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摘要：本文是PTA编程题"计算圆周率"的题解，涵盖题目描述、输入输出格式及C++语言实现，展示无穷级数递推迭代与循环控制方法。

题目描述

根据下面关系式，求圆周率的值，直到最后一项的值小于给定阈值。

关系式：

π/2 = 1 + 1/3 + 2!/(3×5) + 3!/(3×5×7) + ... + n!/(3×5×7×...×(2n+1)) + ...

输入格式：

输入在一行中给出小于1的阈值。

输出格式：

在一行中输出满足阈值条件的近似圆周率，输出到小数点后6位。

输入样例：

0.01

输出样例：

3.132157

解题思路

核心问题分析

本题是一个典型的无穷级数求和问题。核心任务是根据给定的无穷级数公式计算π/2的近似值，当某一项的值小于给定阈值时停止累加，最后乘以2得到圆周率π。关键在于：

1. 理解级数通项的递推关系，避免重复计算阶乘和乘积
2. 控制循环终止条件：最后一项的值 < 阈值时停止

算法原理说明

观察级数通项的规律，使用递推迭代法高效计算每一项：

设第n项为 aₙ，则：

• a₀ = 1（第0项，对应 n=0）
• a₁ = 1/3（第1项，对应 n=1）
• a₂ = 2!/(3×5) = (1×2)/(3×5)（第2项，对应 n=2）
• a₃ = 3!/(3×5×7) = (1×2×3)/(3×5×7)（第3项，对应 n=3）

递推关系推导：
aₙ / aₙ₋₁ = [n!/(3×5×…×(2n+1))] / [(n-1)!/(3×5×…×(2n-1))]
= n / (2n + 1)

因此：aₙ = aₙ₋₁ × n / (2n + 1)

这样每一项可以由前一项递推得到，无需每次重新计算阶乘和连乘，时间复杂度O(k)，k为迭代次数。

具体计算步骤

1. 输入阈值 threshold（小于1的正数）
2. 初始化：
   • sum = 1.0（累加和，已加入第0项 a₀ = 1）
   • term = 1.0（当前项，初始为 a₀）
   • n = 1（下一项的序号）
3. 循环迭代：
   • 计算新项：term = term × n / (2n + 1)（即 aₙ = aₙ₋₁ × n/(2n+1)）
   • 累加到总和：sum = sum + term
   • 判断：若 term < threshold → 跳出循环（停止累加）
   • 否则：n = n + 1，继续迭代
4. 计算圆周率：pi = 2.0 × sum
5. 输出pi，保留6位小数

验证样例（threshold = 0.01）：

• a₀ = 1，sum = 1
• n=1: a₁ = 1 × 1/3 = 0.33333，sum = 1.33333，0.33333 > 0.01 → 继续
• n=2: a₂ = 0.33333 × 2/5 = 0.13333，sum = 1.46666，0.13333 > 0.01 → 继续
• n=3: a₃ = 0.13333 × 3/7 ≈ 0.05714，sum ≈ 1.52381，0.05714 > 0.01 → 继续
• n=4: a₄ = 0.05714 × 4/9 ≈ 0.02540，sum ≈ 1.54921，0.02540 > 0.01 → 继续
• n=5: a₅ = 0.02540 × 5/11 ≈ 0.01155，sum ≈ 1.56076，0.01155 > 0.01 → 继续
• n=6: a₆ = 0.01155 × 6/13 ≈ 0.00533，sum ≈ 1.56609，0.00533 < 0.01 → 停止
• pi = 2 × 1.56609 ≈ 3.13218 → 接近样例输出3.132157 ✓

代码部分实现

#include<iostream>#include<cstdio>usingnamespacestd;intmain(void){doublethreshold;cin>>threshold;doublesum=1.0;doubleterm=1.0;intn=1;while(1){term*=(double)n/(2*n+1);sum+=term;if(term<threshold){break;}n++;}doublepi=2.0*sum;printf("%.6f\n",pi);return0;}

代码流程说明

1. 头文件引入与命名空间声明

   • #include <iostream>：引入标准输入输出流头文件
   • #include <cstdio>：引入C标准I/O头文件，提供printf格式化输出
   • using namespace std;：使用std命名空间

2. 主函数入口

   • int main(void)：程序主函数入口

3. 数据输入

   • double threshold;：定义阈值变量（双精度浮点型）
   • cin >> threshold;：读取用户输入的阈值

4. 变量初始化

   • double sum = 1.0;：累加和初始化，已包含第0项 a₀ = 1
   • double term = 1.0;：当前项初始化，初始值为第0项 a₀ = 1
   • int n = 1;：下一项的序号，从1开始（因为a₀已处理）

5. while循环递推累加

   • while (1)：无限循环，由内部条件break控制退出
   • 循环体内：
     • term *= (double)n / (2 * n + 1);
       • 递推计算下一项：term_new = term_old × n / (2n + 1)
       • (double)n 将整型n强制转换为浮点型，确保浮点除法
     • sum += term;：将新计算的项累加到总和sum中
     • if (term < threshold)：判断当前项是否小于阈值
       • 条件为真 →break;跳出循环，停止累加
     • n++;：项序号n加1，准备计算下一项

6. 计算圆周率并输出

   • double pi = 2.0 * sum;：由关系式 π/2 = sum，得 π = 2 × sum
   • printf("%.6f\n", pi);：格式化输出pi
     • %.6f：浮点数保留6位小数
     • \n：输出换行符

7. 程序结束

   • return 0;：返回0，程序正常退出

代码流程图

解题流程图