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正式进入第二周。第一周我们完成了信号基本概念、LTI 系统时域分析、卷积积分和卷积和，把“输入信号经过系统得到输出”这条时域主线打通了。第二周的主题非常明确：从时域跳到频域，集中解决傅里叶级数、傅里叶变换、抽样定理和拉普拉斯变换。这一周是信号与系统这门课真正拉开分差的地方。

先说结论：第二周的知识点并不难理解，难的是题目变化极其灵活。同样是傅里叶变换性质，可以出成计算题、画图题、综合题，也可以放在系统响应里和拉普拉斯变换混合考。如果你的目标是 27 考研，现在这个阶段不需要追求难题偏题，但要保证每一个基础结论都能自己推导一遍，并且把“看到条件反射出用什么公式”练成本能。只看不练，等于没学。

这篇文章会把第二周每天两题的任务表、高频题型拆解、易错点诊断、刷题复盘方法全部铺开。文末还预留了第三周的衔接方向。建议先收藏，然后按周计划往下走。

1. 第二周核心能力速览

第二周内容在考研试卷中占比通常很高。连续傅里叶变换、拉普拉斯变换和系统函数是论述题、计算题的常客，抽样定理经常以小计算题或简答题形式出现。这一周如果地基打不稳，第三周离散系统的 Z 变换学起来会很痛苦，因为两者在思维路径上高度相似。

2. 为什么第二周是分水岭

第一周做卷积时，我们还在处理信号经过系统的“时间过程”。第二周一上来，就要把信号拆成不同频率分量的叠加。很多同学第一次接触傅里叶级数时会觉得“绕”，根源不是数学算不动，而是思维切换没跟上：时域里一条波形曲线，在频域里变成了一根一根离散谱线；周期信号变成非周期信号后，离散谱线又变成了连续频谱。这个抽象过程一旦打通，后面所有变换域分析都会顺很多。

第二周还有一个特殊性：知识点密度大，但题目套路相对固定。傅里叶变换性质就那么几条，抽样定理就是奈奎斯特频率计算，拉普拉斯变换核心是解微分方程与判断稳定性。只要每天两题保持手感，把典型结论记牢，这一周比第一周更容易拿分。

同时要注意，这一周的内容会持续复用。第三周离散时间系统的 Z 变换，本质上就是拉普拉斯变换在离散域的对应工具。第四章状态变量分析也要反复调用零极点、稳定性这些概念。所以第二周不是学完就扔的一周，而是整个变换域分析的核心地基。

3. 第 8 天到第 14 天每日两题任务表

先把一周安排铺开。每道题都对应一个高频考点，做题时不要只求答案，要按考点回扣教材。

每天这 2 题不是随意挑选的，它们的排列顺序遵循“先周期后非周期，先正变换后逆变换”的认知逻辑。第 8 天建立频谱图的直观印象，第 9、10 天掌握计算工具，第 11 天把频域和实际采样联系，第 12、13 天进入拉普拉斯变换，第 14 天来一次综合。

4. 经典题型拆解与解题思路

下面挑四道最具代表性的题目，给出完整思路和步骤。这些题目综合了考研中反复出现的核心考点，建议先自己动笔做一遍，再对照拆解过程找差距。

4.1 周期矩形脉冲的傅里叶级数

题目类型：周期矩形脉冲信号在一个周期内定义为，脉宽为 τ、周期为 T、幅度为 1。求该信号的指数形式傅里叶级数系数，并画出频谱图。

这类题是第 8 天第 2 题的标准模板。解题思路可以拆成四步：

第一步，写出傅里叶级数系数的定义式：

$$ F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-j n \omega_0 t} dt $$

其中 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$。

第二步，把矩形脉冲的表达式代入。因为周期矩形脉冲只在 $-\frac{\tau}{2} \le t \le \frac{\tau}{2}$ 内有值，所以积分区间替换到这个范围内：

$$ F_n = \frac{1}{T}\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-j n \omega_0 t} dt $$

第三步，直接积分得到：

$$ F_n = \frac{\tau}{T} \cdot \frac{\sin(n \omega_0 \tau/2)}{n \omega_0 \tau/2} = \frac{\tau}{T} Sa\left(\frac{n \omega_0 \tau}{2}\right) $$

其中 $Sa(x) = \frac{\sin x}{x}$ 是抽样函数。

第四步，画频谱图。重点关注三个特征：谱线间隔是 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$，谱线幅度包络按 $Sa$ 函数规律衰减，包络过零点满足 $\frac{n \omega_0 \tau}{2} = k\pi$，也就是 $n = k\frac{T}{\tau}$。

