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一、二叉树搜索树

1.1 二叉搜索树的概念

二叉搜索树(BST、Binary Search Tree)又称二叉排序树或二叉查找树，可以是一棵空树，也可以是具有以下性质的特殊二叉树：

1.如果左子树不为空，那么左子树上所有的节点的值(key)都小于根节点的值(key)。 2.如果右子树不为空，那么右子树上所有的节点的值(key)都大于根节点的值(key)。 3.左右子树也是一棵搜索二叉树。 4.搜索二叉树不允许有重复的值(key)。

默认的二叉搜索树走中序遍历结果是升序。

1.2 二叉搜索树的操作

对于下面这棵二叉搜索树：

int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };

1.2.1二叉搜索树的查找

1.如果要查找的值(key)比根节点的值(key)要大，那么往右子树继续查找，如果比根节点的值(key) 小，那么往左子树查找。 2.最多查找高度次，如果走到空还没有找到，说明这个值不在该二叉搜索树里。

1.2.2二叉搜索树的插入

两种情况 1.树为空，则直接新增一个节点，并将该节点赋值给根节点。 2.树不为空，先查找插入位置，然后插入新节点。

依次插入16、0。插入成功返回true，插入失败返回false。

1.2.3二叉搜索树的删除

首先查找要删除的值是否在树中，如果不在，则返回false。如果在树中，又可能分为以下四种情况： 1.被删除的节点没有左右孩子。 1.被删除的节点只有左孩子。 2.被删除的节点只有右孩子。 3.被删除的节点既有左孩子，又有右孩子。

情况1可以和情况2或3合并。合并以后的新情况：

1.被删除的节点只有左孩子，左孩子可能为空树。 2.被删除的节点只有右孩子。 3.被删除的节点既有左孩子，又有右孩子。

情况1.被删除的节点只有左孩子，左孩子可能为空树。

情况1的删除方法：

情况1存在的特殊情况以及处理方法：根节点只有左子树

情况2.被删除的节点只有右孩子。

情况2的处理方式以及情况2的特殊情况的处理方式：

情况3：被删除的节点既有左孩子又有有孩子。

情况3的处理方法：

替换法： 1.找到左子树的最大节点(最右节点)，或右子树的最小节点(最左节点)。 2.左子树的最右节点必定是没有右子树的，右子树的最左节点必定是没有左子树的。 3.将被删除的节点替换最右节点或最左节点。 4.删除替换后的最右节点或最左节点。

以节点8和找右子树的最左节点为例：

二、二叉搜索树的实现

2.1 二叉搜索树的框架结构

1.二叉树的每个节点的结构

包含：模板参数K、一个显示构造函数、节点的值_key、指向左孩子的节点指针_left、指向右孩子的 节点指针_right。

//1.二叉树的每个节点的结构 template<class K> struct BSTreeNode { //构造函数 BSTreeNode(const K& key=K()) :_key(key) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) {} //成员变量 K _key; //key值 BSTreeNode<K>* _left; //指向左孩子 BSTreeNode<K>* _right; //指向右孩子 };

2.二叉树的结构

包含：模板参数K、对节点名称的重命名，根节点_root，默认成员函数、功能成员函数

//模板参数K template<class K> class BSTree { //对节点重命名 typedef BSTreeNode<K> Node; public: //成员函数 //1.默认成员函数 //构造函数 BSTree(); //拷贝构造函数 BSTree(const BSTree<K>& tree); //赋值重载函数 BSTree<K>& operator=(BSTree<K> tree); //析构函数 ~BSTree(); //... //2.功能成员函数 //查找 bool Find(const K& key); //插入 bool Insert(const K& key); //删除 bool Erase(const K& key); //中序遍历 void InOrder(); //... private: //成员变量 Node* root = nullptr; };

其中功能成员函数又有递归版本和非递归版本。

2.2 实现

2.2.1 Find查找

非递归版本：

//查找 bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur != nullptr) { if (key > cur->_key) { //继续去右子树查找 cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { //继续去左子树查找 cur = cur->_left; } else { //找到了 return true; } } //没找到 return false; }

递归版本：

//递归版本的查找 bool FindR(const K& key) { return _FindR(_root, key); } bool _FindR(Node* root, const K& key) { if (root == nullptr) { return false; } if (root->_key == key) { return true; } else if (root->_key < key) { return _FindR(root->_right, key); } else { return _FindR(root->_left, key); } }

2.2.2 插入Insert

非递归版本：

//插入 bool Insert(const K& key) { //如果根为空，直接插入新节点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } Node* cur = _root; //记录cur的父节点 Node* prev = _root; while (cur != nullptr) { prev = cur; if (key > cur->_key) { //继续去右子树 cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { //继续去左子树 cur = cur->_left; } else { //搜索二叉树不允许有重复值 return false; } } //插入 if (key > prev->_key) { prev->_right = new Node(key); } else { prev->_left = new Node(key); } return true; }

