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经典逻辑门与算法详解

一、逻辑门基础

逻辑门可以用作用于比特向量表示的矩阵来表示。以 NOT 门为例，它可以用一个 2×2 的矩阵 X 表示：

X = [0 1] [1 0]

其作用效果为：

X [1] = [0] [0] [1] X [0] = [1] [1] [0]

NOT 门是可逆的，因为一个比特输入会得到一个比特输出，并且 (X^2 = X)，所以 (X^{-1} = X)。

二、2 - 比特字符串门

2.1 AND 门

AND 门作用于两个输入比特 A 和辅助输入比特 B，将 B 的值改变为输出比特 Z，A 为控制比特（值不变），B 为目标比特。其真值表如下：
| 输入 A | 目标 B | 输入 A | 输出 Za |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |

在狄拉克括号表示法中，电路的初始状态为 (|A⟩⊗|B⟩ = |AB⟩)，AND 门 A 作用于 (|AB⟩) 的结果为：
(A|AB⟩ = |A, Za = AB⟩ = |AZa⟩) ，这里 (AB = Za) 是二进制乘法。

AND 门可以用外积表示为：

A = |00⟩⟨00| + |00⟩⟨01| + |10⟩⟨1