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💥第一部分——内容介绍

节点不连续伽辽金方法在求解线性与非线性平流方程中的一维实现研究

摘要

平流方程是描述流体输运、物质扩散、波传播等物理过程的核心偏微分方程，分为线性与非线性两类，其中非线性平流方程因通量非线性特性易产生数值间断、振荡失真等问题，是计算流体力学数值求解的难点。节点不连续伽辽金方法作为间断伽辽金方法的重要分支，兼具有限元方法的高精度拟合特性与有限体积方法的通量守恒优势，在处理对流占优问题、间断解问题中具备显著优势。本文以一维平流方程为研究对象，系统开展节点不连续伽辽金方法的理论分析与数值实现研究，完整阐述方法的基本原理、空间离散策略、数值通量处理方式与整体求解框架，分别针对一维线性平流方程与非线性平流方程完成数值求解逻辑构建。通过一维典型数值算例的仿真分析，探究该方法在不同求解场景下的精度特性、稳定性与收敛规律，对比分析线性与非线性求解过程中的数值差异，验证了节点不连续伽辽金方法一维实现的可行性与有效性。研究结果表明，该方法能够精准捕捉平流方程的光滑解与间断解，数值耗散低、分辨率高，且对非线性平流问题的激波捕捉、数值振荡抑制具备良好适配性，可为多维复杂对流问题的数值求解提供理论与技术支撑。

关键词：节点不连续伽辽金方法；一维平流方程；线性方程；非线性方程；数值求解；间断解

1 引言

1.1 研究背景与意义

平流过程是自然界普遍存在的物理现象，广泛存在于大气环流、水体输运、污染物扩散、流体运动等工程与自然场景中，平流方程是刻画这类单向输运过程的基础数学模型。根据通量函数的特性，平流方程可划分为线性与非线性两类：线性平流方程通量恒定，解的演化规律平稳，主要描述匀速、均匀的输运过程；非线性平流方程通量与求解变量相关，变量演化存在耦合效应，极易在演化过程中形成梯度突变、间断激波等复杂流动特征，数值求解难度大幅提升。在传统数值求解方法中，有限差分方法对网格依赖性强，对间断解捕捉精度不足；有限体积方法守恒性优良，但高阶精度拓展难度大，数值分辨率受限；传统连续伽辽金有限元方法在求解对流占优平流问题时易出现数值弥散与非物理振荡，难以适配非线性平流的复杂求解场景。

节点不连续伽辽金方法突破了传统有限元单元间连续性约束的局限，允许相邻单元边界处数值解不连续，同时采用节点型插值基函数完成单元内数值解的高阶重构，既保留了有限元方法高阶精度的优势，又继承了有限体积方法通过数值通量实现单元间信息传递、严格满足守恒律的特性。相较于模态间断伽辽金方法，节点型求解框架结构更简洁、数值实现更便捷、边界通量处理更灵活，在一维平流方程的精细化求解中具备独特优势。因此，系统开展节点不连续伽辽金方法求解一维线性、非线性平流方程的实现研究，明确两类方程求解的技术差异与数值特性，对提升对流问题数值求解精度、拓展间断伽辽金方法的工程应用场景具有重要理论与工程价值。

1.2 国内外研究现状

间断伽辽金方法自提出以来，凭借其高精度、高守恒性、适配间断问题的优势，成为计算数学与计算流体力学领域的研究热点。国外学者早期围绕间断伽辽金方法的理论框架、稳定性分析与通量构造开展系统性研究，完善了方法的收敛性与数值稳定性理论，逐步将其应用于对流扩散方程、欧拉方程等各类守恒律方程的求解。后续研究进一步区分了模态型与节点型间断伽辽金方法的差异，证实节点型框架在低维问题求解中具备更高的计算效率与实操性，尤其适配一维、二维简单区域的对流问题数值仿真。

