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1. 先把这个老问题翻译成代码能理解的条件

B3836这个编号，在GESP二级的题库里挺出名，本质就是一道活了一千五百多年的老题——百鸡问题。每次带学生备战GESP二级，我都会拿它当枚举思想的入门例题。这道题表面上是个数学题，实际上考的是你有没有能力把文字条件拆成循环和if。很多孩子一看"公鸡母鸡小鸡"就慌了，其实读完题你会发现，需要写的代码不超过三十行。

先把原题的意思捋一遍。题目出自中国古代数学著作《张邱建算经》，原话是"鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问翁、母、雏各几何。"GESP二级的B3836就是把这个故事数字化：公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡3只共1文钱。现在手里有100文钱，要刚好买到100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡分别多少只。按公鸡数量从小到大输出所有满足条件的方案，如果没有方案，输出None。

这道题没有输入，直接输出结果。我习惯让学生先别碰电脑，拿笔把答案算出来，然后再去想代码怎么写。因为只有你先知道答案长什么样，后面写程序验证起来才有底。

1.1 把题目条件翻译成数学表达式

设公鸡为a只，母鸡为b只，小鸡为c只，条件其实就两条：

• 数量条件：a + b + c = 100
• 价格条件：5a + 3b + c / 3 = 100

价格条件里为什么是c/3而不是别的？因为三只小鸡才一文钱，所以c只小鸡的总价就是c除以3。但这里藏着一个很容易被忽略的前提：鸡只能整只买，不可能出现"买半只小鸡"的情况。所以c必须是3的倍数，也就是c % 3 == 0，否则这一组数据根本不成立。这个条件在翻译成代码时一定要写出来，很多人的第一版程序就是漏了它，导致把不该输出的方案也输出了。

还有一个隐含要求是：a、b、c都是非负整数。虽然题目没直接说"可以一只公鸡都不买"，但数学上买0只是合法的。后面我们会看到，这个"0"恰恰是最容易漏掉的一类答案。

1.2 为什么GESP二级会拿它当压轴

GESP二级的考纲很明确：顺序结构、分支结构、循环结构。不考数组、不考字符串处理、不考函数递归。在这么小的知识范围内，能出的有区分度的题目其实不多，百鸡问题就是其中最典型的一类：不需要任何高级数据结构，只要你会写for循环和if判断，再有一点"把所有可能性都试一遍"的枚举意识，就能做出来。

我把这道题定位成"枚举思想的试金石"。它考的不是你会不会某个语法，而是拿到一个条件之后，能不能想到用多层循环把解空间完整地扫一遍，再用if把符合条件的方案筛出来。这个思路在二级阶段能救命，在后面三级、四级的模拟题里更是常客。很多学生有个误区，觉得这种题要先解数学方程，解出来再输出答案。但对信息学竞赛来说，枚举才是更通用的解法，因为万一题目把100改成127，方程可能就不好解了，而枚举程序只要改一个数还能跑。

1.3 输出结果到底长什么样

无输入，直接打印四行：

0 25 75 4 18 78 8 11 81 12 4 84

这是我让学生先手算出来的结果，每组三个数依次是公鸡、母鸡、小鸡。我经常提醒他们注意第一行，公鸡数量是0。很多孩子潜意识里觉得"买鸡"至少得买一只公鸡，结果把这一组漏了，最后只输出三行，白白丢分。题目要求按公鸡数量从小到大输出，0、4、8、12正好是升序，待会写程序的时候只要让公鸡的循环从小到大走，输出顺序就天然满足。

2. 最稳妥的思路：从三重循环到二重循环的降维

现在进入正题。我见过太多初学者一上来就试图用数学技巧直接推导，结果把自己绕晕。信息学竞赛里最忌讳的就是"想太多，写太少"。考试时间有限，先把一个能跑出正确答案的版本写出来，再考虑优化，这才是正确节奏。

2.1 三重循环：先跑通再谈优化

最直观的做法是让a、b、c都从0枚举到100，把所有组合都试一遍，把满足条件的打印出来。代码长这样：

#include <cstdio> int main() { for (int a = 0; a <= 100; ++a) { for (int b = 0; b <= 100; ++b) { for (int c = 0; c <= 100; ++c) { if (a + b + c != 100) continue; if (c % 3 != 0) continue; if (5 * a + 3 * b + c / 3 != 100) continue; printf("%d %d %d\n", a, b, c); } } } return 0; }

这段代码总共循环了101乘101乘101次，约103万次。听起来挺大，但对现代评测机来说就是几十毫秒的事。GESP二级的评测环境跑这段程序毫无压力，哪怕你完全不优化，也能拿满分。所以我的建议是：如果你在考场上脑子一时转不过弯，写三重循环保底完全没问题，至少比推导错数学公式导致全盘皆输要强得多。

这里有一点要注意：判断条件为什么用continue而不是用if包住整个输出？两种写法效果一样，但我更推荐用continue，因为它能让"不满足条件就跳过"的思路更清晰，代码少了嵌套，不容易把大括号配对搞错。对刚开始学循环嵌套的孩子来说，这个习惯能省掉很多排查错误的时间。

