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简介：倒立摆自适应动态规划（ADP）MATLAB仿真资料包，面向控制理论、强化学习与MATLAB编程学习者，重点演示如何用ADP算法实现单级倒立摆的稳定控制，适合作为自动化、机器人或电气相关专业的课程设计与毕业设计参考。压缩包共4个文件，约1.72MB：两个m脚本分别承担主仿真流程与倒立摆动力学模型，一个CAJ文档提供基于近似动态规划的倒立摆控制参考论文，另有JPG图片展示随机起始状态下的控制效果。资源已有1635人学习下载，说明该实例在相关学习者中有较高热度。源码以完整可运行的MATLAB仿真为主体，包含系统建模、ADP迭代求解、仿真循环与结果可视化，使用者可直接修改模型参数，观察控制器在不同初始条件下逐步将摆杆稳定至垂直平衡的过程；CAJ文献进一步补充算法推导与结果分析，帮助读者将仿真代码与理论方法对照理解，快速复现ADP倒立摆控制实验。

1. 倒立摆 MATLAB 仿真：一条从动力学到闭环控制的完整链路

倒立摆是最典型的欠驱动非线性系统：小车加摆杆两个自由度，却只有一个控制输入。教材讲它，是为了引出状态空间和 LQR；工程上做自平衡小车、机器人运控的人，也先用倒立摆仿真验证算法，再碰真实硬件。

用 MATLAB 写倒立摆仿真程序，本质是把「建模—线性化—设计控制律—验证」这条链路完整跑通。程序的价值不在复现课本公式，而在每一环都变成可调、可看、可出错的代码。曲线发散、符号写反、权重设错，每个问题都会逼你把背后的理论再想一遍，这正是它作为入门项目至今没被替代的原因。

2. 建立倒立摆动力学模型，用 ode45 跑通开环 MATLAB 仿真

2.1 小车-摆杆模型的运动方程怎么来

常见做法取「小车 + 摆杆」二自由度模型，这也是自平衡小车、双轮机器人的通用等价模型。小车质量 M，摆杆质量 m，摆杆长度 l，重力加速度 g；状态取四个：小车位移 p、速度 ṗ、摆杆角度 θ、角速度 θ̇。θ 从直立位置算起，θ = 0 是竖直向上，θ = π 是自然下垂，外力 F 沿水平方向作用在小车质心。

用拉格朗日方程推出两个耦合的二阶方程：

(M+m) p̈ + m l θ̈ cosθ − m l θ̇² sinθ = F m l² θ̈ + m l p̈ cosθ − m g l sinθ = 0

θ̇² 项是摆杆旋转带来的向心加速度贡献，是非线性的主要来源之一，线性化时会被直接忽略，但它决定了开环大角度扰动下系统行为的真实性。θ 定义在直立点这一点很关键：教材从下垂点建模时符号会差一个负号，后面线性化、算 LQR 增益都会联动出错，建议在代码注释里固定这个约定。

2.2 把方程写成 ode45 能直接计算的函数

ode45 要求把方程改写成 dstate/dt = f(t, state) 的形式。上面的方程对 p̈ 和 θ̈ 是耦合的，手解显式表达式容易抄错，我一般用质量矩阵法：写成 M(q)·acc = rhs，在函数里用左除解加速度。

% cart_pole_dynamics.m function dstate = cart_pole_dynamics(t, state, params, F) % state = [p; p_dot; theta; theta_dot] M = params(1); m = params(2); l = params(3); g = params(4); p = state(1); p_dot = state(2); theta = state(3); theta_dot = state(4); Mq = [M + m, m * l * cos(theta); m * l * cos(theta), m * l^2]; rhs = [F - m * l * theta_dot^2 * sin(theta); m * g * l * sin(theta)]; acc = Mq \ rhs; % 解出 [p_ddot; theta_ddot] dstate = [p_dot; acc(1); theta_dot; acc(2)]; end

