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1. 峰值电流模式CCM BUCK传递函数推导的完整思路拆解

1.1 为什么峰值电流模式的控制到输出传递函数值得单独推导

搞电源的人迟早会碰到一个问题：电压模式BUCK的传递函数推导资料满天飞，但换成峰值电流模式（Peak Current Mode, PCM），能找到的完整推导过程就少了一大截。原因不复杂——电压模式只有一个环路，补偿网络设计相对直观；而峰值电流模式引入了内环电流环，电感电流不再是一个独立状态变量，整个系统的阶数、极点分布、右半平面零点都跟电压模式完全不一样。

我在实际做数字电源的时候，最开始也是拿电压模式的模型去套峰值电流模式，结果补偿器怎么调都不对，相位裕度死活上不去。后来老老实实把传递函数从头推了一遍，才发现问题出在采样增益和斜坡补偿对低频增益的影响上。所以这篇内容就是把我自己推导峰值电流模式CCM BUCK传递函数的完整过程整理出来，包括每一步的假设、近似、参数计算，以及推导完之后怎么验证。

适合谁看？如果你正在做数字电源的环路补偿设计，或者用Simulink搭BUCK的平均模型发现仿真和实测对不上，又或者你只是想把电力电子的控制理论从课本落到实际，这篇内容应该能帮到你。不需要你是控制理论专家，但至少得知道什么是传递函数、什么是极点零点、BUCK电路的基本工作原理。

1.2 峰值电流模式与电压模式的核心差异

先把这个差异说清楚，不然后面推导容易迷路。

电压模式控制：占空比d直接由补偿器输出决定，电感电流iL是一个独立的状态变量。整个功率级是一个二阶系统，有两个极点（由LC滤波器决定），以及一个由ESR引入的左半平面零点。

峰值电流模式控制：占空比不再直接由补偿器输出决定，而是由补偿器输出一个电流参考值ic，然后每个开关周期内，当电感电流上升到ic时，开关管关断。这就形成了一个内环电流环。结果是电感电流不再是独立状态变量，而是跟随ic变化。整个系统从二阶降为一阶，主极点由输出电容和负载电阻决定。

这个降阶特性是峰值电流模式最大的优势——补偿器设计大大简化，相位裕度容易做。但代价是引入了采样效应、斜坡补偿的影响，以及在高频段模型不再准确的问题。

1.3 推导的整体框架与关键假设

我推导的时候遵循了以下几个关键假设，这些假设在大多数工程场景下是成立的：

• CCM模式：电感电流在整个开关周期内始终大于零，不进入断续模式。这是推导的前提，DCM下模型完全不同。
• 小信号近似：所有变量在稳态工作点附近做微小扰动，忽略二阶及以上高阶项。
• 开关频率远高于穿越频率：这样可以用平均模型代替开关模型，忽略开关纹波。
• 斜坡补偿斜率匹配：假设斜坡补偿斜率Se与电感电流下降斜率Sf满足一定关系，这个后面会详细说。
• 忽略寄生参数：除了输出电容ESR之外，忽略其他寄生参数。

推导路线是这样的：先从时域的平均模型出发，写出电感电流和输出电压的动态方程；然后引入峰值电流模式的采样保持效应，把电感电流用ic表示；最后消去中间变量，得到从控制量到输出电压的传递函数。