递归版本：

递归版本的插入使用了引用传参，可以在找到插入位置时修改root可以直接插入

//递归版本 bool InsertR(const K& key) { return _InsertR(_root, key); } //引用传参，方便插入 bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { //已经找到插入位置，直接插入 root = new Node(key); return true; } if (root->_key == key) { //搜索二叉树不允许有重复值 return false; } else if (root->_key > key) { _InsertR(root->_left, key); } else { _InsertR(root->_right, key); } return true; }

2.2.3 删除

非递归版本：

//删除 bool Erase(const K& key) { Node* cur = _root; //指向cur的父节点 Node* prev = _root; while (cur&&cur->_key!=key) { prev = cur; if (cur->_key > key) { //去左子树 cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { //去右子树 cur = cur->_right; } } if (cur == nullptr) { //没找到要删除的节点 return false; } //找到了要删除的节点 //开始删除 if (cur->_left && cur->_right) { //左右孩子均存在 //1.找右子树的最左节点 Node* tmp = cur->_right; Node* parent = cur; while (tmp->_left != nullptr) { parent = tmp; tmp = tmp->_left; } //交换最左节点和cur节点的值_key swap(cur->_key, tmp->_key); //如果parent没有动，说明cur的第一个右孩子就是最左节点 if (parent == cur) { cur->_right = tmp->_right; } else { //如果parent动了，那么tmp就必定是parent的左孩子 parent->_left = tmp->_right; } delete tmp; } else if (cur->_right) { //只有右孩子 //1.特殊情况：如果cur等于_root if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { //判断cur是父节点的左孩子还是右孩子 if (prev->_key > cur->_key) { //是左孩子 prev->_left = cur->_right; } else { //是右孩子 prev->_right = cur->_right; } } delete cur; } else { //只有左孩子或没有孩子 if (cur == _root) { _root = cur->_left; } else { //判断cur是父节点的左孩子还是右孩子 if (prev->_key > cur->_key) { //是左孩子 prev->_left = cur->_left; } else { //是右孩子 prev->_right = cur->_left; } } delete cur; } return true; }

递归版本：

递归版本的删除也使用的引用传参，可以更方便直接删除节点。

//删除的递归版本 bool EraseR(const K& key) { return _EraseR(_root, key); } bool _EraseR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { //没找到要删除的节点 return false; } if (root->_key > key) { return _EraseR(root->_left, key); } else if (root->_key < key) { return _EraseR(root->_right, key); } else { Node* cur = root; //找到了要删除的节点 if (root->_left && root->_right) { //有左右孩子 //1.找右子树的最左节点 Node* tmp = root->_right; while (tmp->_left != nullptr) { tmp = tmp->_left; } //交换最左节点和cur节点的值_key swap(root->_key, tmp->_key); //cur的右子树仍然能确保是一棵二叉搜索树，在cur的右子树里递归删除key _EraseR(root->_right, key); } else if (root->_right) { //只有右孩子 root = root->_right; delete cur; } else { //只有左孩子或没有孩子 root = root->_left; delete cur; } return true; } }

2.2.4 中序遍历

递归版本：

void InOrder() { _InOrderR(_root); } void _InOrderR(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrderR(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrderR(root->_right); }

2.2.5 构造函数

//构造函数 BSTree() :_root(nullptr) {}

2.2.6 拷贝构造函数

二叉搜索树的拷贝构造需要深拷贝。

//拷贝构造函数 BSTree(const BSTree<K>& tree) { //需要进行深拷贝 copy(_root, tree._root); } //root2拷贝至root1 void copy(Node*& root1, Node* root2) { if (root2 == nullptr) { root1 = nullptr; return; } root1 = new Node(root2->_key); copy(root1->_left, root2->_left); copy(root1->_right, root2->_right); }

2.2.7 赋值重载函数

//赋值重载函数 BSTree<K>& operator=(BSTree<K> tree) { swap(_root, tree._root); return *this; }

2.2.8 析构函数

//析构函数 ~BSTree() { destroy(_root); } void destroy(Node*& root) { if (root == nullptr) { return; } destroy(root->_left); destroy(root->_right); delete root; root = nullptr; }

