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搞平衡小车的人，十有八九都会在“站起来”这件事上栽跟头：电机选好了，PID调了三天，轮子疯狂抖动或者直接趴窝。很多人第一反应是继续调参数，但我做了这么多年控制和机器人项目，可以负责任地说——参数调不出来，往往不是在调参环节出了问题，而是从一开始就没有动力学模型。平衡小车本质上是一个移动倒立摆系统，它的不稳定特性、控制周期要求、电机力矩需求，全部由动力学方程决定。这篇文章就围绕“平衡小车动力学建模”这条主线，把从受力分析、方程推导、线性化到状态空间的完整过程讲透，并给出仿真验证和实车落地的避坑经验。适合刚接触自平衡机器人、倒立摆控制，或者想从“盲调PID”进阶到“按模型设计控制器”的读者。

1. 为什么做平衡小车先要写动力学方程

1.1 不建模也能调平衡，但走不远

我先说句实话：只用PID盲调，某些情况下确实能让小车站起来。电机扭矩足、编码器分辨率高、控制周期短，这三个条件只要够好，哪怕模型完全不管，也能通过经验调出能站的参数。这也是很多新手在淘宝套件上能跑通demo的原因。

但问题在于，这种“能站”非常脆弱。换一块电池，电压变了，站不住了；地面从瓷砖变成地毯，站不住了；加了一个传感器或者改了重心高度，又站不住了。我见过不少人把PID参数调成一套“神奇组合”，换环境就废，然后开始怀疑硬件，甚至怀疑人生。

真正的原因是：你对系统没有数学描述，也就不知道每一个参数变化会产生什么影响。动力学建模解决的就是这件事——把“小车为什么倒、要多大扭矩才能扶正、什么控制周期才能稳住”这些问题，全部变成可以计算的表达式。有了模型之后，控制器设计、参数整定、硬件选型、稳定性分析都有了依据。

1.2 建模能让你少走哪些弯路

动力学模型对系统的影响，我把它展开说三条。

第一条，确定控制周期。平衡小车是一个典型的开环不稳定系统，倒下的时间常数通常在0.3到1秒之间。模型算出来你才知道，系统到底需要50Hz还是500Hz的控制频率。控制周期不够快，模型再漂亮也没用，物理上就忍不住。

第二条，指导电机选型。建模之后可以从力平衡方程反推出保持平衡所需的最大扭矩，再乘以安全系数。很多DIY套装站不起来，核心原因就是电机扭矩不够，而扭矩估算必须依赖动力学模型，靠感觉很难判断。

第三条，决定控制策略。如果用LQR这类基于状态空间的现代控制方法，模型本身就是控制器设计的核心输入，没有精确模型就不可能算出合理的反馈增益矩阵。即便是用PID，模型也能告诉你怎么拆分角度环和速度环的带宽，避免两个环路互相打架。

2. 建模前的准备：系统拆解与方法选型

2.1 平衡小车的系统组成

在动笔推导之前，必须先把研究对象定义清楚。我按标准的两轮自平衡小车来建模，它的物理组成如下：

• 车体：包含底盘、电池、主控板、传感器，建模时统一简化为刚性摆杆
• 左右轮：两个独立驱动轮，建模时简化为一个等效轮
• 驱动电机：带减速箱的直流电机，输出扭矩到车轮
• 姿态传感器：通常是IMU（惯性测量单元），输出角度和角速度

建模时有一个关键简化——两轮小车的左右运动是完全对称的，所以可以把它从三维空间简化到二维平面，只在前进方向分析。这时系统就变成了一个经典的“轮式倒立摆”结构：一个质量为M的轮子，承载着一根长度为l、质量为m的摆杆。

这里要提醒一点，简化不能过度。很多人把摆杆质量直接忽略掉，这在理论题里没问题，但实车上摆杆（车体）质量往往远大于轮子质量，忽略掉会导致模型严重失真。正确的做法是：如果追求简单，可以把轮子简化为纯滚动体，但车体质量必须保留。