2. 峰值电流模式CCM BUCK的核心细节解析与实操要点

2.1 功率级平均模型的建立

先从最基本的BUCK电路平均模型开始。CCM下，一个开关周期内，电感电压的平均值为：

VL_avg = D * (Vin - Vout) + (1-D) * (-Vout) = D*Vin - Vout

电感电流的动态方程：

L * diL/dt = D*Vin - Vout

输出电容节点的电流方程：

C * dVout/dt = iL - Vout/R

这两个方程就是BUCK功率级的平均模型。在稳态时，diL/dt = 0，dVout/dt = 0，可以得到：

Vout = D*Vin iL = Vout/R

这是大家熟知的稳态关系。但注意，这是电压模式下的模型，因为D是独立变量。在峰值电流模式下，D不是独立的，它由电感电流峰值决定。

2.2 峰值电流模式的采样效应与电感电流表达式

峰值电流模式的核心机制是：每个开关周期开始时，开关管导通，电感电流上升；当电感电流达到控制信号ic时，开关管关断。所以电感电流的峰值等于ic。

在CCM下，电感电流的平均值iL_avg与峰值iL_pk的关系是：

iL_avg = iL_pk - (1/2) * ΔiL

其中ΔiL是电感电流纹波峰峰值：

ΔiL = (Vin - Vout) * D * Tsw / L = Vout * (1-D) * Tsw / L

这里Tsw是开关周期。所以：

iL_avg = ic - (1/2) * ΔiL

但这里有个关键点：ic是控制信号，而ΔiL与D有关，D又与ic有关。所以iL_avg并不是简单地等于ic减去一个常数。

更准确地说，峰值电流模式下的电感电流平均值可以表示为：

iL_avg = ic - (1/2) * m1 * D * Tsw

其中m1是电感电流上升斜率：

m1 = (Vin - Vout) / L

这个表达式说明，电感电流平均值与控制信号ic之间有一个由D决定的偏移量。这个偏移量在小信号分析中会引入一个额外的增益项。

2.3 斜坡补偿的影响与采样增益

实际电路中，为了防止占空比大于50%时的次谐波振荡，通常会加入斜坡补偿。斜坡补偿的斜率Se会叠加到电流检测信号上，等效于改变了控制信号与电感电流峰值的关系。

加入斜坡补偿后，电感电流平均值与控制信号的关系变为：

iL_avg = ic - (1/2) * m1 * D * Tsw - Se * D * Tsw / m1

这个表达式看起来复杂，但在小信号分析中，我们可以把它线性化。定义采样增益Ri为：

Ri = 1 / (1 + Se/Sn)

其中Sn = m1是电感电流上升斜率。当Se = 0时，Ri = 1；当Se增大时，Ri减小。这个Ri就是峰值电流模式中电流环的等效采样增益。

在实际工程中，通常取Se = 0.5 * Sf到1.0 * Sf之间，其中Sf是电感电流下降斜率：

Sf = Vout / L

这样可以在保证稳定性的同时，不至于过度降低电流环增益。

注意：斜坡补偿的斜率选择直接影响传递函数的低频增益和相位裕度。我实测下来，Se取0.7*Sf左右是一个比较稳妥的折中。

2.4 小信号扰动与传递函数推导

现在开始小信号分析。对所有变量做扰动：

D = D0 + d^ iL = IL0 + iL^ Vout = Vout0 + vout^ ic = Ic0 + ic^ Vin = Vin0 + vin^

代入平均模型方程，忽略二阶项，得到小信号方程：

电感电流方程：

L * d(iL^)/dt = D0*vin^ + Vin0*d^ - vout^

输出电容方程：

C * d(vout^)/dt = iL^ - vout^/R

峰值电流模式的关系式：

iL^ = Ri * ic^ - (1/2) * m1 * Tsw * d^ - (1/2) * D0 * Tsw * (d(m1)/dt) * ...

这里需要小心处理。实际上，峰值电流模式下，电感电流平均值的小信号表达式为：

iL^ = Ri * ic^ - k * d^

其中k是一个与工作点有关的系数：

k = (1/2) * m1 * Tsw * (1 - Se/Sn) + ...

更精确地，经过推导可以得到：

iL^ = Ri * ic^ - (1/2) * Tsw * (m1 - Se) * d^

这个表达式说明，电感电流平均值受到控制信号ic和占空比d的双重影响。这是峰值电流模式与电压模式最大的区别——电感电流不再是独立变量，而是由ic和d共同决定。

把iL^代入输出电容方程：

C * d(vout^)/dt = Ri * ic^ - (1/2) * Tsw * (m1 - Se) * d^ - vout^/R

同时，从电感电流方程可以得到d^的表达式：

d^ = (L * d(iL^)/dt - D0*vin^ + vout^) / Vin0

把iL^的表达式代入，经过一系列代数运算，最终可以得到从ic^到vout^的传递函数：

Gvc(s) = vout^(s) / ic^(s) = Ri * R / (1 + s * R * C) * (1 - s * L / (Ri * R * Vin0) * ...)

这个表达式看起来有点乱，但核心结构是清晰的：一个主极点由RC决定，一个高频零点由电感电流纹波引入。低频增益为RiR。

更常见的标准形式是：

Gvc(s) = Ri * R / (1 + s / ωp)

其中ωp = 1/(R*C)是主极点。这个一阶模型在低频段非常准确，但在接近开关频率的一半时，采样效应会导致模型失效。

2.5 采样效应的修正与高频模型

上面的一阶模型忽略了采样效应。实际上，峰值电流模式存在采样保持效应，会在开关频率的一半处引入一对共轭极点。这个效应在穿越频率接近开关频率的1/10到1/6时开始显著。

修正后的模型为：

Gvc(s) = Ri * R / (1 + s / ωp) * 1 / (1 + s/(ωn*Q) + s^2/ωn^2)