国内研究多聚焦于间断伽辽金方法的优化改进与工程应用，针对高阶数值振荡、激波捕捉失真、计算效率偏低等问题，提出了多种限幅器优化、通量重构、网格自适应改进策略，有效提升了方法在复杂非线性流动问题中的适配性。现有研究多集中于多维复杂流体方程或通用间断伽辽金方法的整体优化，针对一维场景下节点不连续伽辽金方法分别求解线性、非线性平流方程的专项对比研究较少，对两类方程求解过程中的数值特性差异、误差演化规律、稳定性边界的系统性分析较为匮乏，一维专属的高效求解实现体系仍需进一步完善。

1.3 主要研究内容与创新点

本文主要研究内容：系统梳理节点不连续伽辽金方法的核心理论与一维求解框架，构建适配一维区域的网格离散、基函数选取、数值通量计算体系；分别搭建一维线性、非线性平流方程的节点不连续伽辽金求解逻辑，明确两类方程在通量处理、数值迭代、稳定性控制上的技术差异；通过典型一维算例完成数值验证，分析方法的求解精度、收敛性、稳定性与间断捕捉能力，总结线性与非线性平流求解的数值规律。

本文创新点：一是针对性构建一维专属的节点不连续伽辽金实现体系，摒弃复杂多维算法冗余结构，提升一维平流方程求解效率；二是系统对比分析节点不连续伽辽金方法在线性与非线性平流问题中的求解特性，明确两类问题的数值误差演化与振荡生成机制；三是无额外滤波器、限幅器辅助的前提下，实现非线性平流方程间断解的精准稳定捕捉，简化求解流程的同时保障数值精度。

2 节点不连续伽辽金方法基本理论

2.1 方法核心原理

节点不连续伽辽金方法是基于有限元离散思想的高阶数值方法，核心核心特征是解除单元界面的解连续性约束，将求解区域离散为若干互不重叠的计算单元，在每个单元内部通过节点插值方式构建高阶近似解，相邻单元的界面信息通过数值通量完成传递，严格保证物理量守恒。区别于传统连续伽辽金有限元方法，该方法无需满足单元间位移连续条件，能够自然适配流动间断、梯度突变等非光滑物理问题；相较于模态间断伽辽金方法，节点型方法直接依托网格节点完成解的重构，插值逻辑直观、边界处理简单、数值实现难度更低，更适用于一维规则区域的平流方程求解。

该方法的求解核心逻辑为区域离散、单元近似、通量耦合、时间推进。首先对一维求解区域进行均匀或非均匀网格剖分，得到一系列独立计算单元；其次在每个单元内选取高阶节点基函数，构建单元内待求变量的近似表达式；随后通过伽辽金加权余量思想消去数值残差，结合单元界面数值通量完成单元间物理信息的耦合传递；最后通过时间离散方法完成瞬态平流方程的迭代求解，得到不同时刻的数值解。整体框架兼顾高阶精度与守恒特性，能够有效平衡数值耗散与色散误差。

2.2 一维离散框架与求解流程

针对一维平流问题的求解区域，采用结构化网格剖分方式将连续区域离散为有限个一维线段单元，所有单元互不重叠且完全覆盖求解区域，网格划分灵活且可根据求解需求调整单元密度。在单元内部，采用高阶拉格朗日节点插值基函数作为试探函数与检验函数，依托单元内部节点构建高精度近似解，可通过调整插值阶数灵活控制求解精度，实现低阶稳定求解与高阶精细化求解的灵活切换。

空间离散过程中，基于伽辽金加权余量原理，将平流方程的数值残差在单元内加权积分并令其为零，得到单元离散的弱形式求解方程组。由于单元界面解不连续，界面处的通量不唯一，需引入高精度数值通量格式完成通量数值求解，实现相邻单元的物理信息交互，这也是保障方法守恒性与间断捕捉能力的关键。对于时间维度的瞬态演化问题，采用高精度龙格-库塔时间推进方法，实现时间域的稳定迭代求解，适配线性平流的平稳演化与非线性平流的剧烈梯度变化过程。

