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解法3

第二题：

α、β都是锐角

第一步：利用锐角三角形的角的范围

是锐角三角形，三个内角，且。

由，可得：

即。

第二步：变形得到角的不等关系

由，移项得

又，，

而，在上单调递增。

第三步：利用单调性放缩正弦

对两边取正弦：

证明：\(S=\dfrac12ab\sin C\)

在\(\triangle ABC\)中，标准记号： 顶点\(A,B,C\)的对边依次为 \(a,b,c\)，即： \(BC=a,\ AC=b,\ \angle ACB=C\)

步骤 1：作高

过点A作 \(AH\perp BC\)，垂足为H，AH就是底边BC上的高h。

在\(\text{Rt}\triangle ACH\)中：

\(\sin C=\frac{AH}{AC}=\frac{h}{b}\) 变形得到高：

\(\boldsymbol{h = b\sin C}\)

步骤 2：套用基础三角形面积公式

普通面积公式：

取底，高，代入：

✅配套另外两组同形式公式（直接同理可得）

记忆要点：两条边 × 两边夹角的正弦，再乘

拓展：钝角情形验证（）

若角C是钝角，高落在三角形外部，此时仍然成立，公式依旧有效。

例题一

正弦定理是什么

正弦定理：

变形得到：

是外接圆半径。

把全部替换成角：

两边 2R 直接约掉：

二、二倍角公式

代入：

三、三角方程的解

在三角形中有两种情况：

当时，，代入原直线方程，两条直线方程完全一样，直线重合，不满足 “平行（不重合）” 题意，因此要舍去，只保留

三角形是以C为直角的直角三角形。

解法2：

• 由直线平行得到边与角的关系式两直线平行，斜率相等，推出：

• 代入余弦定理推论余弦定理推论：把它们代入两边同乘2abc消去分母，得到：

• 展开移项因式分解展开等式两侧：

• 消去\(a^2b^2\)，移项整理：

• 左右分别因式分解：左边提取：右边平方差分解：

• 于是得到：

• 移项提取公因式：

• 也就是：

1. 分情况讨论并结合题意取舍乘积为 0 有两种情况：

• 情况 1：，三角形边长为正，故\。但时，代入原直线方程会发现两直线重合，不符合 “平行（不重合）” 的题干要求，因此舍去。
• 情况 2：，即，根据勾股定理逆定理，是以C为直角的直角三角形，符合题意。

例二

(1) 求c的值

先化简已知条件：

，。

由余弦定理，代入：

整理得一元二次方程：

因式分解：，边长，得。

第小题 面积

1. 角度推导

已知，所以第 (1) 问已求出，因此：

2. 面积比计算

三角形面积公式：

代入：

==

说明，两个三角形面积相等。

3. 计算总面积

4. 求面积

因为，且二者面积相等：