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AI解数学猜想爱找反例现象

1998年菲尔兹奖得主、英国数学家Timothy Gowers指出，给AI一道数学猜想，它先琢磨的是怎么把它推翻找反例。最近Gowers把这几个月AI最轰动的数学战绩梳理后发现，雅可比猜想、Erdős单位距离猜想等，AI的处理方式都是找反例或构造新对象。人类数学家关注结论为何成立，而AI则质疑结论是否真的成立。

AI“找反例”与“反证法”的区别

需要说明的是，Gowers提到的「找反例」和学生时代学过的「反证法」有区别。上学时学的反证法是先假设结论不成立，推导到矛盾来证明原命题成立；而Gowers说的「找反例」更直接，比如有人提出所有满足A的对象都具有B性质，AI只需找出一个满足A但没有B的对象，就能推翻猜想。

AI在数学突破中“找反例”的实例

最近AI最轰动的几场数学突破，很多是通过“找反例”实现的。上个月OpenAI内部模型搞定的Erdős单位距离问题，数学界近80年形成的增长判断被广泛相信，很多研究围绕证明该判断展开，但AI却花大量推理预算找反例，最后用代数数论工具构造出点集，使单位距离对数量以意外速度增长，击穿了流传数十年的判断。数学家查看其推理轨迹，发现它大量时间用于尝试构造和寻找反例。Claude也助力数学家Levent Alpöge找到了雅可比猜想相关问题的反例，AI不需要正面证明，只需找出特殊对象检查前提和结论，就能推翻猜想。Gowers看OpenAI公布的10项数学成果，如“是否所有群都是sofic群”问题，AI构造出非sofic群；多色Ramsey数的进展也有很强的构造味，需先找到特殊组合对象。当前AI容易做出大动静的数学问题，很多可归结为“有没有这么一个东西”，若答案是有，AI就会发挥搜索、跨领域搬工具等能力找出该对象。

AI爱找反例的原因

Gowers认为大模型有两个优势。一是知道得多，如果题目的突破口在已有数学工具、相邻领域或少见的技巧组合里，大模型有机会从知识仓库中翻出。如单位距离问题，AI借用代数数论工具突破，而人类实现跨领域跳跃可能需研究者同时懂两边知识，模型组合成本更低。二是试得起，OpenAI公布的成果显示，AI找数学反例消耗的Token按API价格折算仅「数千」美元，很多对人类数学家成功率低、不值得投入时间的路线，AI可放开尝试。

人类数学家找例子的方法及AI的局限

数学家找例子、找反例的方法有：用「祖传」经典对象测试，如测试布尔函数猜想用独裁函数等；拼装，从基础对象出发构造；随机法，从分布里随机挑对象；逐步逼近法，先写大概答案再修正。前面这些方法适合大模型，因其知识库大、速度快、失败成本低。但越往后越考验一种能力，Gowers称之为数学家的「鼻子」，即能判断搜索路径是否有戏。真正厉害的研究者能迅速砍掉无价值的搜索路径，而目前AI在这方面表现不佳，如Gowers和AI讨论开放问题时，AI常提出不可靠方案，还称把问题缩小成更精确子问题，但多次如此就让人怀疑是在逼近答案还是描述迷路。

AI进入顶级数学创造阶段的标准

Gowers虽未神化AI，但预计模型会快速进步，一两年内可能增强判断路径的能力。目前AI强项更像广度优先，广泛调用知识和探索路径。Gowers给AI真正进入顶级数学创造阶段设下浪漫标准：AI给出的解法不仅能解题，还能带来新方法，且该方法能被其他数学家利用做出新成果，到那时AI在数学界的身份可能真正改变。