2.3 数值通量与稳定性控制机制

数值通量是节点不连续伽辽金方法的核心核心，直接决定数值求解的稳定性、精度与间断捕捉能力。针对一维平流方程的线性与非线性特性，需适配对应的通量计算策略：线性平流方程通量结构简单、单调性稳定，可采用中心通量结合修正项的方式，在保证高精度的同时简化计算；非线性平流方程通量具有变量相关性，易产生通量分叉与数值振荡，需采用迎风格式类数值通量，依托流动方向重构界面通量，有效抑制非物理振荡，精准捕捉激波间断。

相较于传统数值方法，节点不连续伽辽金方法具备天然的稳定性优势，单元独立离散的特性可有效规避对流占优问题的数值弥散现象。在非线性求解过程中，无需额外人工黏性、复杂限幅器等辅助手段，仅通过优化数值通量的迎风特性与网格分辨率，即可实现间断解的稳定求解，大幅简化了非线性平流问题的求解流程，同时保留了高阶数值精度。

3 一维线性平流方程求解实现

3.1 线性平流问题求解特性

一维线性平流方程描述匀速、线性的物理量输运过程，通量仅与恒定输运速度相关，与待求变量无耦合关系，解的演化过程光滑稳定，无自发间断与梯度突变问题，数值求解的核心需求是保障高精度、低耗散的光滑解追踪，避免数值色散导致的波形畸变。线性平流问题的物理演化规律简单，数值解始终保持连续光滑特性，对数值通量的稳定性要求较低，更能体现节点不连续伽辽金方法的高阶精度优势。

3.2 线性方程一维求解体系构建

针对一维线性平流方程的求解需求，搭建适配光滑输运问题的节点不连续伽辽金求解体系。区域离散采用均匀结构化网格，保证一维输运过程的数值均匀性，减少网格差异带来的数值误差。单元内部采用高阶节点插值基函数，最大化提升光滑解的拟合精度，精准复现平流波形的平移演化规律。

空间离散层面，基于伽辽金弱形式完成单元方程组构建，结合适配线性问题的高精度中心数值通量，实现单元界面的信息传递，该通量格式计算效率高、数值耗散极低，完全适配线性平流的光滑演化特性。时间推进采用三阶龙格-库塔格式，具备良好的时间精度与稳定性，能够精准追踪长时间尺度下的波形演化，有效抑制长期迭代过程中的数值累积误差。

整体求解流程无需额外稳定性修正措施，依靠方法本身的高阶插值与守恒通量特性，即可完成线性平流方程的高精度稳定求解，求解过程收敛速度快、数值波形保真度高，无明显畸变与衰减现象。

3.3 线性问题数值特性分析

通过一维线性平流经典算例的仿真求解可知，节点不连续伽辽金方法对线性光滑平流问题具备极佳的适配性。在均匀网格条件下，高阶节点插值能够精准拟合任意时刻的光滑波形，数值解与理论解析解偏差极小；网格加密与插值阶数提升可显著降低数值误差，收敛规律稳定，呈现出高阶收敛特性。长时间演化过程中，方法无明显数值耗散与色散问题，波形幅值、相位保持稳定，能够完整保留线性平流过程的物理特征，相较于有限差分、低阶有限体积方法，数值精度与波形保真度优势显著。

4 一维非线性平流方程求解实现

4.1 非线性平流问题求解难点

一维非线性平流方程的核心特征是通量函数依赖于待求变量，变量的空间分布会直接改变输运通量大小，导致物理量演化过程呈现非线性耦合特性。在演化过程中，光滑初始波形会逐渐出现梯度畸变，最终形成自发激波、间断跳跃等复杂现象，同时极易伴随数值振荡、解失真、求解发散等问题，是数值求解的重点难点。传统高阶数值方法在求解该类问题时，往往需要搭配复杂的振荡抑制策略，易造成数值精度损失，难以兼顾间断捕捉能力与求解精度。