2.2.9 整体代码

//1.二叉树的每个节点的结构 template<class K> struct BSTreeNode { //构造函数 BSTreeNode(const K& key=K()) :_key(key) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) {} //成员变量 K _key; //key值 BSTreeNode<K>* _left; //指向左孩子 BSTreeNode<K>* _right; //指向右孩子 }; //模板参数K template<class K> class BSTree { //对节点重命名 typedef BSTreeNode<K> Node; public: //构造函数 BSTree() :_root(nullptr) {} //拷贝构造函数 BSTree(const BSTree<K>& tree) { //需要进行深拷贝 copy(_root, tree._root); } //root2拷贝至root1 void copy(Node*& root1, Node* root2) { if (root2 == nullptr) { root1 = nullptr; return; } root1 = new Node(root2->_key); copy(root1->_left, root2->_left); copy(root1->_right, root2->_right); } //赋值重载函数 BSTree<K>& operator=(BSTree<K> tree) { swap(_root, tree._root); return *this; } //析构函数 ~BSTree() { destroy(_root); } void destroy(Node*& root) { if (root == nullptr) { return; } destroy(root->_left); destroy(root->_right); delete root; root = nullptr; } //2.功能成员函数 //查找 bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur != nullptr) { if (key > cur->_key) { //继续去右子树查找 cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { //继续去左子树查找 cur = cur->_left; } else { //找到了 return true; } } //没找到 return false; } //递归版本的查找 bool FindR(const K& key) { return _FindR(_root, key); } bool _FindR(Node* root, const K& key) { if (root == nullptr) { return false; } if (root->_key == key) { return true; } else if (root->_key < key) { return _FindR(root->_right, key); } else { return _FindR(root->_left, key); } } //插入 bool Insert(const K& key) { //如果根为空，直接插入新节点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } Node* cur = _root; //记录cur的父节点 Node* prev = _root; while (cur != nullptr) { prev = cur; if (key > cur->_key) { //继续去右子树 cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { //继续去左子树 cur = cur->_left; } else { //搜索二叉树不允许有重复值 return false; } } //插入 if (key > prev->_key) { prev->_right = new Node(key); } else { prev->_left = new Node(key); } return true; } //递归版本的插入使用了引用传参，可以在找到插入位置时修改root可以直接插入 //递归版本 bool InsertR(const K& key) { return _InsertR(_root, key); } //引用传参，方便插入 bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { //已经找到插入位置，直接插入 root = new Node(key); return true; } if (root->_key == key) { //搜索二叉树不允许有重复值 return false; } else if (root->_key > key) { _InsertR(root->_left, key); } else { _InsertR(root->_right, key); } return true; } //删除 bool Erase(const K& key) { Node* cur = _root; //指向cur的父节点 Node* prev = _root; while (cur&&cur->_key!=key) { prev = cur; if (cur->_key > key) { //去左子树 cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { //去右子树 cur = cur->_right; } } if (cur == nullptr) { //没找到要删除的节点 return false; } //找到了要删除的节点 //开始删除 if (cur->_left && cur->_right) { //左右孩子均存在 //1.找右子树的最左节点 Node* tmp = cur->_right; Node* parent = cur; while (tmp->_left != nullptr) { parent = tmp; tmp = tmp->_left; } //交换最左节点和cur节点的值_key swap(cur->_key, tmp->_key); //如果parent没有动，说明cur的第一个右孩子就是最左节点 if (parent == cur) { cur->_right = tmp->_right; } else { //如果parent动了，那么tmp就必定是parent的左孩子 parent->_left = tmp->_right; } delete tmp; } else if (cur->_right) { //只有右孩子 //1.特殊情况：如果cur等于_root if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { //判断cur是父节点的左孩子还是右孩子 if (prev->_key > cur->_key) { //是左孩子 prev->_left = cur->_right; } else { //是右孩子 prev->_right = cur->_right; } } delete cur; } else { //只有左孩子或没有孩子 if (cur == _root) { _root = cur->_left; } else { //判断cur是父节点的左孩子还是右孩子 if (prev->_key > cur->_key) { //是左孩子 prev->_left = cur->_left; } else { //是右孩子 prev->_right = cur->_left; } } delete cur; } return true; } //删除的递归版本 bool EraseR(const K& key) { return _EraseR(_root, key); } bool _EraseR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { //没找到要删除的节点 return false; } if (root->_key > key) { return _EraseR(root->_left, key); } else if (root->_key < key) { return _EraseR(root->_right, key); } else { Node* cur = root; //找到了要删除的节点 if (root->_left && root->_right) { //有左右孩子 //1.找右子树的最左节点 Node* tmp = root->_right; while (tmp->_left != nullptr) { tmp = tmp->_left; } //交换最左节点和cur节点的值_key swap(root->_key, tmp->_key); //cur的右子树仍然能确保是一棵二叉搜索树，在cur的右子树里递归删除key _EraseR(root->_right, key); } else if (root->_right) { //只有右孩子 root = root->_right; delete cur; } else { //只有左孩子或没有孩子 root = root->_left; delete cur; } return true; } } //中序遍历 void InOrder() { _InOrderR(_root); } void _InOrderR(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrderR(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrderR(root->_right); } //... private: //成员变量 Node* _root = nullptr; };

