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排列组合是算法竞赛、笔试面试的高频考点，核心区别：排列重顺序，组合不重顺序。Python 自带标准库可快速解题，搭配回溯算法能覆盖所有变形场景。本文结合洛谷B2164组合数、洛谷P1706全排列、LeetCode77组合3道经典题，一站式搞定排列组合的内置函数用法与手写实现。

一、组合数计算：只求数量，不枚举（洛谷B2164）

题目核心

给定n、k，求C(n,k) mod 1e9+7（从n个元素选k个的方案数，顺序无关）。

数学公式

C(n,k)=n!/(k!*(n−k)!)

Python 极简解法（math.comb）

Python 3.10+ 提供math.comb直接计算组合数，搭配取模即可通过本题。

frommathimportcomb MOD=10**9+7n,m=map(int,input().split())# 直接计算组合数并取模ans=comb(n,m)%MODprint(ans)

样例输入：5 3 →输出：10

手写组合数（兼容低版本）

defcalc_comb(n,k):ifk<0ork>n:return0ifk==0ork==n:return1k=min(k,n-k)# 减小计算量res=1foriinrange(1,k+1):res=res*(n-k+i)//ireturnres MOD=10**9+7n,m=map(int,input().split())print(calc_comb(n,m)%MOD)

二、全排列生成：有序枚举所有序列（洛谷P1706）

题目核心

按字典序输出1~n的全排列，每个数字占5个字符宽度。

核心概念

排列：元素顺序不同算不同结果，用itertools.permutations生成。

Python 标准库解法

fromitertoolsimportpermutations n=int(input())# 生成1~n的列表nums=list(range(1,n+1))# 生成全排列perms=permutations(nums)# 按格式拼接：每个数字占5位result=[''.join(f'{num:5d}'fornuminp)forpinperms]print('\n'.join(result))

样例输入：3 → 输出按要求对齐的6行全排列。

回溯手写全排列（竞赛必备模板）

n=int(input())res=[]used=[False]*(n+1)# 标记数字是否被使用defbacktrack(path):iflen(path)==n:res.append(''.join(f'{x:5d}'forxinpath))returnforiinrange(1,n+1):ifnotused[i]:used[i]=Truepath.append(i)backtrack(path)path.pop()used[i]=Falsebacktrack([])print('\n'.join(res))

三、组合枚举：生成所有k元子集（LeetCode77）

题目核心

给定n、k，返回[1,n]中所有k个数的组合（无序，不重复）。

标准库解法（itertools.combinations）

fromtypingimportListfromitertoolsimportcombinationsclassSolution:defcombine(self,n:int,k:int)->List[List[int]]:nums=list(range(1,n+1))# 生成所有k元组合return[list(c)forcincombinations(nums,k)]

样例输入：n=4,k=2 → 输出6个组合。

回溯+剪枝（高效手写版）

组合无需顺序，用start避免重复，剪枝可大幅提速。

fromtypingimportListclassSolution:defcombine(self,n:int,k:int)->List[List[int]]:res=[]defbacktrack(start,path):# 剪枝：剩余元素不够凑k个，直接返回iflen(path)+(n-start+1)<k:returniflen(path)==k:res.append(path.copy())returnforiinrange(start,n+1):path.append(i)backtrack(i+1,path)# 从下一个数开始，避免重复path.pop()backtrack(1,[])returnres

四、核心对比：排列 vs 组合

快速选择指南

1. 只求方案数→ 用math.comb（组合数）
2. 生成所有有序序列→ 用permutations或全排列回溯
3. 生成所有无序子集→ 用combinations或组合回溯
4. 算法竞赛/面试 → 必须掌握回溯模板（内置函数可能受限）

总结

1. 组合数：math.comb一步到位，搭配取模适配大数场景；
2. 全排列：permutations快速生成，回溯可处理自定义约束；
3. 组合枚举：combinations极简，回溯+剪枝更高效。

吃透这3道题与两套写法，Python 排列组合类题目直接秒杀。