逻辑说明：Mq \ rhs是求解线性方程组Mq * acc = rhs的标准写法，比inv(Mq) * rhs数值上更稳，尤其摆杆接近水平、矩阵条件数变大的区间，左除几乎不放大误差。刻意不展开 p̈ 和 θ̈ 的显式表达式，也是为了避免手写长公式时符号出错。

参数说明：params顺序固定为[M, m, l, g]，调用处不要调换；F是外力，开环仿真先给 0。角度单位统一用弧度，绘图时再用rad2deg转。如果看到角度曲线一开始就往负方向走，说明初始状态符号与模型约定不一致，先检查约定，不要急着调控制器。

2.3 开环仿真：先让摆杆倒下，验证模型物理行为

初始状态我习惯取[0; 0; 0.1; 0]，摆杆偏离直立约 5.7°，小车静止。零外力仿真两秒，摆杆应在重力作用下倒下，小车被反作用力推向另一侧。这一步是检验模型符号正确性的最快路径：摆杆往正方向倒，小车应该往负方向移动，才符合动量守恒。

% run_open_loop.m params = [1.0, 0.2, 0.5, 9.81]; % M=1kg, m=0.2kg, l=0.5m tspan = [0, 2]; state0 = [0; 0; 0.1; 0]; % 轻微偏离直立位 [t, states] = ode45(@(t, s) cart_pole_dynamics(t, s, params, 0), ... tspan, state0); figure; plot(t, rad2deg(states(:,3)), 'LineWidth', 1.2); xlabel('时间 (s)'); ylabel('摆杆角度 (deg)'); grid on;

参数说明：tspan只给起点和终点时，MATLAB 自动决定输出点密度；后面做动画再改成linspace(0, 2, 2000)强制均匀输出。states(:,3)取角度整列，rad2deg只用于显示。跑完应看到角度从 0.1 rad 增长到接近 π；如果曲线变平或出现台阶，多半是误差容限下没采够点，用odeset('RelTol', 1e-6)作为第三个参数传入ode45再跑。

后续仿真统一用这张物理参数表，M、m、l、g 固定后，剩下的变量只有 Q、R 和初始角度：

3. 倒立摆状态空间线性化与 LQR 控制器设计：Q、R 决定控制风格

3.1 在直立平衡点做线性化，写出 A、B 矩阵

闭环控制的目标是把摆杆维持在 θ = 0 附近。在这个平衡点做小角度近似：cosθ ≈ 1，sinθ ≈ θ，θ̇² 作为高阶小量忽略。代入上面的非线性方程并整理成 ẋ = Ax + Bu 标准形式：

A = [0 1 0 0; 0 0 -m*g/M 0; 0 0 0 1; 0 0 (M+m)g/(Ml) 0]

B = [0; 1/M; 0; -1/(M*l)]

x = [p; ṗ; θ; θ̇]，输出取小车位移和摆杆角度时 C = [1 0 0 0; 0 0 1 0]，D = 0。注意 A(4,3) = (M+m)g/(Ml)，这一项随 l 增大而减小，特征值越靠近虚轴，系统越接近临界状态，这也解释了为什么实物摆杆越长越难控制。线性化模型只负责设计控制器；仿真验证必须回到非线性模型，两者不要混用。

3.2 用 lqr() 算反馈增益，Q、R 按这个顺序调

LQR 极小化 J = ∫(xᵀQx + uᵀRu)dt，Q 是状态权重对角阵，对应 [p, ṗ, θ, θ̇]；R 是控制力惩罚标量。我一般先定 θ 的权重（控制核心目标），再定 p 的权重（限制小车行程），速度项初始都给 1，最后微调 R。

代码直接用 Control System Toolbox 的lqr()函数：

% design_lqr.m M = 1.0; m = 0.2; l = 0.5; g = 9.81; A = [0 1 0 0; 0 0 -m*g/M 0; 0 0 0 1; 0 0 (M+m)*g/(M*l) 0]; B = [0; 1/M; 0; -1/(M*l)]; Q = diag([10, 1, 100, 1]); R = 0.1; K = lqr(A, B, Q, R); fprintf('反馈增益 K = [%.4f, %.4f, %.4f, %.4f]\n', K);

