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一、实验概述

1.1 实验目的

1. 掌握离散无记忆信源熵、平均码长、编码效率、码长方差的理论计算公式；
2. 熟练掌握香农-范诺（Shannon-Fano）编码、哈夫曼（Huffman）编码的完整构造步骤；
3. 通过两组典型信源（均匀等概率信源、非均匀概率信源）手工推演两种编码；
4. 从平均码长、编码效率、码长方差三个维度对比两种前缀码的压缩性能；
5. 分析哈夫曼编码性能优于香农-范诺编码的底层原理，解释工程压缩算法普遍选用哈夫曼编码的原因。

1.2 核心理论公式
（1）信源熵（无损压缩理论下界）
H(X) = -求和（i从1到n）[ p_i × log₂(p_i) ]，单位：bit/符号p_i：第i个信源符号的出现概率。
（2）平均码长
L平均 = 求和（i从1到n）[ p_i × l_i ]l_i：符号x_i对应的码字二进制长度。
（3）编码效率（衡量压缩性能，越接近100%越好）
η = [ H(X) ÷ L平均 ] × 100%
（4）码长方差（衡量码字长度均匀程度，方差越小硬件实现越友好）
σ² = 求和（i从1到n）[ p_i × (l_i - L平均)² ]

1.3 两种编码构造规则

1.3.1 香农-范诺编码步骤

1. 将全部信源符号按照概率从大到小降序排序；
2. 将符号集合划分为概率总和尽可能接近相等的上下两组；
3. 上一组所有符号码字首位填0，下一组填1；
4. 对划分后的两组递归执行分组操作，直至每组仅剩余单个符号，停止递归。

1.3.2 哈夫曼编码步骤

1. 符号按概率降序排列；
2. 选取概率最小的两个符号合并为一个新父节点，父节点概率为两子节点概率之和；两条分支分别标记0、1；
3. 将新节点放回符号序列，重新排序，重复合并操作，直到仅剩唯一根节点；
4. 从根节点向叶子节点反向读取路径0/1序列，得到每个符号的唯一前缀码字。

二、两组信源编码手工推演实验

2.1 实验一：4符号均匀等概率信源信源
符号集合 X={x₁,x₂,x₃,x₄}，概率分布 P={0.25,0.25,0.25,0.25}

2.1.1 计算信源熵
H(X) = -4 × 0.25 × log₂0.25 = 2 bit/符号

2.1.2 香农-范诺编码推演

1. 排序：x₁(0.25),x₂(0.25),x₃(0.25),x₄(0.25)
2. 第一次分组：{x₁,x₂}（总概率0.5，码前缀0）、{x₃,x₄}（总概率0.5，码前缀1）
3. 二次分组后码字：x₁:00，x₂:01，x₃:10，x₄:11，全部码长l_i=2
   平均码长：L平均(SF)=0.25 × (2+2+2+2)=2
   编码效率：η(SF)=(2÷2)×100%=100%
   码长方差：所有码长相等，σ²(SF)=0

2.1.3 哈夫曼编码推演
多次合并最小概率节点后，最终所有符号码字长度均为2。平均码长 L平均(Huff)=2，编码效率100%，码长方差σ²(Huff)=0。

2.1.4 本组实验小结
均匀等概率信源下，香农-范诺编码与哈夫曼编码性能完全一致，均达到无损压缩理论极限。