其中ωn = π * fsw是采样频率对应的角频率，Q = 1/(π * (Se/Sn + 0.5))是品质因数。

这个修正项在高频段非常重要。我在实际调试时发现，如果不考虑这个采样极点，补偿器在高频段的相位裕度会估计过高，导致实际系统振荡。

实操心得：当穿越频率超过开关频率的1/10时，必须考虑采样极点的影响。否则相位裕度至少会差10度以上。

3. 实操过程与核心环节实现

3.1 参数计算与工作点确定

推导传递函数之前，先把工作点参数算清楚。以一个典型的同步BUCK为例：

• 输入电压Vin = 12V
• 输出电压Vout = 3.3V
• 输出电流Iout = 10A
• 开关频率fsw = 500kHz
• 电感L = 1μH
• 输出电容C = 220μF
• ESR = 5mΩ
• 负载电阻R = Vout/Iout = 0.33Ω

先算占空比：

D = Vout / Vin = 3.3 / 12 = 0.275

电感电流纹波：

ΔiL = Vout * (1-D) * Tsw / L = 3.3 * 0.725 * 2e-6 / 1e-6 = 4.785A

电感电流上升斜率：

m1 = (Vin - Vout) / L = (12 - 3.3) / 1e-6 = 8.7e6 A/s

电感电流下降斜率：

Sf = Vout / L = 3.3 / 1e-6 = 3.3e6 A/s

取斜坡补偿Se = 0.7 * Sf = 2.31e6 A/s。

采样增益：

Ri = 1 / (1 + Se/Sn) = 1 / (1 + 2.31/8.7) = 1 / 1.2655 = 0.79

主极点频率：

ωp = 1 / (R * C) = 1 / (0.33 * 220e-6) = 13774 rad/s fp = ωp / (2π) = 2.19kHz

采样极点频率：

ωn = π * fsw = 3.1416 * 500e3 = 1.57e6 rad/s fn = fsw / 2 = 250kHz

品质因数：

Q = 1 / (π * (Se/Sn + 0.5)) = 1 / (π * (0.2655 + 0.5)) = 1 / (π * 0.7655) = 0.416

这些参数算出来之后，传递函数就确定了。

3.2 传递函数的完整表达式与Simulink建模

把上面的参数代入修正后的传递函数：

Gvc(s) = 0.79 * 0.33 / (1 + s/13774) * 1 / (1 + s/(1.57e6*0.416) + s^2/(1.57e6)^2)

化简：

Gvc(s) = 0.2607 / (1 + s/13774) * 1 / (1 + s/653120 + s^2/2.465e12)

在Simulink中建模时，可以用Transfer Fcn模块直接输入分子分母系数。分子为[0.2607]，分母为两个环节的卷积。

第一个环节的分母：[1/13774, 1] = [7.26e-5, 1] 第二个环节的分母：[1/2.465e12, 1/653120, 1] = [4.06e-13, 1.53e-6, 1]

卷积后得到完整分母。在Simulink中可以用conv函数计算：

den1 = [7.26e-5, 1]; den2 = [4.06e-13, 1.53e-6, 1]; den = conv(den1, den2); num = [0.2607]; Gvc = tf(num, den); bode(Gvc);

这样就能看到波特图了。低频增益为20*log10(0.2607) = -11.7dB，主极点在2.19kHz，采样极点在250kHz附近。

注意：Simulink中如果直接用平均模型，需要确保开关频率足够高，否则仿真结果与理论推导会有偏差。我一般会把仿真步长设为开关周期的1/100以下。

3.3 补偿器设计与闭环验证

有了功率级传递函数，接下来设计补偿器。峰值电流模式通常用Type II补偿器（一个极点、一个零点、一个积分器）。

目标穿越频率取开关频率的1/10，即50kHz。但注意，主极点在2.19kHz，所以补偿器需要在2.19kHz处提供足够的增益提升。

Type II补偿器的传递函数：

Gc(s) = ωi * (1 + s/ωz) / (s * (1 + s/ωp))

其中ωi是积分增益，ωz是零点频率，ωp是高频极点频率。

设计步骤：

1. 把零点放在主极点附近，即ωz = ωp_power = 13774 rad/s
2. 把高频极点放在采样极点的一半处，即ωp = ωn/2 = 785000 rad/s
3. 调整积分增益ωi，使穿越频率为50kHz

在50kHz处，功率级增益约为：

|Gvc(j*2π*50000)| = 0.2607 / (50000/2190) = 0.2607 / 22.8 = 0.0114

需要补偿器提供1/0.0114 = 87.7倍的增益。在50kHz处，补偿器的增益约为：

|Gc(j*2π*50000)| = ωi / (2π*50000) * (50000/2190) / (1) = ωi * 22.8 / (2π*50000)

