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第十四章：Backpropagation — 知识点笔记

综合来源：Lecture 14 PDF（38页）、课堂笔记（CSDN）

占位图

14.1 梯度计算：三种方法对比 ⭐

(1) 数值微分（Numerical Differentiation）

∂E∂wi≈E(w+ϵIi)−E(w−ϵIi)2ϵ\frac{\partial E}{\partial w_i} \approx \frac{E(w + \epsilon I_i) - E(w - \epsilon I_i)}{2\epsilon}∂wi​∂E​≈2ϵE(w+ϵIi​)−E(w−ϵIi​)​

(2) 符号微分（Symbolic Differentiation）

• 用求导规则推导解析梯度表达式
• 优点：精确 | 缺点：表达式膨胀（Expression Swell）→大量冗余重复子表达式

(3) 自动微分（Autodiff）⭐

两种模式

14.2 前向追踪：计算图 ⭐

将计算分解为基本操作的序列：

v1 = x1 v4 = exp(v3) v2 = x2 v5 = sin(v2) v3 = v1 * v2 v6 = v4 + v3 v7 = v6 - v5 (= f)

每个变量viv_ivi​是计算图的一个节点，操作是有向边。

14.3 反向传播：伴随变量 ⭐⭐⭐

核心递归公式

定义伴随变量（Adjoint）：ai=∂f∂via_i = \frac{\partial f}{\partial v_i}ai​=∂vi​∂f​

ai=∑j∈Ch[i]∂vj∂vi⋅aja_i = \sum_{j \in \mathbf{Ch}[i]} \frac{\partial v_j}{\partial v_i} \cdot a_jai​=j∈Ch[i]∑​∂vi​∂vj​​⋅aj​

• Ch[i]\mathbf{Ch}[i]Ch[i]：viv_ivi​的子节点集合（被viv_ivi​影响的后继变量）
• 从输出向输入递归！

算法步骤

1. 前向：计算所有viv_ivi​的值并缓存
2. 初始化：afinal=1a_{final} = 1afinal​=1（∂f∂f=1\frac{\partial f}{\partial f}=1∂f∂f​=1）
3. 反向遍历：按拓扑逆序计算每个aia_iai​
4. 梯度：输入变量对应的aia_iai​即所求梯度

关键观察

• 单输出→只需维护一个伴随变量
• 多路径→梯度累加（sum over children）
• 需缓存/重算中间变量值

14.4 神经网络中的反向传播

单隐藏层网络梯度

y=σ(W(2)σ(W(1)x))y = \sigma(W^{(2)}\sigma(W^{(1)}x))y=σ(W(2)σ(W(1)x))

对W(1)W^{(1)}W(1)的偏导：
∂E∂Wij(1)=∂E∂y⋅∂y∂z⋅∂z∂Wij(1)\frac{\partial E}{\partial W^{(1)}_{ij}} = \frac{\partial E}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial W^{(1)}_{ij}}∂Wij(1)​∂E​=∂y∂E​⋅∂z∂y​⋅∂Wij(1)​∂z​

• 外层导数→内层导数→链式法则嵌套
• Autodiff自动处理所有嵌套

为什么反向模式高效

• 深度网络：f:RD→Rf: \mathbb{R}^D \to \mathbb{R}f:RD→R（百万参数→单一损失）
• 反向模式一次遍历→O(D)\mathcal{O}(D)O(D)计算所有梯度
• 前向模式需O(D)\mathcal{O}(D)O(D)次遍历→不适合DL

14.5 PyTorch中的Autograd

loss.backward()# 自动反向传播→计算所有参数的.grad

• 追踪requires_grad=True的tensor
• 构建动态计算图
• backward()触发反向遍历→填充.grad属性

笔记中的图片索引

笔记整理时间：2026年6月29日