2.2 循环边界的学问：不是越大越安全

上面代码里三个循环都写的是a <= 100，其实这个范围可以缩小得更多。公鸡5文一只，100文最多买20只，所以a最大就是20；母鸡3文一只，最多买33只，所以b最大是33；小鸡不管多便宜，总数不能超过100，所以c最大是100。把上限改小之后，循环次数变成21乘34乘101，大概7.2万次，比原来快了一个数量级。

但我要提醒一句：缩小循环范围的前提是你对条件确实理解透了，否则很容易出错。有些人图省事把公鸡循环写成a < 20，这就漏掉了a=20这一层。虽然a=20时价格已经花光100文，不可能还有母鸡和小鸡，这组解不存在，但万一题目数据变了，这种写法就有可能漏解。稳妥起见，边界一律用<=，别在这种地方赌运气。

还有一个更隐蔽的边界问题：a虽然最多20，但当a取到20时，b其实只能是0。如果你不把b的上限改成100-a，而是直接让b从0枚举到33，程序也不会出错，因为c=100-a-b会自动变成负数，后面的判断会把它筛掉。这个"c可能为负"的情况一定要处理，否则会出现幽灵方案。

2.3 用总数关系砍掉一层循环

三重循环的思路简单，但不够优雅。既然题目已经给了a+b+c=100这个硬条件，那c就没必要再枚举了，直接用c=100-a-b算出来就行。这就是"方程约束消元"的思想。

#include <cstdio> int main() { for (int a = 0; a <= 20; ++a) { for (int b = 0; b <= 33; ++b) { int c = 100 - a - b; if (c < 0 || c % 3 != 0) continue; if (5 * a + 3 * b + c / 3 == 100) { printf("%d %d %d\n", a, b, c); } } } return 0; }

这段代码里有两个细节值得停下来想一想。第一，为什么先判断c < 0？因为如果a和b加起来已经超过100，c就变成负数了，负数不可能是鸡的数量，直接跳过。第二，c % 3 != 0的判断为什么放在价格判断前面？因为如果c不是3的倍数，c/3在整数除法里会丢掉余数，可能导致价格判断产生错误结果。所以先把c的合法性检查完，再去做价格比较。

这个二重循环版本基本就是我推荐的考场最终版了。它不但代码短，逻辑也清楚，更重要的是体现了"利用约束减少枚举维度"的思维方式。别小看这一层优化，它把循环次数从103万次降到了不到700次，整个程序肉眼可见地"嗖"一下出结果。

3. 用数学把枚举条件再压缩：推导出7a+4b=100

如果你对枚举已经玩得比较熟练，可以再往前走一步，从数学上把解空间直接压缩到一维。这一步不是GESP二级的必须要求，但能帮你彻底理解这道题的本质，也是为后面学二分、学搜索剪枝打地基。

3.1 消元推导：从两个等式到7a+4b=100

把前面那组方程搬过来：

1. a + b + c = 100
2. 5a + 3b + c/3 = 100

第二个方程两边同时乘以3，得到：15a + 9b + c = 300。然后用这个式子减去第一个方程，c就被消掉了：(15a - a) + (9b - b) + (c - c) = 300 - 100，也就是14a + 8b = 200。两边同时除以2，就得到非常漂亮的结果：

7a + 4b = 100

这个式子意味着什么？b根本不需要循环枚举，它由a唯一决定：b = (100 - 7a) / 4。只要枚举a，b就算出来了，c再用100-a-b算出来。

3.2 a为什么必须是4的倍数

既然b = (100 - 7a) / 4，那么b要是整数，100 - 7a就必须能被4整除。怎么看这个条件？我们只用看模4的余数：100除以4余0，7除以4余3。所以100 - 7a能不能被4整除，等价于0 - 3a ≡ 0 (mod 4)，也就是3a必须是4的倍数。3和4互质，所以a必须是4的倍数。

同时b不能为负，也就是100 - 7a >= 0，所以a最多到14。在这个范围内是4的倍数的数有：0、4、8、12。就这四个。

逐个代入：

• a=0，b=(100-0)/4=25，c=100-0-25=75
• a=4，b=(100-28)/4=18，c=100-4-18=78
• a=8，b=(100-56)/4=11，c=100-8-11=81
• a=12，b=(100-84)/4=4，c=100-12-4=84

于是四组解全部出来了。整个过程不需要计算机，一张草稿纸就能写完。这也是为什么很多老选手看到这道题会心一笑，因为它的数学本质非常干净。

3.3 三种实现的取舍

说了三种做法，到底用哪种？我整理了一张表：

我的建议很明确：二级考试用二重循环。三重循环虽然也能过，但代码稍长，容易在三个循环的边界上出纰漏；数学推导虽然优雅，但万一你推错一步，整道题就完了。二重循环正好卡在"够简单"和"够快"的平衡点上，就算放在GESP三级、四级的场景里也完全够用。

