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写在前面：本专栏内容来自公开平台名师教学内容，仅用于个人学习，不得做他用。

1. 逻辑的定义

逻辑是事物的因果关系，其运算基础称为逻辑代数（布尔），二进制中取1/0。香农在1937年提出了布尔代数和电子电路之间的关联。

想要将实际的物理物件（比如电路）放入数学的视角进行运算（逻辑运算），第一件事是对其状态进行编码。

2. 基本逻辑

（1）与：Y=A&B=A AND B=A·B=AB，条件同时具备结果发生

上图左边为真值表，右边是两种国际上认可的与门表示。

（2）或：Y= A OR B=A+B，条件之一发生结果发生

（3）非：Y=A' =NOT A，条件不发生结果发生

读图时，不管圈在后还是前，只要碰到一个圈就给逻辑值加上一个反。

（4）几种复合运算

（5）异或：输入不同为1，相同为0

用三种基本逻辑门表示：Y=A'B+AB'。

（6）同或：输入相同为1，不同为0

用三种基本逻辑门表示：Y=AB+A'B'。

3. 逻辑运算公式

（1）基本公式

主要是17一下看不出来，（A+B）(A+C)=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC。

8和18就是交的补=补的并，并的补=补的交，是德·摩根定理（布尔的老师）。

（2）常用公式

关于25，只需要在多余项上乘以1=（A+A'）化开即可。语言表述：式子中至少有三项，其中两项为原变量*B、反变量*C，剩下那项同时有B*C，则该项可去掉。

关于22，用上面的公式17化掉左边，就可以。

4. 逻辑代数基本定理

（1）代入定理

在任何一个包含A的逻辑等式中，以另外一个逻辑式代入A的位置，等式依然成立。

意思就是底层的运算结果可以直接放在高层的运算里。

比如德·摩根定理，可以不仅用于两个变量，多个变量依旧适用。

（2）反演定理

已知Y想要求Y'，与（·）变或（+），或（+）变与（·），0变1，1变0。

5. 逻辑函数

Y=F(A,B,C,...)输入变量与输出变量是函数关系，在二值逻辑中值就取0/1。

（1）表示方法

看波形图和写真值表都要注意完整性，是否输入变量每一行可能都取到（三个输入=8种可能）。如果Y=1的次数少，就正常写逻辑式；如果Y=1的次数多，就写=0的逻辑式然后取反。

逻辑式最为简洁抽象，逻辑图和电路关系对应最清楚，波形图最容易被观测。

需求/波形图—真值表（完整）—逻辑式—逻辑图：一个逻辑关系，其真值表和逻辑式应当是唯一对应的。把Y=1的所有组合全部相加，0时变量取负，1时取原，最后化简。得到最简逻辑式后，根据现有器件重新整理，再画逻辑图。

（2）标准形式

最小项之和：来源于真值表。比如一个电路涉及到A\B\C\D四个变量，则最小项m中每一个变量均以原变量或反变量出现一次，如ABC'D'。一般以该二进制对应的十进制数为下标，如已知四个变量，m0指A'B'C'D'。

相邻：只有一个变量取反的两个最小项，不一定要下标差1。

最大项之积：每一个最小项用摩根定理变换就得到了最大项，比如A'+B'+C+D。最大项用M表示，下标也可以用二进制转十进制，但是计算下标时A'视为1、A视为0。

最小项取0容易，最大项取1容易。所以真值表Y=1多的时候用最大项表示Y=0的然后取反，Y=0多的时候用最小项表示Y=1。

在同一种逻辑关系下，一个最小项m(ABC)和对应的最大项M下标(A'+B'+C')相同，最小项表示用到的下标应该和最大项表示用到的下标完全互补。

（3）化简

逻辑函数有最简与或式：包含的乘积项最少，每个乘积项的因子也最少。以下为常用化简方法：

[1] 公式化简法：需要记忆公式+大量练习，现在AI能够直接快速帮你做到。

[2] 卡诺图化简法：

卡诺图采用格雷码方式，为保证相邻，可视为立体结构展开所得（比如4变量卡诺图最外层一圈都视为相邻）。用卡诺图化简，变量不能太多，不然过于麻烦。

最小项相邻=在卡诺图上连片，内部+周围一圈（拐弯不行！需要矩形）都算相邻。相邻的最小项可以合并消除变量，个最小项可以消去n个因子。

卡诺图化简原则：圈应该足够大（与项短）、足够少（与项少），每个圈都有自己新的1，可以重复利用1，必须包含图中所有1。如果0比较少，也可以圈0的部分然后取反。

逻辑函数的化简结果不唯一！！！但最终与项个数长短一样（圈数量大小一样，分布不一样）。

这里涉及到两种无关项：

约束项：在现实物理背景中，对输入变量取值有限制，在限制下永远为0或者为1的最小项为约束项。

任意项：在输入变量某些取值下，函数为1或者为0不影响电路功能。在这种取值下唯一的最小项叫做任意项。

约束项和任意项在卡诺图里用x表示，化简时看情况不一定会被圈进去。不同物理背景决定了不同的无关项，所以同样的输入变量在不同的约束条件下，可能要重新设计电路系统。

[3] 机器化简法：大部分电路仿真软件（如：multsim）都自带逻辑化简功能。

比如列表法（qm法）。这种方法把所有有效最小项按照含有几个1分类，分别比较无1和一个1、一个1和两个1...以此类推，判断是否相邻（每多个1表示可能可以消去一个变量）。先消高层，逐渐往底层进。