4.2 非线性方程一维求解体系构建

针对非线性平流方程的求解难点，优化节点不连续伽辽金方法的一维求解框架，重点强化间断捕捉能力与数值稳定性。网格离散依旧采用结构化一维网格，可根据激波演化特性适度加密局部网格，提升间断区域的求解精度。单元内部仍采用高阶节点插值方式，保留高阶求解精度，同时依托方法单元间断的核心特性，天然适配非线性问题的间断解生成机制。

核心优化体现在数值通量的重构，摒弃线性问题的中心通量格式，采用高精度迎风数值通量，根据局部流动方向动态调整界面通量取值，精准匹配非线性通量的变化特性，从物理机制上抑制激波附近的非物理振荡。空间离散依旧基于伽辽金弱形式构建单元离散方程组，保留方法的守恒特性，严格保证非线性平流过程的物理量守恒。时间推进采用稳定性更强的三阶总变差递减龙格-库塔格式，适配非线性演化过程的剧烈梯度变化，避免迭代过程的数值发散。

整个求解体系无需引入人工黏性、斜率限幅器等额外修正手段，依靠数值通量的迎风自适应特性与节点间断的结构优势，即可实现非线性平流方程从光滑演化到激波生成、间断传播的全过程稳定求解，在抑制数值振荡的同时最大程度保留高阶数值精度。

4.3 非线性问题数值特性分析

通过一维非线性平流典型激波算例仿真验证，节点不连续伽辽金方法能够高效处理非线性平流的复杂演化过程。在波形光滑演化阶段，方法保持高阶精度优势，数值解与真实物理演化规律高度契合；在激波生成与传播阶段，能够精准捕捉间断位置与跳跃幅值，激波界面清晰锐利，无明显数值抹平现象，同时有效抑制了间断附近的高频非物理振荡，数值稳定性优异。

相较于线性求解过程，非线性平流求解的数值误差主要集中在激波间断区域，光滑区域误差仍保持高阶收敛特性。网格加密可有效提升激波捕捉精度，减小间断区域的数值误差，且求解过程始终保持严格守恒，无物理量失真问题，充分验证了该方法在非线性对流间断问题中的独特优势。

5 线性与非线性求解结果对比分析

5.1 求解机制差异对比

在线性平流方程求解中，物理演化过程单调光滑，通量恒定无耦合效应，数值求解的核心压力为高精度波形追踪，无需复杂的通量自适应调整与振荡抑制策略，求解流程简洁、收敛速度快、全域数值精度均匀。而非线性平流方程求解存在变量与通量的双向耦合，演化过程兼具光滑输运与间断突变双重特征，需要依托迎风通量的自适应调整适配局部流动变化，求解机制更复杂，对数值稳定性与间断捕捉能力要求更高。

5.2 数值精度与收敛性对比

精度层面，线性平流求解全域保持高阶均匀精度，数值误差整体偏低且分布均匀；非线性平流求解精度呈现区域差异化特征，光滑演化区域精度与线性求解相当，激波间断区域受梯度突变影响，数值误差略有上升，但仍保持较高的间断捕捉精度，优于传统低阶数值方法。收敛性层面，两类问题均具备稳定的网格收敛特性，随着网格加密与插值阶数提升，数值误差均持续降低；线性问题收敛速率更平稳，非线性问题因间断存在，收敛速率略有波动，但整体收敛规律稳定可靠。

5.3 稳定性与适应性对比

稳定性方面，线性求解过程无振荡、无发散风险，数值演化平稳可控；非线性求解过程在激波生成初期易出现数值扰动，但依托迎风通量与间断单元结构的协同作用，可快速抑制扰动，维持求解稳定，无发散、失真等问题。适应性方面，节点不连续伽辽金方法对线性、非线性一维平流问题均具备良好适配性，既能满足光滑输运的高精度求解需求，又能适配非线性间断流动的复杂求解场景，通用性能优异。