2.2 牛顿-欧拉法和拉格朗日法怎么选

建模方法主要有两条路线，各有适用场景。

牛顿-欧拉法，核心思路是把每个刚体单独拿出来做受力分析，列力平衡和力矩平衡方程，然后通过相互作用力把各个刚体耦合起来。优点是物理意义直观，每个力的来源都清清楚楚；缺点是系统复杂时方程数量爆炸，为了消去内部约束力要做大量代数运算。

拉格朗日法，核心思路是把系统看成一个整体，只用广义坐标描述运动状态，通过动能和势能建立拉格朗日函数，再带入拉格朗日方程。优点是不需要考虑内部约束力，方程数量少、推导过程机械化；缺点是对抽象能力要求高，物理直觉不强的初学者容易推着推着就晕了。

以平衡小车为例，两个自由度（轮子转角、摆杆倾角），两三个刚体，牛顿-欧拉法完全能拿下。我个人建议初学者先走牛顿-欧拉法，把这个过程的每个力都想明白，对后续理解控制器非常有帮助。等到以后做四足机器人、机械臂这类多体系统时，再转用拉格朗日法。

2.3 建模假设：哪些能忽略，哪些不能忽略

仿真和现实之间的差距，全部来自建模假设。假设太多，模型干净但没用；假设太少，模型精确但复杂到无法推导。我按照平衡小车的特点，给出我的假设清单：

可以忽略：

• 轮子与地面之间的滑动（假设纯滚动）
• 空气阻力
• 电机电感动态（电气时间常数远小于机械时间常数）
• 传动齿轮间隙和弹性变形

不能忽略：

• 摆杆（车体）的转动惯量
• 车轮的质量和转动惯量
• 电机转子的等效转动惯量（这个非常关键，减速箱会把转子惯量放大到车轮上）
• 电机反电动势和电枢电阻的阻尼效应
• 静摩擦和库仑摩擦（在控制精度要求高时）

特别说一下转子惯量这个问题。直流电机经过减速箱后，等效到输出轴的转动惯量是原转子惯量乘以减速比的平方。举个例子，减速比30的电机，转子惯量1g·cm²，等效到输出轴就是900g·cm²，这个数值已经和车轮本身的惯量相当甚至更大。忽略它，模型给出的系统响应会明显偏乐观。

3. 核心推导：从受力分析到状态空间方程

3.1 系统的物理参数定义

在正式开始推导之前，把所有用到的符号统一列出来，后面所有公式都基于这套符号。

这里把“车体质心到轮轴的距离”用l表示，而不是惯常的“摆杆长度”，因为实际车体的质心位置不一定在几何中心，需要实测。建模时用质心参数会让结果更接近真实。

3.2 平动方程：轮子与车体的力平衡

先分析水平方向的受力。

车轮受到的水平力有两个来源：电机通过传动系统施加的驱动力F，以及车体通过转轴作用在车轮上的水平反力H。轮子沿水平方向的力平衡方程为：

M·ẍ = F - H

这个式子本身很简单，关键在于H怎么求。H是车体对车轮的水平反作用力，大小等于车轮对车体的水平推力，方向相反。所以接下来分析车体。

车体（摆杆）在水平方向除了受到转轴处的水平力H以外，还受到惯性力。车体质心的水平加速度可以分解为两部分：随轮轴一起平动的加速度ẍ，以及绕轮轴转动产生的水平加速度分量。质心相对轮轴的位置可以用( l·sinθ, l·cosθ )来描述（以竖直向上为角度零点），那么质心的水平位置是：

x_c = x + l·sinθ

对时间求两次导数：

ẍ_c = ẍ + l·θ̈·cosθ - l·θ̇²·sinθ

这后面一项 -l·θ̇²·sinθ是向心加速度，很多初版推导里面会漏掉，但它在高速摆动时足够大，不能省。

车体的水平运动方程：

m·ẍ_c = H

代进去：

H = m·(ẍ + l·θ̈·cosθ - l·θ̇²·sinθ)

再代回车轮的力平衡方程：

M·ẍ = F - m·(ẍ + l·θ̈·cosθ - l·θ̇²·sinθ)