这道题最常丢分的位置有两个。一是忘记谱线间隔是基波频率而不是包络零点；二是没有标注包络过零点，导致频谱图信息不完整。很多同学计算部分全对，却在画图上被扣分，非常可惜。

4.2 尺度变换与时移变换联合求频谱

题目类型：已知 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(j\omega)$，求 $f(2t - 3)$ 的频谱表达式。

这道题考察傅里叶变换的时移与尺度变换联合应用，是第 9 天题目的典型代表。难点不在单个性质，而在两个性质叠加时容易弄错变换顺序。

正确做法是先把 $f(2t - 3)$ 拆成“先时移，再尺度”或“先尺度，再时移”两种方式。推荐先处理时移再处理尺度：

令 $g(t) = f(t - 3)$，由时移性质得到：

$$ g(t) \leftrightarrow F(j\omega) e^{-j3\omega} $$

再令 $h(t) = g(2t)$，由尺度变换性质得到：

$$ h(t) = f(2t - 3) \leftrightarrow \frac{1}{2} F\left(j\frac{\omega}{2}\right) e^{-j\frac{3\omega}{2}} $$

这个表达式里最容易错的点集中在相位因子。很多同学会把相位写成 $e^{-j3\omega}$，但尺度变换会把时域自变量从 $t$ 压到 $t/2$，相位中的时间常数也要跟着压缩，所以应该是 $e^{-j3\omega/2}$。这个细节在下一类题型中极其常见。

如果反过来先做尺度变换再做时移，也能得到同样的结果，但中间过程更容易出错。建议固定一种顺序反复练习，考试时用自己最熟的那条路径。

4.3 抽样定理与奈奎斯特频率计算

题目类型：已知 $f(t)$ 的最高频率为 $f_m = 100\text{Hz}$，求 $f(2t)$ 与 $f(t/2)$ 的最高频率和奈奎斯特抽样频率。

这是第 11 天最常见的计算题。核心结论来自尺度变换对频谱的影响：时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。

对于 $f(2t)$，时域时间轴被压缩 2 倍，根据尺度变换，频谱展宽 2 倍，所以最高频率变为 $200\text{Hz}$。奈奎斯特抽样频率为最高频率的 2 倍，即 $f_s = 400\text{Hz}$。

对于 $f(t/2)$，时域时间轴被展宽 2 倍，频谱被压缩 2 倍，最高频率变为 $50\text{Hz}$。奈奎斯特抽样频率为 $100\text{Hz}$。

这类题看起来简单，却是各大院校反复考察的高频小计算。出错点通常不是结论记错，而是没有把“最高频率”转换成“奈奎斯特频率”时忘记乘 2。建议做题时养成固定格式：先写最高频率，再写 $f_s \ge 2 f_m$，最后写出具体数值，三步一个都不能省。

如果题目进一步加大难度，比如问“以 $200\text{Hz}$ 抽样 $f(2t)$ 会发生频谱混叠吗”，这时候就需要先计算 $f(2t)$ 的最高频率为 $200\text{Hz}$，再比较抽样频率是否大于等于 $400\text{Hz}$。因为 $200 < 400$，所以会混叠。这种延伸问题要求你不仅会套公式，还要理解抽样定理的本质。

4.4 拉普拉斯变换求解微分方程

题目类型：已知二阶 LTI 系统满足微分方程 $y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 2e^{-t}u(t)$，初始条件 $y(0_-)=1$，$y'(0_-)=0$，求系统的零输入响应和零状态响应。

这是第 13 天第 1 题的标准模板，也是考研求解题的重点。核心方法是利用单边拉普拉斯变换的微分性质，把微分方程变成代数方程。

先对微分方程两边取单边拉普拉斯变换，注意初始条件要带入：

$$ s^2 Y(s) - s y(0_-) - y'(0_-) + 3[sY(s) - y(0_-)] + 2Y(s) = \frac{2}{s+1} $$

代入 $y(0_-)=1$，$y'(0_-)=0$，整理得到：

$$ (s^2 + 3s + 2)Y(s) = s + 3 + \frac{2}{s+1} $$

于是：

$$ Y(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 3s + 2} + \frac{2}{(s+1)(s^2 + 3s + 2)} $$