6 结论与展望

6.1 研究结论

本文系统完成了节点不连续伽辽金方法在一维线性、非线性平流方程中的理论分析与数值实现研究，明确了方法的核心求解机制与两类平流问题的求解差异，主要得出以下结论：第一，节点不连续伽辽金方法适配一维平流方程的求解场景，结构化一维网格结合高阶节点插值的离散框架，能够高效实现平流问题的高精度数值求解，兼具守恒性、稳定性与高阶精度优势；第二，针对线性平流光滑输运特性，中心通量搭配高阶插值的求解体系可实现低耗散、高保真的波形追踪，全域数值精度优异、收敛稳定；第三，针对非线性平流的间断演化特性，迎风自适应数值通量可有效捕捉激波间断、抑制数值振荡，无需额外修正手段即可完成非线性问题稳定求解；第四，该方法对线性、非线性一维平流问题均具备良好的适应性，相较于传统数值方法，在精度、间断捕捉能力与数值稳定性上具备显著优势。

6.2 研究展望

本文仅完成一维场景的基础实现与研究，后续可从多个维度开展深化研究：一是引入非均匀网格、自适应网格加密技术，进一步提升非线性平流激波区域的求解精度与计算效率；二是优化数值通量格式，构建适配强非线性、多激波耦合平流问题的高精度通量模型；三是将一维求解框架拓展至二维、三维对流问题，结合并行计算技术提升大规模工程仿真的计算效率；四是引入自适应插值阶数策略，实现全域精度与计算成本的动态平衡，进一步拓展节点不连续伽辽金方法的工程应用范围。

📚第二部分——运行结果

部分代码：

% Build 1d mesh
xgrid = mesh1d([0 2*pi],nE,'LGL',K);
dx = xgrid.elementSize; J = xgrid.Jacobian;
x = xgrid.nodeCoordinates; w = xgrid.weights';
xc = xgrid.elementCenter;

% Load DG tools
tool = DGtools(xgrid.solutionPoints);
V = tool.Vandermonde2;
invM = tool.nodalInvMassMatrix;
Dr = tool.nodalCoefDiffMatrix;

% Build Lift Operator
Emat = zeros(K+1,2); % array of element's shape function
Emat(1,1)=1; Emat(K+1,2)=1;
Lift = V*(V'*Emat);

% IC
u0 = IC(x,2);

% Set plot range
plotrange = [xgrid.range(1),xgrid.range(2),...
min(min(min(0.9*u0)),min(min(1.1*u0))),1.1*max(max(u0))];

%% Solver Loop

% Set initial time & load IC
t=0; u=u0; it=0;

% Using a 3rd Order 3-stage SSPRK time integration
while t < tEnd
uo = u;

% update time
dt = cfl*dx/max(max(abs(dflux(u)))); t = t+dt;

% iteration counter
it = it+1;

% 1st stage
dF = residual(u,flux,dflux,Lift,Dr);
u = uo-dt*dF/J;

% 2nd Stage
dF = residual(u,flux,dflux,Lift,Dr);
u = 0.75*uo+0.25*(u-dt*dF/J);

% 3rd stage
dF = residual(u,flux,dflux,Lift,Dr);
u = (uo+2*(u-dt*dF/J))/3;

% build cell averages
u_bar = w*u/2;

% Plot u
subplot(1,2,1); plot(x,u,x,u0,'-+'); axis(plotrange); grid off;
subplot(1,2,2); plot(xc,u_bar,'ro'); axis(plotrange); grid off;

%if rem(it,10) == 0
drawnow;
%end
end
%% Final Plot for IC 2
subplot(1,2,1); plot(x,u,x,u0,'-+'); axis(plotrange);
title('Nodal DG','interpreter','latex','FontSize',18);
xlabel('$\it{x}$','interpreter','latex','FontSize',14);
ylabel({'$\it{u(x)}$'},'interpreter','latex','FontSize',14);
subplot(1,2,2); plot(x,u0,'k-',xc,u_bar,'ro'); axis(plotrange);
title('Cell Averages','interpreter','latex','FontSize',18);
xlabel('$\it{x}$','interpreter','latex','FontSize',14);
ylabel({'$\it{u(x)}$'},'interpreter','latex','FontSize',14);

🎉第三部分——参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

​​​​​​🌈第四部分——本文完整资源下载

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