整理一下：

(M + m)·ẍ + m·l·θ̈·cosθ - m·l·θ̇²·sinθ = F

这就是系统的第一个运动方程——平动方程。

3.3 转动方程：车体绕轮轴的力矩平衡

接下来分析车体的转动。选择轮轴作为参考点，可以避开转轴处的约束力。但这个参考点不是质心，也不是固定点，所以在列力矩方程时，需要考虑惯性力的贡献。

更好的做法是直接用车体质心的转动方程，把车体绕质心的转动写出来：

I·θ̈ = Στ（绕质心）

作用在车体上的力矩包括：重力产生的恢复力矩（方向是让车体倒下）、转轴处水平力H相对于质心产生的力矩、以及惯性力产生的力矩。

为了避免推导中出现混乱，我这里采用拉格朗日法的思路来校验牛顿-欧拉法的结果，也顺便展示两条路径最终收敛到一致方程的过程。系统动能包括平动动能和转动动能。设y方向为竖直方向，车体质心的竖直位置为：

y_c = l·cosθ

竖直速度为求导结果：

ẏ_c = -l·θ̇·sinθ

系统总动能为：

T = (1/2)·M·ẋ² + (1/2)·J·(ẋ/r)² + (1/2)·m·(ẍ_c² + ẏ_c²) + (1/2)·I·θ̇²

注意这里车轮动能里包含了一个由滚动约束引入的项，即车轮绕自身轴的转动动能，所以用J和轮子半径r，转速为ẋ/r。

势能只有车体重力势能：

V = m·g·l·cosθ

拉格朗日函数：

L = T - V

分别对广义坐标x和θ列拉格朗日方程：

对于x：

d/dt(∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = F

代入之后，得到的结果与我前面牛顿-欧拉推导的平动方程完全一致：

(M + m + J/r²)·ẍ + m·l·θ̈·cosθ - m·l·θ̇²·sinθ = F

多了一个J/r²项，这是车轮转动惯量参与平动的等效质量项。如果你只把车轮当纯滑动块处理，就丢掉了这一项。

对于θ：

d/dt(∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0（无外部力矩直接作用在θ上）

展开后：

(I + m·l²)·θ̈ + m·l·ẍ·cosθ - m·g·l·sinθ = 0

这就是第二个运动方程——车体转动方程。整体来看，系统是一个强耦合的二阶非线性方程组。

3.4 线性化：小角度近似的重要性

平衡小车工作的核心区域是“竖直附近”，也就是θ很小的时候。这时候可以做小角度近似：

sinθ ≈ θ cosθ ≈ 1 θ̇² ≈ 0（高阶小量，直接舍弃）

把上面的非线性方程组简化：

平动方程变成：

(M + m + J/r²)·ẍ + m·l·θ̈ = F

转动方程变成：

(I + m·l²)·θ̈ + m·l·ẍ - m·g·l·θ = 0

为了让读者清楚每个近似的含义，我解释一下：sinθ替换成θ，是把非线性恢复力矩线性化；cosθ替换成1，是忽略倾斜对水平加速度耦合的影响；θ̇²项丢弃，是因为它在本模型中只起二阶修正作用，在小角度摆动时贡献可以忽略。

线性化后的方程有两个重要性质：第一，方程是线性的，可以直接用线性控制理论工具箱来处理；第二，它在一个较宽的角度范围内仍然有不错的精度。实测下来，当倾角在±15度以内时，线性模型和非线性模型的输出差异很小，完全够控制系统使用。

3.5 状态空间表达式的导出

控制器设计通常用状态空间形式，所以要继续把二阶方程组改写成一阶状态空间方程。选择状态向量：

X = [x, ẋ, θ, θ̇]ᵀ

输入为U = F，输出为小车位移x和倾角θ。

先把线性化方程组处理一下。由平动方程得到ẍ的表达式，由转动方程消去θ̈项，解出ẍ和θ̈。

两式联立消去θ̈得：

ẍ = [F - m·l·(m·g·l·θ)/(I + m·l²)] / [M + m + J/r² - (m·l)²/(I + m·l²)]