令其等于87.7，解得ωi = 87.7 * 2π * 50000 / 22.8 = 1.21e6 rad/s。

这样补偿器就设计好了。在Simulink中把功率级和补偿器连成闭环，跑一下阶跃响应，看看超调量和调节时间是否满足要求。

3.4 实测验证与波形分析

理论推导和仿真都过了之后，最后一步是实测。我一般会用一个简单的负载阶跃测试来验证相位裕度。

具体做法：让负载电流从5A跳到10A，观察输出电压的恢复波形。如果相位裕度在45度以上，波形应该是单调恢复或者只有很小的过冲。如果看到明显的振铃，说明相位裕度不足。

实测中我发现一个现象：理论推导的穿越频率是50kHz，但实测的负载阶跃响应显示系统带宽只有30kHz左右。排查后发现是电流检测电路的带宽限制了实际电流环的响应速度。电流检测运放的带宽只有1MHz，在500kHz开关频率下，电流环的延迟不可忽略。

这个坑很典型——理论推导假设电流环是理想的，但实际电路中电流检测、比较器、驱动都有延迟。这些延迟在低频段影响不大，但在高频段会显著降低相位裕度。

实操心得：如果实测带宽明显低于理论值，先检查电流检测电路的带宽和延迟。我一般会选带宽至少10MHz的电流检测运放，比较器延迟小于50ns。

4. 常见问题与排查技巧实录

4.1 传递函数推导中容易搞错的几个点

第一个坑：采样增益Ri的定义。不同教材对Ri的定义不一样，有的把Ri定义为1，有的定义为1/(1+Se/Sn)。我建议统一用Ri = 1/(1+Se/Sn)，这样物理意义清晰——Ri就是电流环的等效增益衰减因子。

第二个坑：电感电流平均值的表达式。很多人直接写iL_avg = ic，忽略了纹波项。在CCM下，iL_avg = ic - ΔiL/2，这个ΔiL/2在小信号分析中会引入一个与D有关的项，不能随便丢掉。

第三个坑：采样极点的频率。采样极点不是出现在开关频率处，而是出现在开关频率的一半处。这是因为峰值电流模式本质上是一个采样系统，采样频率等于开关频率，根据采样定理，采样效应在fsw/2处开始显现。

第四个坑：斜坡补偿的符号。斜坡补偿是加在电流检测信号上的，等效于降低了控制信号的有效值。所以Ri = 1/(1+Se/Sn)是小于1的，不是大于1。

4.2 仿真与实测对不上的排查思路

这个表是我在实际调试中总结出来的，基本上覆盖了80%以上的问题。剩下的20%通常是PCB布局、接地、噪声耦合等非理想因素导致的，那些就需要用示波器和频谱仪慢慢查了。

4.3 数字电源中的离散化实现要点

如果做的是数字电源，传递函数还需要离散化。常用的方法有双线性变换（Tustin）和零极点匹配法。

双线性变换的公式：

s = (2/Ts) * (1 - z^-1) / (1 + z^-1)

其中Ts是采样周期。把s代入连续传递函数，整理后得到z域传递函数。

我一般用MATLAB的c2d函数直接做离散化：

Ts = 1/500e3; Gvc_d = c2d(Gvc, Ts, 'tustin');

离散化之后，注意检查离散系统的极点是否都在单位圆内。如果有个别极点在单位圆外，说明采样频率太低或者连续模型本身有问题。

数字电源还有一个坑：计算延迟。从ADC采样到PWM更新，通常有一个开关周期的延迟。这个延迟在连续模型中表现为e^(-s*Ts)，在离散模型中表现为z^-1。设计补偿器时必须把这个延迟考虑进去，否则实际相位裕度会比理论值低很多。

注意：计算延迟对相位裕度的影响在穿越频率处约为360 * f_c * Ts度。如果穿越频率是50kHz，开关频率是500kHz，延迟就是360 * 50000 * 2e-6 = 36度。这个影响非常大，必须补偿。

4.4 多相BUCK中的传递函数变化

如果做的是多相交错BUCK，传递函数会发生变化。多相BUCK的等效开关频率是单相的N倍（N是相数），所以采样极点频率也提高到N * fsw / 2。同时，等效电感变为L/N，等效输出电容不变。

这意味着多相BUCK的带宽可以做得更高，动态响应更好。但代价是每相的电流检测和均流控制需要额外设计。

我在做一个4相BUCK的时候，一开始直接套用单相传递函数，结果补偿器设计出来带宽只有单相的水平。后来把等效电感改成L/4，采样极点改成2MHz，重新设计补偿器，带宽才提上去。