参数说明：diag把四个权重排成对角阵，顺序必须与状态定义一致，否则相当于对错误的物理量加权。lqr默认求解连续时间代数黎卡提方程，返回 1×4 行向量。第一次运行建议打印出来看符号：K(3) 必须为正，摆角才能被拉回零；如果为负，优先检查 A 矩阵里 θ 的符号约定，而不是调权重。

提示：没有 Control System Toolbox 时，可以用care()求解黎卡提方程得到 P，再按 K = R⁻¹BᵀP 手算反馈增益，结果与lqr()一致。

3.3 把 u = −Kx 接回非线性模型，跑出真正的闭环响应

控制器基于线性模型设计，但必须作用在cart_pole_dynamics这个非线性函数上，否则验证毫无意义。闭环脚本只用一个匿名函数包住反馈律，就能复用第 2 章的动力学函数：

% run_closed_loop.m params = [1.0, 0.2, 0.5, 9.81]; K = [-3.1623, -3.1769, 41.0955, 8.8022]; % 占位增益，以 lqr 输出为准 tspan = [0, 5]; state0 = [0; 0; 0.1; 0]; [t, states] = ode45(@(t, s) cart_pole_cl(t, s, params, K), tspan, state0); plot(t, rad2deg(states(:,3))); xlabel('时间 (s)'); ylabel('摆杆角度 (deg)'); grid on; function dstate = cart_pole_cl(t, state, params, K) u = -K * state; % 状态反馈，u 是标量控制力 dstate = cart_pole_dynamics(t, state, params, u); end

逻辑说明：匿名函数把时间、状态、参数一次性传入闭环函数，内部先算u = -K * state，再调用非线性动力学。K 的第 3 列直接作用于摆角，所以它的符号和数值决定了控制方向与力度。运行后角度应在 1～2 秒内收敛到 0 附近并保持，小车位移同时被拉回原点附近。

参数说明：示例 K 只为了让脚本能直接跑，实际请用design_lqr.m的输出替换。把state0的第三行改成 0.5 再跑，会发现收敛明显变慢甚至失败——这不是代码问题，而是线性控制律在大角度区间的固有局限，也是后续进阶到滑模或能量控制（swing-up）的出发点。

4. 把倒立摆仿真搬进 Simulink，并输出一个摆杆动画

4.1 用 S-Function 在 Simulink 里复用同一个动力学函数

脚本仿真适合调参和跑批量数据，但演示控制逻辑时 Simulink 更直观。常见做法是搭一个环形结构：S-Function 封装非线性动力学，Mux 把状态汇总，Gain 矩阵乘状态得到控制力，Scope 看曲线。很多人纠结要不要在 Simulink 里重写一遍动力学，其实不用：直接复用cart_pole_dynamics.m，注册成 Level-2 S-Function，模型逻辑和脚本完全一致，避免两套模型对不上。

Level-2 S-Function 有固定模板，核心是三个回调：InitializeConditions里把初值写入连续状态，Derivatives里调用动力学函数，Outputs里把状态透传出去。完整模板用edit sfuntmpl生成，按下面这个骨架填：

% cart_pole_sfun.m (Level-2 S-Function 回调核心) function cart_pole_sfun(block) setup(block); function setup(block) block.NumInputPorts = 0; block.NumOutputPorts = 1; block.NumContStates = 4; block.NumDialogPrms = 2; % 初值向量、物理参数 block.SetPreCompOutPortParamToDynamic; block.SampleTimes = [0 0]; % 连续采样 block.RegBlockMethod('InitializeConditions', @Init); block.RegBlockMethod('Derivatives', @Deriv); block.RegBlockMethod('Outputs', @Output); function Init(block) block.ContStates.Data = block.DialogPrm(1).Data; % 初值向量 function Output(block) block.OutputPort(1).Data = block.ContStates.Data; function Deriv(block) params = block.DialogPrm(2).Data; % [M m l g] F = 0; % 开环测试 block.Derivatives.Data = cart_pole_dynamics(0, ... block.ContStates.Data, params, F);