为了简洁，定义：

α = M + m + J/r² β = m·l γ = I + m·l²

于是方程可以整理为：

α·ẍ + β·θ̈ = F β·ẍ + γ·θ̈ = β·g·θ

解这个二元一次方程组：

ẍ = (γ·F - β²·g·θ) / (α·γ - β²)

θ̈ = (α·β·g·θ - β·F) / (α·γ - β²)

写成矩阵形式：

d/dt [x, ẋ, θ, θ̇]ᵀ = A·[x, ẋ, θ, θ̇]ᵀ + B·F

其中A为4×4矩阵，B为4×1列向量：

A = [0, 1, 0, 0; 0, 0, -β²·g/(α·γ-β²), 0; 0, 0, 0, 1; 0, 0, α·β·g/(α·γ-β²), 0]

B = [0; γ/(α·γ-β²); 0; -β/(α·γ-β²)]

这组矩阵方程就是平衡小车线性模型的核心。后面无论是分析能控性、能观性，还是设计LQR控制器，都要反复用到A和B矩阵。

3.6 从状态空间到控制器设计的桥接

有了状态空间模型，可以先做一个有意思的分析——看看系统开环极点在哪里。

系统的开环特征方程来自A矩阵的特征值。用一组典型参数代入算一下：车体质量m=1.2kg，车轮等效质量加车体水平量α=2.0kg，β=m·l，其中l=0.12m，γ取0.05，g取9.8。把A矩阵代入MATLAB的eig()函数，会算出特征值大致为：

λ = 0（两个，对应纯积分位置） λ ≈ +5.1（正实部，不稳定） λ ≈ -5.1（负实部，稳定）

正实部的根对应倾倒模态，物理含义是：如果没有控制力，任何微小倾斜都会指数放大。算出根之后，控制器设计的任务就很清晰了——把正实部的极点拉到左半平面，同时保证响应速度和阻尼合适。这一步为后面大家常问的“PID参数怎么给”“LQR权重矩阵怎么定”提供了理论依据，就不再是盲目试凑了。

4. 参数识别与模型验证

4.1 物理参数从哪来：称重、摆测与辨识

状态空间方程里的α、β、γ这些组合参数，最终要还原到物理参数才能用于实车。参数来源有三个渠道：

第一个是直接测量。用车用电子秤称出车体质量和车轮质量；用游标卡尺量轮径；车体质心位置可以通过“把车体横放在一根细杆上找平衡点”的方式实测。这个方法粗糙但快，出来的参数足够做仿真初稿。

第二个是摆动实验。把车体固定在一个刀口支架上，让它像单摆一样自由摆动，记录摆动周期T，用周期公式反推转动惯量。公式是：

I = m·g·l·(T/2π)² - m·l²

这个方法需要车体能自由摆动，适合在正式装配前做。

第三个是系统辨识。在车体上加已知的激励信号（比如扫频正弦力矩），记录编码器和IMU的输出，用MATLAB的System Identification Toolbox或Python的sysidentpy拟合传递函数参数。这个方法最准，但对工具链要求高，适合做产品级项目时使用。

