企业官网建设流程全解析

大家好啊！这里是土豆的博客，一个正在努力学习技术的大学生。

上一篇和大家聊了递归的四步法，并且用阶乘那个例子带着大家完整走了一遍。如果还没看上一篇的话，建议先去翻一翻，不然这篇直接看可能会有点懵。

那今天这篇，咱们就继续用四步法来做两道练习题。这两道题看起来很像，但有一个关键的区别——把“缩小问题”和“还原回去”这两步的顺序换一下，结果就完全不一样了。我觉得这个对比挺好的，应该能帮你更深刻地理解递归的执行顺序。

好了，废话不多说，咱们直接开始。

案例1：倒序输出一个数字的每一位

题目：输入一个正整数，用递归的方式把它的每一位数字倒序输出。比如输入 1234，输出 4 3 2 1。（不考虑负数）

咱们还是用四步法一步一步来分析。

第一步：明白这个函数用来干什么

这个函数的功能很直白：接收一个整数 n，在屏幕上倒序打印它的每一位。

// 输入一个整数 n，倒序打印它的每一位数字 void printReverse(int n) { // 先不用管里面的实现 }

注意返回值是 void，因为这个函数只负责打印，不需要返回计算结果。

第二步：递归得确定终止条件

这里我觉得需要你先思考下，当n 等于多少的时候，我们可以直接处理？

既然咱们题目的要求是倒序输出每一位数字，那对于个位数来说是不是就输出就可以了呢？

所以当n 只有一位数的时候（也就是 n < 10），直接把它打印出来就行了，不需要再递归。

void printReverse(int n) { // 终止条件：n 是一位数时，直接打印 if (n < 10) { cout << n << " "; return; } }

第三步：想办法把问题“变小一号”

这一步我觉得咱们可以举个例子，那这里有引入了一个新的问题就是，咱们在举例子的时候，不能举太极端的例子，就比如个位数，要不然看不出来要怎么把问题变小

所以在这里咱们得尽量弄一个比较普适的例子，所以就拿1234来说

大家先暂停思考下，好好想想这块内容

首先1234 怎么变小？是不是去掉最后一位就行了。所以怎么去呢？

是不是很快就能想到用n / 10，1234 / 10 = 123，这样就得到去掉最后一位的数字了

既然1234变小了，那我们毕竟采用递归的思想，所以应该继续调用printReverse(123）

也就是调用printReverse(n / 10)。

所以在第三步咱们明确了这里的代码要写调用 printReverse(n / 10)。

第四步：怎么把缩小后的问题还原回去

咱们先不用管里面具体的实现逻辑，就先假设printReverse(123)已经帮我把 123 倒序打印好了。

那现在我要倒序打印 1234，要怎么利用这个结果呢？1234 的最后一位是 4，所以我们肯定得有个输出是不是，所以有：

cout << 4 ;

那咱们怎么得到4呢，是不是想到了%这个符号，咱们可以通过1234%10来得到

所以这里就是

cout << n%10 ;

现在重点来了，咱们是先打印再调用呢，还是是先调用后打印呢

这两个顺序看起来差不多，但结果完全不一样。

我们先分析一下逻辑：题目要求是倒序输出，也就是从最后一位开始打印。对于 1234 来说，最后一位是 4,也就是 n % 10，所以4必须第一个被打印。

那怎么保证 4 第一个打印呢？很简单，在调用递归之前，先把4打印出来。这样屏幕上先显示 4，然后递归再去处理剩下的 123，递归内部会依次打印 3、2、1，整个顺序就变成了 4 3 2 1。

所以我们的选择是：先打印 n % 10，再调用 printReverse(n / 10)。

把这一步写进代码，结合四步 就是：

void printReverse(int n) { // 第二步：终止条件 if (n < 10) { cout << n << " "; return; } // 第四步（先打印） + 第三步（再缩小） cout << n % 10 << " "; printReverse(n / 10); }

到这里，这个题其实就解完了。

但你有没有想过——如果反过来，先调用再打印，会发生什么？这个问题我当时也好奇过，所以专门试了一下，结果发现输出完全变了。具体怎么回事，咱们接着往下看。

重点来了：调换一下顺序会怎样？

咱们先来看下代码

void printReverse(int n) { if (n < 10) { cout << n << " "; return; } printReverse(n / 10); // 先缩小 cout << n % 10 << " "; // 后打印 }

结果是什么呢

答案是1 2 3 4——变成正序输出了！

这样我来手画个结构图，咱们一起来看看：

因为如果咱们先递归，程序会一路扎到最深处，此时n=1，所以程序先打印 1，然后返回上一层打印 2，再返回上一层打印 3……最后打印 4。

所以第三步（缩小）和第四步（还原）的先后顺序，决定了是从大到小处理还是从小到大处理。

对本题来说有：

所以确定这两步骤的顺序也是十分关键的。

案例2：计算一个数字的各位之和

题目：输入一个正整数，用递归计算它各位数字之和。比如输入 123，返回 1+2+3=6。

建议大家先暂停，自己用四步法想一想，再看分析。

第一步：明白这个函数用来干什么

// 输入一个整数 n，返回它各位数字之和 int sumDigits(int n) { // 先不用管里面的实现 }

第二步：递归得确定终止条件

当 n < 10 时，它只有一位，所以各位数字之和就是它自己。

int sumDigits(int n) { //终止条件，当n为个位数的时候，也就是n<10 if (n < 10) { return n; } }

第三步：想办法把问题“变小一号”

依旧咱们先举个例子：123

和倒序输出一样，用 n / 10去掉最后一位，问题从 123 缩小成 12。

和上一道题一样的思路：也就是sumDigits(12)即sumDigits(n / 10)

第四步：怎么把缩小后的问题还原回去

拿到sumDigits(12)的结果，也就是 1+2=3，怎么得到sumDigits(123) 的结果？

123 的最后一位是n%10，也就是 3。所以把它加上去就行了：3 + 3 = 6。

所以还原方式是：n % 10 + sumDigits(n / 10)

完整代码：

int sumDigits(int n) { if (n < 10) { return n; } return (n % 10) + sumDigits(n / 10); }

最后调用 sumDigits(123)，返回 6。

咱们看，这道题和倒序输出题目的结构几乎一模一样，只是把“打印”换成了“加法”。

所以这也能体现四步法的好处，套路是很固定的，具体操作换一下就行。

一个比较容易犯的问题：终止条件没写严谨

刚学递归的时候，最常犯的错误就是第二步终止条件考虑不周全。

就比如倒序输出那个例子，如果没有写 if (n < 10) 这个终止条件：

void printReverse(int n) { cout << n % 10 << " "; printReverse(n / 10); }

对于 n = 1234，程序会一直执行：1234 → 123 → 12 → 1 → 0 → 0 → 0……无限循环，直到程序崩溃。

所以后来我养成一个习惯：写完递归代码之后，用几个例子在脑子里跑一遍，检查终止条件有没有写全。

写在最后

递归这个东西，刚开始接触确实会觉得别扭，但我觉得只要多练几道，套路其实就那么几个。

今天这篇咱们用四步法做了两道练习题，还发现了第三步缩小和第四步还原的顺序一换，结果就完全不一样。同时我也希望这两个案例能帮你更深入地理解递归的执行顺序。

如果你学到后面就会发现，递归有时候会重复计算很多次同样的东西，比如斐波那契数列，这时候可以用一个数组把算过的结果存起来，这个技巧叫“记忆化搜索”，等咱们以后聊到数组的时候再详细展开～

之后我会继续分享一些相关的C++知识入门学习经验的。

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我们下篇见～