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变量选择的核心问题

在多个候选自变量中，选择一部分真正有解释力或预测力的变量，使模型既不过于复杂，也不过于简单。

一、变量选择的基本模型

多元线性回归完整模型为：

其中，表示候选自变量个数。

如果我们只选择其中一部分变量，记选中的变量集合为，那么候选模型可以写成：

其中，表示被选入模型的变量集合。

如果，就表示模型只保留​。

二、变量选择为什么不能只看

决定系数为：

其中：

但是，在多元回归中，只要不断加入变量，SSE 通常会下降，通常会增加。也就是说：

所以，如果只看，模型会倾向于保留更多变量，容易出现过拟合。

因此，变量选择需要同时考虑：

拟合优度+模型复杂度惩罚

三、调整后的

为了解决普通偏向复杂模型的问题，可以使用调整后的。

其中，是样本量，是模型参数个数，包括截距项。

如果选入变量个数为，那么：

调整后的会对变量数量进行惩罚。如果加入的新变量不能明显降低，调整后的反而可能下降。变量选择时，可以选择调整后最大的模型：

四、AIC 准则

AIC 全称是 Akaike Information Criterion，即赤池信息准则。它的一般形式为：

其中，是模型似然函数，是参数个数。在线性回归正态误差假设下，AIC 常写成：

AIC 的选择规则是：

AIC 越小，说明模型在拟合效果和复杂度之间的平衡越好。

一般来说，AIC 的惩罚相对较弱，因此它更倾向于选择变量稍多、预测能力较强的模型。

五、BIC 准则

BIC 全称是 Bayesian Information Criterion，即贝叶斯信息准则。它的一般形式为：

在线性回归中，BIC 常写成：

BIC 的选择规则是：

与 AIC 相比，BIC 的惩罚项是，通常比 AIC 的更大。也就是说，BIC 更偏向选择简洁模型。AIC 和 BIC 的核心区别可以写成：

当较大时，通常有：

所以 BIC 对模型复杂度的惩罚更强。

六、Mallows准则

也是经典变量选择准则，用于衡量模型偏差和方差之间的平衡。其公式为：

其中，​ 表示当前候选模型的残差平方和，通常由完整模型估计得到。

完整模型的误差方差估计为：

一般来说，如果一个模型比较合理，则：

其中是当前模型的参数个数，包括截距项。

七、嵌套模型的 F 检验

变量选择也可以基于假设检验进行。比如比较一个完整模型和一个简化模型。

简化模型的残差平方和记为：

完整模型的残差平方和记为：

其中，R表示 reduced model，F表示 full model。

嵌套模型 F 检验统计量为：

其中，是完整模型参数个数，是简化模型参数个数。

原假设通常为：

被删除变量的回归系数均为0

备择假设为：

至少有一个被删除变量的回归系数不为0

如果 F 检验显著，说明被删除的变量整体上有贡献，不应该删除。

八、向前选择

向前选择的思想是：

从空模型开始，每次加入一个最能改善模型的变量。空模型为：

每一步尝试加入一个候选变量，选择使准则最优的变量。例如使用 BIC，则选择：

如果加入变量后准则下降，则保留该变量：

否则停止选择。

向前选择适合候选变量较多、但希望逐步构建模型的情况。

九、向后剔除

向后剔除的思想是：从完整模型开始，每次删除一个最不重要的变量。

完整模型为：

如果删除变量后 BIC 下降，则删除该变量：

否则停止。

向后剔除适合样本量足够，并且一开始可以拟合完整模型的情况。

十、逐步回归

逐步回归结合了向前选择和向后剔除。它的思想是：每一步既允许加入变量，也允许删除变量。

当前变量集合为，则每一步同时比较：

加入变量：

删除变量：

然后选择使准则下降最多的操作：

其中，可以是 AIC、BIC、调整后的或其他准则。

十一、全子集选择

全子集选择是最直接的方法。如果有个候选变量，则所有可能模型数量为：

例如，则模型数量为：

全子集选择会遍历所有变量组合，然后选择准则最优的模型：

如果使用 AIC，则为：

全子集选择的优点是可以找到全局最优模型；缺点是当很大时计算量会非常大。

总结

变量选择的本质是：在多个候选模型中，通过 AIC、BIC、调整后、或 F 检验等准则，选择一个既能较好解释数据、又不过度复杂的模型。

变量选择可以概括为：

候选变量→构建候选模型→计算评价准则→比较模型→确定最终变量集合