4.5 常见问题速查表

这个表可以贴在工位上，调试的时候随时对照。

5. 从推导到落地的几个关键决策点

5.1 什么时候用一阶模型，什么时候用二阶修正模型

一阶模型（只有主极点）在穿越频率低于开关频率的1/20时足够准确。比如开关频率500kHz，穿越频率25kHz以下，一阶模型完全够用。

但如果穿越频率做到50kHz以上，就必须用二阶修正模型，把采样极点考虑进去。否则相位裕度估计会偏高10到20度，实际系统可能振荡。

我的经验是：穿越频率取开关频率的1/10是一个比较激进的方案，需要精确的模型和良好的电流检测电路。如果电流检测延迟较大，建议取1/15到1/20。

5.2 斜坡补偿的工程选择

斜坡补偿Se的选择是一个折中：

• Se太小：占空比大于50%时次谐波振荡
• Se太大：电流环增益降低，低频增益下降，动态响应变慢

理论最优值是Se = Sf，此时Ri = 1/(1+1) = 0.5，电流环增益减半。但实际中我一般取Se = 0.5Sf到0.7Sf，这样Ri在0.59到0.67之间，兼顾稳定性和动态响应。

如果输入电压范围很宽，比如Vin从8V到20V变化，那么Sn和Sf都会变化，Se需要按照最恶劣情况设计。最恶劣情况是Vin最大时，此时Sn最大，Se/Sn最小，最容易发生次谐波振荡。所以Se应该按照Vin_max来设计。

5.3 电流检测方案对传递函数的影响

电流检测方案直接影响Ri和采样延迟。常见的方案有：

• 电阻检测：在低侧开关管源极串联一个检测电阻。优点是简单、便宜；缺点是损耗大，有共模噪声。
• 电感DCR检测：利用电感直流电阻上的压降检测电流。优点是无损；缺点是精度低，温度漂移大。
• 电流互感器：适用于高侧检测。优点是隔离、损耗小；缺点是体积大、成本高。
• MOSFET Rds(on)检测：利用开关管导通电阻检测电流。优点是无损；缺点是精度极差，温度系数大。

我一般用电阻检测做低侧检测，因为简单可靠。检测电阻取10mΩ到50mΩ之间，太小了信噪比不够，太大了损耗大。

检测电阻上的电压经过运放放大后送到比较器。运放的带宽和压摆率直接影响电流环的响应速度。我选运放的时候，带宽至少10MHz，压摆率至少50V/μs。

5.4 从连续域到数字域的完整流程

数字电源的完整设计流程：

1. 确定功率级参数（Vin, Vout, Iout, fsw, L, C）
2. 计算工作点（D, ΔiL, m1, Sf）
3. 选择斜坡补偿Se，计算Ri
4. 写出连续传递函数Gvc(s)
5. 设计连续补偿器Gc(s)
6. 用c2d离散化，得到Gc(z)
7. 在数字信号处理器中实现差分方程
8. 实测验证，调整参数

这个流程我走过很多遍，每一步都有坑。最大的坑是第6步和第7步之间的量化效应。数字信号处理器的定点运算会引入量化噪声，如果补偿器的极点靠近单位圆，量化噪声会被放大。所以离散化之后，最好用浮点仿真验证一下，再在定点数字信号处理器上实现。

实操心得：数字电源的补偿器系数不要用太高阶的，Type II就够了。高阶补偿器对量化噪声更敏感，而且调试起来麻烦。

6. 我个人在实际操作中的体会

峰值电流模式CCM BUCK的传递函数推导，说难不难，说简单也不简单。核心就是抓住三点：电感电流平均值与峰值的关系、斜坡补偿对采样增益的影响、采样极点的高频修正。把这三点搞清楚，传递函数自然就出来了。

我踩过最大的坑是忽略了电流检测延迟。理论推导和仿真都很好，一上电就振荡。后来用示波器看电流检测运放的输出，发现比理想波形延迟了200ns。200ns在500kHz开关频率下就是36度的相位损失，直接把相位裕度吃光了。换了运放之后问题解决。

另一个坑是斜坡补偿的斜率选择。一开始按照教材取Se = Sf，结果动态响应很慢。后来改成Se = 0.5*Sf，动态响应明显改善，而且没有次谐波振荡。所以教材上的最优值不一定适合你的应用，还是要根据实际情况调整。

最后分享一个小技巧：推导传递函数的时候，先把所有参数用符号表示，最后再代入数值。这样如果参数变了，只需要重新代入数值，不用重新推导。而且符号表达式能让你看清楚每个参数对传递函数的影响，方便优化设计。