实测经验：我做过三次参数识别，直接测量和摆动实验出来的参数误差在10%以内，系统辨识出来的参数和理论值误差在3%以内。对于DIY项目，直接测量加摆动实验就够了。

4.2 摩擦与死区：为什么理论模型在低速时不准

标准动力学模型里没有摩擦项，但实车电机减速箱、轴承、轮地接触都存在摩擦。摩擦的主要影响集中在两个地方：

第一个是静摩擦。小车在目标速度接近零的时候，静摩擦会让车轮“卡住不动”，直到力矩超过静摩擦阈值才开始运动。这是导致平衡小车低速漂移的元凶之一。

第二个是库仑摩擦，与速度方向相关，大小近似恒定。它的影响是让系统出现稳态误差，尤其在小角度平衡时，控制器需要额外输出一个偏置力矩来克服摩擦。

处理方式是在模型里加摩擦补偿项：

F_friction = F_c·sign(ẋ) + b·ẋ

其中F_c是库仑摩擦系数，b是粘性摩擦系数。前者用“逐渐加大力矩直到轮子刚好开始转动”的临界法标定，后者可以在匀速转动时通过力矩除以角速度算出来。

不过实车控制中，多数人不会真的在模型里显式加摩擦项，而是通过控制器里的积分项或者摩擦前馈来补偿。模型的摩擦项主要用于仿真阶段验证控制器的鲁棒性。

4.3 模型验证的三种方法

模型建完了，怎么确认模型可信？我按成本从低到高列三个方案。

方案一：仿真对比法。用Simulink或者Python搭建非线性模型，给同样的阶跃或正弦输入，把仿真输出的倾角响应和实测响应放在同一张图里对比。如果趋势一致、幅值误差在可接受范围内，模型基本可靠。

方案二：频率响应法。给电机输入扫频信号，同时记录倾角的频率响应（用傅里叶变换提取幅值和相位），和理论模型的Bode图对比。这个方案能全频段验证模型，但需要示波器或者能记录同步数据的采集手段。

方案三：闭环行为验证。直接跑控制器，记录闭环系统的极点位置或者响应的阻尼比，和用模型设计的预期值对比。这个方法最接近实际，但前提是控制器本身工作正常，否则不容易区分是模型误差还是控制器问题。

我个人的推荐路径：先做方案一的时域对比，拿到合理结果后再做方案二的频域对比。两步都过，模型就可以放心用来设计LQR。

5. 从模型到控制：建模如何改变调参方式

5.1 用PID时，模型的价值在哪里

很多人以为PID不需要模型，这是误解。PID确实可以不依赖模型进行整定，但有了模型，PID整定可以从“猜”变“算”。

以串级PID为例，平衡小车通常采用外环角度环、内环角速度环或者位置环的结构。模型能告诉你的第一件事是内环应该比外环快多少。理论经验值是内环带宽是外环的3到5倍，这样才能保证两个环路不会耦合振荡。这是用模型里的极点位置和响应时间常数推算出来的。

模型能告诉你的第二件事是初始PID参数的估算值。以角度环P为例，通过根轨迹分析，可以算出使系统临界稳定的增益值，然后取它的0.5到0.8倍作为初始值。相比从零开始盲目试，这个方法至少能把调参时间缩短一半。

5.2 用LQR时，模型就是设计的基石

LQR设计和PID最大的不同在于：LQR的反馈增益矩阵K是通过解Riccati方程直接算出来的，而这个方程的两个输入——系统矩阵A和输入矩阵B——全部来自模型。模型准，K就准；模型偏，K就跟着偏。

用LQR时，需要设置的只有两个权重矩阵Q和R。Q对应状态偏差的惩罚，R对应控制输入的惩罚。经验规则是：

• 角度误差的惩罚权重通常设得比位移误差大很多。因为角度稍微偏一点，小车就会迅速倒下，角度误差的“代价”远大于位移误差。
• 控制输入的惩罚R不宜过小，否则算出来的增益过大，输出容易饱和，实车会出现剧烈抖动。

拿前面算出的A、B矩阵，在MATLAB里用lqr(A, B, Q, R)一次就能得到K矩阵。实测效果比串级PID自然很多，整定参数也就两个矩阵，比调三四个PID系数省事多了。

5.3 仿真到实车的落差距离

模型再准，仿真和实车之间也存在天然差距。我总结为三个“代沟”。

第一个代沟是执行器延迟。仿真里力矩是即时输出的，实车从指令到输出要经过PWM更新、电机响应、减速箱传动，累计延迟可能达到10到20毫秒。这个延迟在仿真里不体现，但在实车上是导致振荡和发散的重要因素。解决办法是在仿真链路里人为加一个一阶惯性环节模拟执行器延迟，再把延迟逐步加大，观察系统在多大延迟下开始失稳。

第二个代沟是传感器延迟和噪声。仿真里角度是完美的，实车IMU出来的角度带有滞后和噪声，Kalman或互补滤波的相位延迟也会影响控制效果。建模时可以把测量方程里加白噪声，测试控制器的鲁棒性边界。