4. 考场实战：代码这样写才不会被扣分

题目本身不难，但每年GESP考完，还是有人在这道题上丢分。丢分点基本集中在几个非常具体的地方，我一个个说。

4.1 浮点数判等：看似很对，其实在赌运气

我见过不少学生把价格条件写成这样：

if (5 * a + 3 * b + c / 3.0 == 100.0)

看起来挺严谨，价格精确到小数，再用浮点数判等。但这个写法在原理上就站不住脚。计算机里的浮点数没法精确表示1/3这种无限循环小数，c/3.0的二进制结果是个近似值。在某些取值下，这个近似值恰好让整个表达式算出来等于100.0，在另一些取值下可能就差那么一点点，导致本该成立的方案被错误地过滤掉。

整数问题就不要引入浮点数，这是竞赛里的铁律。正确做法是先把c % 3 != 0的情况排除掉，然后放心大胆地用c / 3做整数除法参与运算。整数除法不会丢精度，而且c能被3整除时，c / 3就是准确的。

4.2 空行、空格和None的大小写

输出格式是很多人不注意的隐形扣分点。题目要求每行三个整数，用空格分隔，行末换行。有些孩子习惯在输出语句里多加一个空格，变成"a b c "，或者用逗号分隔，最后全被评测机判成格式错误。GESP的评测对格式要求比较严格，宁可少写代码，也别在多出来的空格上栽跟头。

再看无解分支。题目明确说了，如果不存在满足条件的方案，输出None。注意是"None"，不是"none"，不是"NONE"，也不是"No Solution"，更不是"无解"。这种地方就是送命题，答案对了，字符串大小写错了照样零分。虽然B3836这道题有解，用不到这个分支，但你不能因为用不到就不写。万一出题人把条件一改，或者考场上遇到变体题，这个分支就是你的保命符。

4.3 考场自查：把答案代回去算一遍

程序写完别急着交，花十秒钟做一次自查。把输出的第一组数据拿回来验证：0只公鸡花0文，25只母鸡花75文，75只小鸡花25文，总数25+75=100只，总价75+25=100文，完全吻合。再抽查最后一组：12只公鸡花60文，4只母鸡花12文，84只小鸡花28文，总数100只，总价100文。能自查出答案是合理的，这题基本就稳了。

我还习惯在代码里临时加一句输出方案总数的语句，确认一共打印了4行。如果只有3行，那一定是漏了某个边界情况，比如公鸡0只的那组。检查完再把这句临时输出删掉，别让它影响到正常输出。

5. 完整代码与这套思路往后怎么用

最后给出一个可以直接提交的完整版本。我用C++17语法，头文件只包含cstdio，用printf输出，全程整数运算。

5.1 最终提交版代码

#include <cstdio> int main() { bool found = false; for (int a = 0; a <= 20; ++a) { for (int b = 0; b <= 33; ++b) { int c = 100 - a - b; if (c < 0 || c % 3 != 0) continue; if (5 * a + 3 * b + c / 3 == 100) { printf("%d %d %d\n", a, b, c); found = true; } } } if (!found) puts("None"); return 0; }

这段代码里我把上一个版本漏掉的found标记补上了。它的作用就是记录"到底有没有找到过方案"。如果整个循环跑完一次都没进入过输出分支，说明无解，这时才输出None。没有这个标记的话，无解情况就不知道什么时候该输出None了。这个模式在后续很多"输出所有方案，无解时输出XXX"的题目里都会用到，建议直接记下来。

5.2 题目改成输入n怎么办

有些变体题会把100改成读入的n，表示"用n文钱买n只鸡"或者"用100文钱买n只鸡"。处理思路完全不变，只要把代码里的100全部换掉，把循环边界也按n调整即可。比如公鸡最多n/5只，母鸡最多n/3只，而c的合法范围依赖n。我曾经让学生做过一个练习：把这道题的100改成127，让他们重新跑程序，结果四组解变成了别的组合，不少人这才真正理解"枚举是跟着条件走，而不是背答案"。

5.3 这套"枚举→消元→剪枝"的思路，后面还要用很久

很多人搜GESP七级、八级的备考资料，总觉得要学什么高深算法。实际上，不管四级考的排序和二分，还是五级的递归回溯，底层都是枚举。二分本质上是利用单调性加速枚举范围；回溯本质上是带剪枝的深度优先枚举。你在百鸡问题里学会的"先用最朴素循环跑通，再用等式约束减维度，最后用数学条件剪枝"，这条优化链会在之后所有算法题里反复出现。

我个人的看法：这道GESP二级的百鸡问题，值得你花一下午把它玩透。从三重循环写到二重循环，再亲手推一遍7a+4b=100，你收获的不只是这一题的满分，而是一套处理约束条件的思维习惯。考场上真遇到它，直接二重循环稳扎稳打打完收工，剩下的时间留给别的题，比什么都强。