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一、三角比的定义

在直角三角形里，相对某个锐角θ \thetaθ，三条边各有名字：θ \thetaθ所对的边叫对边，θ \thetaθ夹着的那条直角边叫邻边，直角所对的边叫斜边。三个比值就用这三条边定义：

sin ⁡ θ = 对边 斜边 \sin\theta = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}sinθ=斜边对边​，cos ⁡ θ = 邻边 斜边 \cos\theta = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}cosθ=斜边邻边​，tan ⁡ θ = 对边 邻边 \tan\theta = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}tanθ=邻边对边​

这三个比值只由角度θ \thetaθ决定，与三角形的大小无关——把三角形放大缩小（保持角度不变），对边、邻边、斜边同比例伸缩，比值不变。这正是相似三角形的性质（第 3 篇），sin ⁡ θ \sin\thetasinθ、cos ⁡ θ \cos\thetacosθ、tan ⁡ θ \tan\thetatanθ本质上就是"角度"和"边长比例"之间的一个固定对应关系。

图中同一个直角三角形有两个锐角θ \thetaθ和90 ° − θ 90°-\theta90°−θ（两锐角互余，因为三角之和180 ° 180°180°减去直角90 ° 90°90°）。换个顶点看，对边和邻边互换：对θ \thetaθ而言的对边，正是对90 ° − θ 90°-\theta90°−θ而言的邻边。这一点直接推出下一节的互余关系。

二、特殊角的值

30 ° 30°30°、45 ° 45°45°、60 ° 60°60°这三个角的比值不是背下来的，是从两个基本图形量出来的。

30 ° 30°30°与60 ° 60°60°：把等边三角形对半分。边长为2 22的等边三角形，从一个顶点向对边作高，把底边平分成两个1 11。这条高同时把顶角60 ° 60°60°平分成两个30 ° 30°30°。左半部分是一个直角三角形，两条直角边是1 11和高h hh，斜边是2 22，由勾股定理

h = 2 2 − 1 2 = 3 h = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}h=22−12​=3​

对60 ° 60°60°角（底角，即原等边三角形未被分割的角）而言，对边是3 \sqrt33​，邻边是1 11，斜边是2 22；对30 ° 30°30°角（顶角的一半）而言，对边邻边互换（对边是1 11，邻边是3 \sqrt33​）。于是：

• sin ⁡ 30 ° = 1 2 \sin30° = \dfrac12sin30°=21​，cos ⁡ 30 ° = 3 2 \cos30° = \dfrac{\sqrt3}{2}cos30°=23​​，tan ⁡ 30 ° = 1 3 = 3 3 \tan30° = \dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}tan30°=3​1​=33​​
• sin ⁡ 60 ° = 3 2 \sin60° = \dfrac{\sqrt3}{2}sin60°=23​​，cos ⁡ 60 ° = 1 2 \cos60° = \dfrac12cos60°=21​，tan ⁡ 60 ° = 3 \tan60° = \sqrt3tan60°=3​

45 ° 45°45°：等腰直角三角形。两条直角边都是1 11，斜边由勾股定理是2 \sqrt22​，两个锐角都是45 ° 45°45°（等腰三角形两底角相等，且两角之和为90 ° 90°90°）：

sin ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 ° = 2 2 \sin45° = \cos45° = \dfrac{\sqrt2}{2}sin45°=cos45°=22​​，tan ⁡ 45 ° = 1 \tan45° = 1tan45°=1

这套值不需要死记，忘了当场用勾股定理现推就行——反正核心只是两个图形。

三、同角关系与互余关系

同角关系，由勾股定理直接得到。设直角三角形三边为对边a aa、邻边b bb、斜边c cc，满足a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2a2+b2=c2。两边同除以c 2 c^2c2：

( a c ) 2 + ( b c ) 2 = 1 ⟹ sin ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ = 1 \left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1(ca​)2+(cb​)2=1⟹sin2θ+cos2θ=1

另一条商数关系直接由定义得出：

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = a / c b / c = a b = tan ⁡ θ \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b} = \tan\thetacosθsinθ​=b/ca/c​=ba​=tanθ

互余关系，直接从第一节的图读出来：θ \thetaθ的对边，正是90 ° − θ 90°-\theta90°−θ的邻边；θ \thetaθ的邻边，正是90 ° − θ 90°-\theta90°−θ的对边。斜边不变。所以

sin ⁡ ( 90 ° − θ ) = cos ⁡ θ \sin(90°-\theta) = \cos\thetasin(90°−θ)=cosθ，cos ⁡ ( 90 ° − θ ) = sin ⁡ θ \cos(90°-\theta) = \sin\thetacos(90°−θ)=sinθ

用第二节的值验证一下：sin ⁡ 30 ° = 1 2 \sin30°=\dfrac12sin30°=21​，cos ⁡ 60 ° = 1 2 \cos60°=\dfrac12cos60°=21​，而90 ° − 30 ° = 60 ° 90°-30°=60°90°−30°=60°，两者相等，对上了。

四、解直角三角形

已知直角三角形的两个条件（至少含一条边），求出其余所有边和角，叫解直角三角形。可用的关系只有三条：

• 两锐角互余：A + B = 90 ° A+B=90°A+B=90°
• 勾股定理：a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2a2+b2=c2
• 边角关系：sin ⁡ A = a c \sin A=\dfrac{a}{c}sinA=ca​、cos ⁡ A = b c \cos A=\dfrac{b}{c}cosA=cb​、tan ⁡ A = a b \tan A=\dfrac{a}{b}tanA=ba​（A AA是角，a aa是它的对边）

按已知条件选用：已知一边一角，用边角关系直接求出另一边，再用互余关系求另一角；已知两边，先用勾股定理求第三边，再用边角关系求角。

五、仰角、俯角与坡度

仰角是视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角；俯角是视线在水平线下方时的夹角。两者都是"看向目标的方向"与"水平方向"之间的夹角，只是目标在上还是在下。

已知观测点到目标的水平距离和垂直高度，仰角就是

θ = arctan ⁡ 垂直高度 水平距离 \theta = \arctan\dfrac{\text{垂直高度}}{\text{水平距离}}θ=arctan水平距离垂直高度​

已知对边邻边求角度，就是tan ⁡ \tantan的逆运算，这是反三角函数的雏形（第 9 行会正式定义）。

坡度（也叫坡比）衡量斜面的陡峭程度，定义为竖直高度与水平距离之比：

i = h l i = \dfrac{h}{l}i=lh​

坡度就是坡角的正切：i = tan ⁡ α i=\tan\alphai=tanα，α \alphaα是坡面与水平面的夹角（坡角）。坡度通常写成1 : n 1:n1:n或百分比的形式，比如坡度1 : 2 1:21:2就是i = 0.5 i=0.5i=0.5，对应坡角α = arctan ⁡ 0.5 ≈ 26.6 ° \alpha=\arctan0.5\approx26.6°α=arctan0.5≈26.6°。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。一数的两个合集里都没有专门讲锐角三角函数定义和特殊角推导的一集——这块内容在标准教材里是九年级下学期的内容，中考复习合集默认你已经会了，直接跳到应用技巧。

• P19 直角中的"特殊型"（25:04）—可选。这集不讲定义，是拿已经学过的30 ° / 45 ° / 60 ° 30°/45°/60°30°/45°/60°特殊角当辅助线技巧使用，讲的是几何证明里怎么构造这类三角形，跟本篇的定义和推导关系不大

这一块以正文和课本为准，视频没有必看项。