三、二叉搜索树的应用

3.1 K模型

K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只要存储key即可，关键码即为需要搜到的值。

比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下:

1.以词库里所有单词作为key，构建一棵搜索二叉树。 2.在二叉树里检索该单词word是否存在，存在则拼写正确，如果不存在，则是该单词拼写错误。

3.2 K-V模型

KV模型：每一个关键码key，都有一个与之对应的value，即<key,value>的键值对。

比如英汉词典中的英文和汉语就是对应关系，通过英文可以快速找到对应的中文，<word，chinese>。

再比如统计单词，单词和单词出现的次数也是一对key-value模型，<word，count>。

3.3 改造K模型为K-V模型

删除不需要改变，每个节点的结构需要改变，插入也只需要新增一个参数value和new节点时的参 数，find返回值改为找到的节点的地址，遍历只需要多打印一个value。

//1.K-V模型的二叉树的每个节点的结构 template<class K,class V> struct BSTreeNode { //构造函数 BSTreeNode(const K& key = K(),const V& value=V()) :_key(key) ,_value(value) , _left(nullptr) , _right(nullptr) {} //成员变量 K _key; //key值 V _value; BSTreeNode<K,V>* _left; //指向左孩子 BSTreeNode<K,V>* _right; //指向右孩子 }; //模板参数K,V template<class K,class V> class BSTree { //对节点重命名 typedef BSTreeNode<K,V> Node; public: //查找 Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur != nullptr) { if (key > cur->_key) { //继续去右子树查找 cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { //继续去左子树查找 cur = cur->_left; } else { //找到了，返回当前节点 return cur; } } //没找到 return nullptr; } //插入 bool Insert(const K& key,const V& value) { //如果根为空，直接插入新节点 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key,value); return true; } Node* cur = _root; //记录cur的父节点 Node* prev = _root; while (cur != nullptr) { prev = cur; if (key > cur->_key) { //继续去右子树 cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { //继续去左子树 cur = cur->_left; } else { //搜索二叉树不允许有重复值 return false; } } //插入 if (key > prev->_key) { prev->_right = new Node(key, value); } else { prev->_left = new Node(key, value); } return true; } //删除 bool Erase(const K& key) { Node* cur = _root; //指向cur的父节点 Node* prev = _root; while (cur && cur->_key != key) { prev = cur; if (cur->_key > key) { //去左子树 cur = cur->_left; } else if (cur->_key < key) { //去右子树 cur = cur->_right; } } if (cur == nullptr) { //没找到要删除的节点 return false; } //找到了要删除的节点 //开始删除 if (cur->_left && cur->_right) { //左右孩子均存在 //1.找右子树的最左节点 Node* tmp = cur->_right; Node* parent = cur; while (tmp->_left != nullptr) { parent = tmp; tmp = tmp->_left; } //交换最左节点和cur节点的值_key swap(cur->_key, tmp->_key); //如果parent没有动，说明cur的第一个右孩子就是最左节点 if (parent == cur) { cur->_right = tmp->_right; } else { //如果parent动了，那么tmp就必定是parent的左孩子 parent->_left = tmp->_right; } delete tmp; } else if (cur->_right) { //只有右孩子 //1.特殊情况：如果cur等于_root if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { //判断cur是父节点的左孩子还是右孩子 if (prev->_key > cur->_key) { //是左孩子 prev->_left = cur->_right; } else { //是右孩子 prev->_right = cur->_right; } } delete cur; } else { //只有左孩子或没有孩子 if (cur == _root) { _root = cur->_left; } else { //判断cur是父节点的左孩子还是右孩子 if (prev->_key > cur->_key) { //是左孩子 prev->_left = cur->_left; } else { //是右孩子 prev->_right = cur->_left; } } delete cur; } return true; } //中序遍历 void InOrder() { _InOrderR(_root); } void _InOrderR(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrderR(root->_left); cout << root->_key << root->_value << " "; _InOrderR(root->_right); } //... private: //成员变量 Node* _root = nullptr; };

四、二叉搜索树的性能分析

插入和删除都需要先进行查找，因此查找效率变成了代表二叉搜索树的各个操作的性能。

二叉搜索树查找的时间复杂度：O(N)

1.当二叉搜索树接近一棵完全二叉树或满二叉树时，查找效率为O(log(N))。 2.当二叉搜索树是以有序的顺序插入时，查找效率为O(N)。

在最坏情况下，二叉搜索树退化为了一只单支树，搜索性能就失去了，时间复杂度是按照最坏的情况进行计算的，因此二叉搜索树的时间复杂度为O(N)。