参数说明：DialogPrm是 S-Function 的 mask 参数，这里约定第一个存初值[0;0;0.1;0]，第二个存[M,m,l,g]，顺序不要和动力学函数里的params混。SampleTimes = [0 0]声明连续系统，Simulink 求解器才能用变步长 ode45 驱动它。上面骨架是开环版本；做闭环时把NumInputPorts改为 1，在Derivatives里读block.InputPort(1).Data作为 F 即可。

4.2 用 patch + line 写一个可复用的小车摆杆动画

动画是报告和答辩里最能说清楚问题的输出。思路很简单：每画一帧，删除上一帧的小车矩形和摆杆线段，循环滚动。MATLAB 的patch适合画矩形，line画摆杆，delete做擦除。

% animate_cart_pole.m figure('Color', 'w'); hold on; axis([-3 3 -0.6 1.8]); axis equal; grid on; car_w = 0.4; car_h = 0.1; step = max(1, floor(length(t) / 500)); % 把总帧数压到 500 左右 % 这里的 states 来自 run_closed_loop.m 的输出 for k = 1:step:length(t) p = states(k,1); th = states(k,3); car = patch([p-car_w/2 p+car_w/2 p+car_w/2 p-car_w/2], ... [0 0 car_h car_h], [0.55 0.75 1.0]); pole = line([p, p + l*sin(th)], ... [car_h, car_h + l*cos(th)], ... 'LineWidth', 4, 'Color', 'k'); drawnow; pause(0.02); delete(car); delete(pole); end

逻辑说明：patch用四个顶点画小车矩形，line从车顶中心画摆杆，摆杆末端由l*sin(th)和l*cos(th)从角度换算得到；drawnow强制刷新画布，不加它动画会攒到最后一次性显示。delete删掉旧帧，等效于擦除重画，比clf整体清屏快得多，画面也不闪烁。

参数说明：step控制抽帧密度，总帧数压到 500 左右，避免状态点太多导致动画卡顿；pause(0.02)控制帧间间隔，改小就是加速播放。脚本里l用params(3)取出，不要硬编码；角度和位移的单位保持一致，绘制前统一换算好。

提示：动画速度不等于仿真速度。tspan的物理时间、pause的墙钟时间、drawnow的实际刷新率三者独立，验收只看动画行为，不要试图严格对齐时间轴。

5. 倒立摆仿真排错三招：先看发散，再看符号，最后验极点

5.1 三个最常踩的坑

仿真发散、曲线不收敛，绝大多数时候不是控制器不行，而是模型层的问题。下面三个坑按排查优先级排好，照表检查比反复调 Q、R 更快：

5.2 用闭环极点位置和扰动峰值做验证

验证 LQR 设计是否合理，有两个不依赖肉眼观察的办法。一是直接读闭环极点，eig(A - B*K)应全部落在左半平面，主导极点实部对应时间常数 τ ≈ 1/|Re(λ)|，收敛时间约为 3～5τ，可以反过来检验 Q、R 是否过保守。二是给小车加一个持续 0.2 秒的阶跃力扰动，记录摆角最大偏差和控制力峰值，和物理执行器的极限做对比。

% verify.m eig(A - B*K) % 所有特征值负实部即收敛 [max_dev, idx] = max(abs(states(:,3))); % 扰动峰值 fprintf('最大摆角偏差 = %.3f rad, 时间 %.2f s\n', max_dev, t(idx));

参数说明：eig的结果若出现共轭复根，虚部对应振荡频率，实部对应衰减速率；max返回峰值和位置，峰值超过 0.35 rad 说明增益偏弱，回到第 3 章的表加大 Q(3,3)。固定 M、m、l、g 四个物理参数，只动 Q、R，是保证发散时可定位问题的前提。仿真收敛后，这套 K 可以直接搬到实物控制器上，换掉ode45为周期采样循环即可，算法本体不用改。

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