第三个代沟是离散化。模型是连续的，控制器跑在单片机上必须是离散的。从连续模型到离散控制器，要选择合适的离散化方法。零阶保持器法在常用控制频率下精度足够，但如果控制频率低于系统带宽的10倍，那就需要直接用离散状态空间模型设计控制器，不能再用连续模型了。

6. 常见问题与排查技巧实录

6.1 模型仿真稳定，实车振动不停

这个问题出现的概率最高，几乎每个人都会遇到。现象是仿真里LQR或者PID控制得丝般顺滑，上实车就高频抖动，幅度不大但明显能听到电机嗡嗡响。

排查顺序：

1. 先看控制频率。是不是低于1kHz？多数主控跑串级PID加滤波，实际控制频率可能只有200到500Hz，高频抖动大概率是控制周期太长。
2. 再看传感器滤波。IMU的原始数据如果直接使用，噪声能量大会通过微分项放大。观察角度微分信号的波形，如果毛刺明显，需要加强滤波或改用更高品质的传感器。
3. 最后检查电机。如果前两步没问题，大概率是电机响应太快而阻尼太小，模型里的粘性摩擦b值比实际小。试着在模型里加大b值重算LQR增益，或者在实车上增加微分阻尼项的权重。

6.2 模型参数不准，LQR增益偏大导致饱和

LQR算出来的增益如果过大，实车会出现一个典型症状：小车来回大幅摆动，电机发热严重，看起来像是控制器“抽搐”。

原因通常是模型高估了执行器能力，比如低估了摩擦、高估了电机减速箱效率。此时计算出的控制力矩远小于实际需要的力矩，控制器会试图用很大的增益来弥补，结果超出输出范围。

处理方式有两种。第一种是把R权重加大，让LQR自动降低增益，好处是简单，坏处是响应变慢。第二种是回过去修正模型参数，重点检查电机扭矩常数和减速箱效率，用实测堵转力矩除以额定电流，算出来的扭矩常数通常比标称值低10%到20%。

6.3 电量下降后，系统性能明显退化

平衡小车用电池供电，电压变化对电机力矩常数几乎没有影响，但影响PWM驱动占空比和力矩之间的换算关系。电压高的时候，同样占空比对应的平均电压高，力矩也大；电压掉下来之后，力矩不足，系统就开始软。

好的做法是把控制器的输出从“占空比”改成“期望力矩”，再通过当前的电池电压实时换算成占空比。也就是在控制环路外面加一个电压前馈。这个操作完全不影响模型和控制器本身，但实车效果提升非常明显。

6.4 常见问题速查表

6.5 调试工具推荐

最后分享一个效率工具。调试平衡小车时，强烈建议把状态数据通过无线串口或者蓝牙实时回传到电脑，用开源的工具如PlotJuggler或者Serial Studio画波形。对比角度设定值、实际角度、控制输出这三条曲线，很多问题一眼就能定位。依赖LED灯串口打印一个个数，效率太低。

我在实际调试中习惯把以下四个量作为固定监控项：倾角、倾角速度、目标速度、PWM输出。只要这四个量波形正常，控制器基本就稳了；哪里不对，看波形基本能猜个八九不离十。

7. 我的一些个人体会

平衡小车动力学建模这件事，我做过不止一次。每次从受力分析开始到最后跑通，都会有一些新的理解。第一次做的时候，我以为模型的价值是“算出一个精确的公式”，后来发现更重要是建模过程中迫使你把系统的每个环节都想清楚——电机、传感器、摩擦、延迟，任何一个环节的疏忽都会在某个角落以某种形式报复你。

最后分享一个小技巧：建模不用一开始就追求完美。先把最简线性模型搭起来，跑通控制器，再用实验数据逐步修正模型。这个过程很像先画素描再上色，比一开始就盯着所有细节要高效得多。等到你能从实验数据里看出“这像是阻尼偏小”或者“这个响应延迟太大了”的时候，动力学建模就算是真正入门了。