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很多物理系统并不是没有数据，而是数据往往不完整、采样稀疏，还夹杂着噪声。传感器只能记录少数位置，实验也可能只能提供几个时间点；但真正想知道的，通常不是某一组数据的拟合曲线，而是支配系统演化的控制方程。

这正是偏微分方程（PDE）发现问题的难点：如何从有限观测中判断系统究竟遵循扩散、对流、反应，还是这些过程的组合？如果直接对噪声数据做数值微分，高阶导数会迅速放大误差；如果只用深度网络拟合场变量，模型又可能停留在“能预测但说不清”的黑箱状态。

Hao Sun等人提出的 PINN-SR（physics-informed neural network with sparse regression）试图同时解决这两个问题：先用神经网络重建连续时空场，再通过自动微分获得导数，最后从一个较大的候选项库中筛出真正有效的方程项。

图1｜PINN-SR将稀疏观测、神经网络、自动微分和稀疏回归放在同一个闭环中。该图为基于论文方法重绘的示意图。

一、真正要发现的不是曲线，而是方程

设系统状态为 (u(x,t))，一般形式可以写成：

其中，() 是未知的非线性函数，是待确定的参数。论文将它改写成候选函数的稀疏组合：

候选库 可以包含常数项、、、空间导数、非线性乘积项以及更高阶导数。关键假设是：候选项可以很多，但真正支配系统的项通常只有少数几个。因此，系数矩阵 () 应当是稀疏的。

例如，对一维流动问题，候选库可能同时包含：

• ：一阶输运或梯度效应；