第一部分是零输入响应的变换域表达式，第二部分是零状态响应的变换域表达式。分别进行部分分式展开，再查表求逆变换，可以得到时域表达式。这里要特别注意：零输入响应只由初始状态产生，与输入信号无关；零状态响应只由输入信号产生，与初始状态无关。很多同学做完一整题，最后却被问到“哪个是零输入哪个是零状态”时写反，说明概念理解还停留在记结论层面。

实际考试中，拉普拉斯变换题很少单纯靠一步解完，往往会结合电路图、系统框图、稳定性判断一起考。所以第 14 天安排的综合题才是这一周真正的终点。

5. 每日两题的刷题与复盘方法

题目做完了，复盘才是第二周能否内化的关键。很多同学每天做两题，但对完答案就放下，这样刷题的收益非常有限。建议大家按下面这套流程执行：

• 做题前先写考点预判。看到题目，先在草稿纸上写下“这道题考的是傅里叶变换的尺度变换性质”或“这道题考的是抽样定理的计算模板”，然后再动笔。
• 规定每道题 25 分钟内完成。第一周刚开始可以放宽到 40 分钟，第二周就要逐步收紧。如果 25 分钟没有思路，标记为难题，直接看答案，不要死磕。
• 对答案时用红笔圈出错因，而不是只抄正确答案。错因分为计算错误、公式记错、思路错误、审题不清四类，每道错题都要归类。
• 每天复盘写三句话：今天这两题各自用什么方法；我错在哪一步；下次看到什么关键词要立刻反应过来用什么公式。

建议准备一个专门的信号与系统刷题本。左侧写题目贴复盘标签，右侧写完整解答过程，底部留一行总结干。这个本子在冲刺阶段比任何参考资料都有价值，因为它是你个人错误模式的真实记录。

每周结束时，把错题本里的所有错题重新做一遍。如果第二周结束时能保证“每天两题中的错题”不看答案全部自做正确，那这一周的目标就真正达成了。

6. 常见错误诊断与避坑指南

这 8 个错误覆盖了第二周最高频的丢分点。如果每周都能发现并修复 2 到 3 个错误，30 天下来就能清除几乎全科目最顽固的盲区。

7. 时间分配与复习资源建议

第二周每天建议安排 2.5 到 3 个小时。这 3 小时不是均匀分布的，推荐按“30 分钟知识点回顾 + 50 分钟做题 + 40 分钟对答案 + 30 分钟错题复盘”划分。如果当天是第 14 天综合自测，可以额外增加 30 分钟做整套的微模拟。

很多同学会问教材怎么选。实际上，主流教材的基本内容差异不大。习题集可以选一本附带详细解答的，便于自查。真题是第二阶段冲刺用的，第二周不需要大量做真题，最多拿近三年目标院校真题里与傅里叶变换、抽样定理相关的题目来检验复习效果。要注意选择正版渠道，避免使用来源不明的题目解析，防止错误答案干扰判断。

如果基础薄弱，可以从定义式开始，把傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换三者的定义并排写在一张纸上对比。它们本质上是同一个“把信号分解成基函数叠加”的思想在不同条件下的体现。每周做一次这样的大对比，比盲目多刷十道题更能建立知识网络。

8. 第三周预告与整体进度对照

第二周结束后的状态应该是：能独立完成周期矩形脉冲频谱图、能快速计算抽样频率、能熟练用拉普拉斯变换求系统响应。这些都是硬指标，不达标就先不进入第三周。

第三周进入离散时间信号与系统分析，核心工具是 Z 变换。Z 变换的很多性质与拉普拉斯变换高度对应，例如延时性质对应 s 域的指数因子，收敛域对应系统稳定性判断。所以第三周的学习速度会比第二周快，但这有一个前提：第二周的拉普拉斯变换不是只记住公式，而是真正理解变换域分析“把微分变代数、把卷积变乘积”的逻辑主线。

具体到第三周的任务，每日两题会覆盖 Z 变换定义与收敛域、逆变换计算、离散系统差分方程求解、系统函数与稳定性、离散系统框图等内容。整体难度比第二周略有下降，但计算量更大，需要更熟练的部分分式展开技巧。

建议第二周倒数第二天，把整个周期信号与傅里叶分析内容做一次思维导图式总结；最后一天则做一次两小时的综合小测，模拟考试时的 4 到 6 道经典大题，检验自己能否在限定时间内完成。达标后再开始第三周，不要贪快。

现在可以直接做的一步：把第 8 天的两题任务写在计划本上，动手写第一道周期的频谱图。如果这一步能顺利落地，第二周就已经成功了一半。