次，我在整理庞加莱截面图时误用了等时间间隔采样，画出来的“截面”是一条连续曲线，怎么调整参数都没有碎片化特征。把findpeaks换上去之后，结果立刻变成了分形点集。这件事让我意识到，对图形概念的数学理解不扎实，工具再好也白搭。

我也曾经在画三维图时试图把整个吸引子轨迹用plot3加超细线宽展示，图确实精致，但文件大小接近 50MB，导出论文插图时几乎无法处理。后来改用scatter3并适当抽稀，文件体积和视觉效果都更理想。

7.2 这套代码可以怎么扩展

当前代码的核心框架非常通用，你只需要替换微分方程函数，就能画其他混沌系统。最简单的练手对象是 Rossler 系统：

dx/dt = -y - z dy/dt = x + a*y dz/dt = b + z*(x - c)

参数选取a=0.2，b=0.2，c=5.7时系统处于混沌状态。把lorenz_system替换成 Rossler 的版本，其他代码几乎不用改。你还可以尝试在三维相图上叠加两个系统的轨迹做对比，视觉冲击力很强。

更进一步，你可以在庞加莱截面的基础上计算 Lyapunov 指数谱，判断系统混沌程度；也可以把分岔图与时间序列功率谱对比，形成更完整的非线性分析链条。如果你做的是工程应用，还可以把混沌系统作为激励源替代传统噪声信号，研究系统在混沌输入下的响应特性。

我目前正在把这段代码移植成更通用的“系统定义 + 分析绘图”框架，只需要在配置文件中改方程和参数，就能同时输出上述所有图形。计划加入对离散时间系统的支持，这样就能把 Lorenz 映射等离散混沌系统也纳入分析流程。可以说，围绕混沌系统数值可视化的这套方法，到今天依然是分析和解释非线性行为的可靠起点，值得耐心打磨。